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相关试卷

1、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ 与 $y = x$ B、 $y = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 与 $y = x - 1$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ 与 $y = x$ D、 $y = \frac{|x|}{x}$ 与 $y = 1$

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2、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 > 0$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 < 0$

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3、我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 $y = u {(x)}^{v (x)} (u (x) > 0)$ .幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数 $y = x^{x}$ ， $y^{'} = (x^{x})^{'} = [{(e^{\ln x})}^{x}]^{'} = (e^{x \ln x})^{'} = e^{x \ln x} (\ln x + 1)$ .

(1)、已知 $f (x) = x^{x + \frac{1}{x}}$ ， $x > 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，研究函数 $g (x) = {(\frac{1 + a^{x}}{3})}^{\frac{1}{x}} (x > 0)$ 的单调性；

(3)、已知 $m$ ， $n$ ， $s$ ， $t$ 均大于0，且 $m \neq n$ ，讨论 ${(\frac{m^{s} + n^{s}}{3})}^{t}$ 和 ${(\frac{m^{t} + n^{t}}{3})}^{s}$ 的大小关系.

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点.

(1)、若椭圆上点 $P$ 满足 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，求 $|P F_{1}|$ 的值；

(2)、点 $A$ 为椭圆的右顶点，定点 $T (t, 0)$ 在 $x$ 轴上，若点 $S$ 为椭圆上一动点，当 $|S T|$ 取得最小值时点 $S$ 恰与点 $A$ 重合，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、已知 $m$ 为常数，过点 $F_{2}$ 且法向量为 $(1, - m)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，若椭圆 $C$ 上存在点 $R$ 满足 $\vec{O R} = λ \vec{O M} + μ \vec{O N}$ （ $λ ， μ \in R$ ），求 $λ μ$ 的最大值.

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5、某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各场比赛的结果相互独立．

(1)、求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；

(2)、此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{a - 3^{x + 1}}{3^{x} + b}$ 是定义在R上的奇函数 $(a > 0, b > 0)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求当 $x \in [0, 1]$ 时，函数 $g (x) = f (x) \cdot (3^{x} + 1) + 9^{x} - 1$ 的值域．

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为4，D是AB的中点．

(1)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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8、在平面直角坐标系中，定义 $d (A, B) = \max \{|x_{1} - x_{2}|, |y_{1} - y_{2}|\}$ 为两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 的“切比雪夫距离”，又设点 $P$ 与直线 $l$ 上任意一点 $Q$ ，称 $d (P, Q)$ 的最小值为点 $P$ 与直线 $l$ 间的“切比雪夫距离”，记作 $d (P, l)$ ，给定下列两个命题：
①已知点 $P (3, 1)$ ，直线 $l : 2 x - y - 1 = 0$ ，则 $d (P, l) = \frac{4}{3}$ ；
②定点 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|d (P, F_{1}) - d (P, F_{2})| = 2 a (2 c > 2 a > 0)$ 则点 $P$ 的轨迹与直线 $y = k$ （ $k$ 为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（）

A、命题①成立，命题②不成立 B、命题①不成立，命题②成立 C、命题①②都成立 D、命题①②都不成立

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ ．若存在 $t_{1}$ ， $t_{2} \in [- π, 2 π]$ ，使得 $f (t_{1}) f (t_{2}) = 4$ ，则 $t_{1} - t_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3π}{2}$ D、 $2 π$

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10、已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，则（）

A、若 $α$ ∥ $β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m$ ∥ $n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n$ ∥ $α$ D、若 $α \cap β = n$ ， $m \subset α$ ， $m$ ∥ $β$ ，则 $m$ ∥ $n$

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11、某校高一年级 $18$ 个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得 $10$ 个班的比赛得分如下： $91, 89, 90, 92, 94, 87, 93, 96, 91, 85$ ，则这组数据的 $75 %$ 分位数为（）

A、 $93$ B、 $93.5$ C、 $94$ D、 $94.5$

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12、定义：对于函数 $f (x)$ 和数列 $\{x_{n}\}$ ，若 $(x_{n + 1} - x_{n}) f^{'} (x_{n}) + f (x_{n}) = 0$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”.已知二次函数 $f (x)$ 图象的最低点为 $(0, - 4)$ ，且 $f (x + 1) = f (x) + 2 x + 1$ ，若数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”，且首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = ln (x_{n} + 2) - ln (x_{n} - 2)$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则数列 $\{S_{n} \cdot (\frac{n}{2} - 5)\}$ 的最小值为.

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x, 0 \leq x \leq 1, \\ l n x, x > 1, \end{matrix}$ 若存在实数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{2} - 6 x_{1}$ 的取值范围为.

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14、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $- 1 \leq x < 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (- x)$ ，则函数 $g (x) = f (x) + 2$ 在区间 $(- 1, 8)$ 内所有零点之和为．

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15、在一座尖塔的正南方向地面某点 $A$ ，测得塔顶的仰角为 $30^{\circ}$ ，又在此尖塔北偏东 $30^{\circ}$ 地面某点 $B$ ，测得塔顶的仰角为 $45^{\circ}$ ，且 $A$ ， $B$ 两点距离为 $7 m$ ，在线段 $A B$ 上的点 $C$ 处测得塔顶的仰角为最大，则 $C$ 点到塔底 $O$ 的距离为m.

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16、已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支上的一点，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点，若M为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，且 $S_{△ P M F_{1}} = S_{△ P M F_{2}} + \frac{1}{2} S_{△ M F_{1} F_{2}}$ ，则双曲线的离心率为．

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17、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) + \sin α = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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18、圆 $x^{2} + y^{2} + a x +2 a y +2 a^{2} + a −1=0$ 的半径的最大值为.

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19、设 $A = \{x ∣ x^{2} - 5 x + 4 = 0\}, B = \{x ∣ a x - 1 = 0\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的取值集合为.

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20、不等式 $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 6} \geq 1$ 的解集为．

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