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相关试卷

1、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $B D = 1$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ，且三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为 $7 π$ ，则 $A C =$ ．

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2、已知 $f (x) = \sqrt{x} - 2 ln x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为．

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3、如图，对每个正整数 $n$ ， $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的点，过焦点 $F$ 的直线 $F A_{n}$ 交抛物线于另一点 $B_{n} (s_{n}, t_{n})$ ，并记 $C_{n}$ 为抛物线上分别以 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 为切点的两条切线的交点．则（）

A、 $x_{n} s_{n} = - 4 (n \geq 1)$ B、 $|A_{n} B_{n}| \cdot |F C_{n}| = |A_{n} C_{n}| \cdot |B_{n} C_{n}|$ C、若 $x_{n} = 3 n$ ，则 $|F C_{n}|$ 的最小值为2 D、若 $x_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ ，则 $|F C_{1}| + |F C_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |F C_{n}| = 3^{n + 1} - \frac{1}{4 \times 3^{n}} - \frac{11}{4}$

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4、在舞台上，智能机器人 $M$ 从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人 $N$ 从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与 $M$ 相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（）

A、机器人 $N$ 移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B、已知机器人 $N$ 移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 $\frac{3}{4}$ C、机器人 $M$ 在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 $\frac{9}{64}$ D、移动1秒后机器人 $M$ 与 $N$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 米的概率为 $\frac{1}{4}$

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5、若 $0 < a < b < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${({log}_{a} b)}^{2} < 1$ B、 ${log}_{a} b + {log}_{b} a > 2$ C、 ${log}_{a} b < {log}_{b} a$ D、 $|{log}_{a} b| + |{log}_{b} a| > |{log}_{a} b + {log}_{b} a|$

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6、已知随机事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 发生的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且 $A, B, C$ 两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (2 x + 2)$ 的图象关于 $x = - \frac{1}{2}$ 对称， $f (- 1) = - 3$ ，则 $f (985) =$ （）

A、0 B、 $- 3$ C、3 D、4

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n - 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{10}} =$ （）

A、1013 B、1014 C、502 D、503

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9、已知函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后关于原点对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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10、直线 $y = k x + 4$ 与圆 $M : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，若 $∠ A M B = 120 °$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm 2 \sqrt{3}$ C、 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\pm 2 \sqrt{5}$

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11、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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12、已知复数 $\frac{1}{z}$ 在复平面内对应的点为 $(- 1, 1)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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13、若集合 $M = {x | \sqrt{x} < 4}$ ， $N = {x | y = ln (x + 1)}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, 16)$ B、 $(- \infty, 16)$ C、 $(0, 16)$ D、 $[0, 16)$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}, g (x) = x^{2} - 2 e x + a$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, 0)$ 处的切线与 $y = g (x)$ 恰有一个公共点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $m (x) = \frac{g (x)}{x} (x > 0)$ ，讨论函数 $m (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 至少存在一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左，右焦点，点 $P$ 为椭圆上任意一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}, M N$ 所在的直线经过椭圆的中心 $O$ ，现将坐标平面沿 $y$ 轴折成一个直二面角，如图1､2所示.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线的斜率为1，求翻折后异面直线 $M N$ 与 $F_{1} F_{2}$ 所成角的余弦值；

(3)、当 $M, N$ 不在 $y$ 轴上时，如图2，求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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16、已知圆 $C_{n} : {(x - 2)}^{2} + {(y - n)}^{2} = 1, n \in N^{*}$ 外有一点 $A (- 3, 3)$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，过点 $A$ 作直线 $l$ ，当直线 $l$ 与圆 $C_{2}$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、自点 $A$ 发出的光线经过 $x$ 轴反射后与 $C_{n}$ 相切，记与 $C_{n}$ 相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 $a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 7$ .

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17、苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的 $C$ 处，此时他测得山顶 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}$ .他沿着东偏南 $30^{\circ}$ 的方向前行200米后到达点 $D$ 处，此时他测得山顶点 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$ .假设山顶在水平面上的投影为点 $B$ ，且点 $D$ 位于点 $B$ 的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.

(1)、求山高 $A B$ ；

(2)、已知景区内点 $E$ 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为 $15^{\circ}$ ，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 $30^{\circ}$ .求山脚下缆车上车点 $E$ 到 $B$ 点的距离.

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18、随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量 $y$ （单位：万个），为方便研究，年份代码用 $x$ 表示（如： $x = 1$ 表示2021年），具体参考数据如下表：
统计量
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值
55
72.6
21

(1)、请根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及均值.
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

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19、若存在实数 $m$ ，使得关于 $x$ 的方程 $e^{m + a - x} = \frac{2 x - 2 m - 1}{x - m - 1}$ 有两个不同的根，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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20、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 2 B$ ，则 $\frac{c - b}{a}$ 的取值范围为.

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统计量	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值	55	72.6	21