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相关试卷

1、下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = \ln x + \frac{1}{x}$ D、 ${(\sin 3)}^{'} = \cos 3$

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c (a cos B + b cos A) = 4$ ， $2 a sin B = 3 b sin C$ ， $b = 4$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $sin B$ 的值；

(3)、求 $cos (2 B + C)$ 的值．

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3、如图，某建筑物 $A C$ 顶部有一旗杆 $A B$ ，且点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上，小明在地面 $D$ 处观测旗杆顶端 $B$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的 $E$ 处，又测得旗杆顶端 $B$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，已知建筑物 $A C$ 高度为12米.

(1)、求点 $E$ 到建筑物 $A C$ 的距离；

(2)、求旗杆 $A B$ 的高度.

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cdot \cos ω x - \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ .
（1）求 $ω$ 的值.
（2）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、当 $x = 2$ 时，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围

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6、已知在平行四边形 $A B C D$ 中， $A (1, 2)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (3, 4)$ .

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、试判断平行四边形 $A B C D$ 是否为菱形.

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7、已知 $\vec{a} = (4, 2)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量的坐标为．

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8、 $tan \frac{3 π}{4} + sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} =$ .

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9、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = - sin 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称

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10、下列等式成立的是（）

A、 $\cos 40 ° \cos 20 ° - \sin 40 ° \sin 20 ° = \frac{1}{2}$ B、 $\sin 15 ° \cos 15 ° = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °} = \sqrt{3}$ D、 $\sin^{2} \frac{π}{8} - \cos^{2} \frac{π}{8} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = \sqrt{7} + \sqrt{21}$ ， $c = \sqrt{42}$ ，则 $A =$ （）

A、45° B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(3, 6)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(\frac{3}{2}, 3)$

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13、在 $△ A B C$ 中，若 $A = 60^{°}$ ， $a = 3$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ （）

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ C、 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14、在平行四边形ABCD中，点 $E$ 是对角线BD上靠近点 $D$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \bar{a} - \frac{2}{3} \bar{b}$

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15、已知 $sin (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0, π)$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (3, - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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17、化简： $\vec{B A} + \vec{A C}$ 等于（）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{C B}$ D、 $\vec{B C}$

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $(a + b) (sin A - sin B) = c (sin A - sin C)$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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19、如图，已知 $A (1, 1), B (5, 4), C (2, 5)$ ，设向量 $\vec{a}$ 是与向量 $\vec{A B}$ 垂直的单位向量.
（1）求单位向量 $\vec{a}$ 的坐标；
（2）求向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量的模；
（3）求 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C}$ .

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20、已知复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ （ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）.

(1)、若 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 是纯虚数，求 $|z_{2}|$ ；

(2)、若 $z_{2}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - p x + 3 = 0$ 的根，求实数 $a$ 和 $p$ 的值.

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