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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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2、某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体 $P - A B C D - S$ 棱长为2，下列结论正确的有（）

A、平面 $P C D$ 与平面 $S C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ B、正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、正八面体的体积与表面积的比值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $A$ 到平面 $S C D$ 距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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3、已知二次曲线 $C : 5 (x^{2} + y^{2}) + 6 x y = 8$ 表示一个椭圆，则（）

A、 $C$ 的对称中心为 $(0, 0)$ B、 $C$ 上的点到原点距离的取值范围是 $[\frac{1}{2}, 2]$ C、当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上时， $y_{0} \in [- \frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、下面说法正确的是（）

A、设 $α, β$ 是两个不同的平面， $m, n$ 是两条不同的直线，若 $m ⊥ α, m ⊥ β, n ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ B、命题“ $\forall x \geq 1, x^{2} \geq 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \geq 1, x^{2} < 1$ ” C、已知 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的必要不充分条件 D、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - a x + a$ 的图象关于点 $(1, - 2)$ 成中心对称

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5、已知两个不相等的正实数 $x, y$ 满足： $e^{y - 1} - x = 4 {log}_{2} x - 2 {log}_{2} y$ ，则下列不等式中一定不成立的是（）

A、 $x < y < 1$ B、 $y < x < 1$ C、 $1 < x < y$ D、 $1 < y < x$

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6、已知点 $A (- 1, 0)$ ，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 是抛物线 $C$ 上一动点，则 $\frac{|P A|}{|P F|}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7、已知 $A, B$ 为样本空间中的两个随机事件，其中 $P (A) = \frac{2}{3}, P (\bar{B} ∣ A) = \frac{1}{4}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 6) = f (x)$ ，当 $x \in (0, 3)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (- 2025) + f (2026)$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 3$ C、3 D、10

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9、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，若 $\frac{S_{7}}{7} - \frac{S_{3}}{3} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 15$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、15 B、14 C、13 D、12

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10、若函数 $f (x) = tan (ω x + φ) (ω > 0, φ > 0)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{12}, 0)$ ，且最小正周期为 $\frac{π}{4}$ ，则该函数的解析式可能为（）

A、 $f (x) = tan (4 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = tan (4 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = tan (2 x + \frac{5 π}{6})$ D、 $f (x) = tan (2 x + \frac{π}{3})$

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11、已知集合 $A = \{x \in N ∣ x^{2} - 7 x - 18 < 0\}, B = \{x |y = ln \frac{3 - x}{3 + x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 9)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，且 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z^{2026} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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13、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - a x$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、证明：当 $a \leq 2 \sqrt{2} - 1$ 时，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \geq |x_{1} - x_{2}|$ ；

(3)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $|x_{1} - x_{2}| \geq 2$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围.

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为 $F (1, 0)$ ，点 $P (2, - 1)$ ，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点P作椭圆C的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，过点T作椭圆C的切线l，l与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方程：
（ⅱ）问 $∠ M F N$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

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15、2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：
年份（x）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
GDP/万亿元（y）
74.64
83.20
91.93
98.65
101.36
114.92
120.47
129.43
134.91
由以上数据，得到x与y的9对样本数据为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{9}, y_{9})$ ，有关计算结果如下： $\bar{x} = 2020$ ， $\bar{y} = 105.5$ ， $\frac{\sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i} - 9 \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 7.552$ .

(1)、证明： $\sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = \sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i} - 9 \bar{x} \cdot \bar{y}$ ；

(2)、请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）
附：一元线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ .

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16、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上、下底面均为正方形， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B D E$ 夹角的正弦值.

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $\sqrt{3} a \sin B + b \cos A = 2 b$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $b c = \frac{8}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18、已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为 $X$ ，则 $X$ 的数学期望为.

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在双曲线C上，O为坐标原点， $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}| = 4 \sqrt{2}$ ， $|O P| = \sqrt{17}$ ，则双曲线C的离心率为.

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, y - 1)$ ， $x, y \in R$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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年份（x）	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024
GDP/万亿元（y）	74.64	83.20	91.93	98.65	101.36	114.92	120.47	129.43	134.91