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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}, |\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$

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2、 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{3}$ 的展开式中，常数项为．

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3、已知a，b均为实数， $(2 + i) (1 + a i) = i (b + i)$ ，则 $a b =$ .

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4、已知直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，点 $P$ 到直线 $l$ 的有向距离 $d (P, l)$ 用如下方法规定：若 $b \neq 0$ ， $d (P, l) = \frac{| b | | a x_{0} + b y_{0} + c |}{b \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ ，若 $b = 0$ ， $d (P, l) = \frac{a x_{0} + c}{a}$ ．

(1)、已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 12 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + 3 = 0$ ，求原点 $O$ 到直线 $l_{1}, l_{2}$ 的有向距离 $d (O, l_{1}), d (O, l_{2})$ ；

(2)、已知点 $A (2, 1)$ 和点 $B (3, - 1)$ ，是否存在通过点 $A$ 的直线 $l_{3}$ ，使得 $d (B, l_{3}) = 2$ ？如果存在，求出所有这样的直线 $l_{3}$ ，如果不存在，说明理由；

(3)、设直线 $l_{4} : x \cos α + 2 y \sin α - 2 = 0$ ，问是否存在实数 $t > 0$ ，使得对任意的参数 $α$ 都有：点 $F_{1} (- t, 0), F_{2} (t, 0)$ 到 $l_{4}$ 的有向距离 $d (F_{1}, l_{4}), d (F_{2}, l_{4})$ 满足 $d (F_{1}, l_{4}) \cdot d (F_{2}, l_{4}) = 1$ ？如果满足，求出所有满足条件的实数 $t$ ；如果不存在，请说明理由．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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6、如图，某城市为升级沿河直线绿道 $A B$ 的沿途风景，计划在以 $A B$ 为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林 $C D E F$ （ $C$ ， $D$ 在 $A B$ 上， $E$ ， $F$ 在半圆上， $O$ 为圆心），已知 $A B$ 全长 $160 m$ .

(1)、求枫叶林 $C D E F$ 面积的最大值；

(2)、为方便游客休憩打卡，计划在 $A B$ 的另一侧修建观景木质栈道 $A - G - B$ ，已知 $A G$ 段每米的造价为 $a$ 元， $B G$ 段每米的造价是 $A G$ 段的两倍， $∠ A G B = \frac{π}{3}$ ，求修建观景木质栈道 $A - G - B$ 所需的费用最多为多少元（结果用 $a$ 表示）.

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7、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C$ 边上的高 $A D$ 所在直线的方程为 $x - 2 y + 2 = 0$ ， $∠ A$ 的平分线所在直线的方程为 $y = 0$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 3)$ .

(1)、求直线 $B C$ 的方程；

(2)、求直线 $A C$ 的方程及点 $C$ 的坐标.

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n} - 27}$ $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，求 $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ .

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9、若存在常数a，b，使得函数 $y = f (x)$ 对定义域内的任意x值均有 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ，则 $y = f (x)$ 关于点 $(a, b)$ 对称，函数 $y = f (x)$ 称为“准奇函数”.现有“准奇函数” $y = g (x)$ ，对于任意 $x \in R$ ，都有 $g (x) + g (- x) = 4$ ，则函数 $h (x) = \sin x + x + 2 g (x) - 1$ 在区间 $[- 2024, 2024]$ 上的最大值与最小值的和为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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10、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，k为常数且 $k \in N, k \geq 2$ ，有以下两个命题：
①若 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，则 $a_{1} \cdot a_{2} \dots \dots a_{k} = 0$ 是 $S_{1} \cdot S_{2} \dots \dots S_{2 k - 1} = 0$ 的充分非必要条件，
②若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则 $a_{k} + a_{k + 1} = 0$ 是 $S_{1} \cdot S_{2} \dots \dots S_{k} = 0$ 的充要条件，那么（）

A、①是真命题，②是假命题 B、①、②都是真命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①、②都是假命题

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11、已知i为虚数单位，复数z满足 $|z + 1| = |z - i|$ ，则 $|z + i|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、0

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12、已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，那么“ $\vec{a} = μ \vec{b}$ ”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设定义域为 $[x_{1}, x_{2}]$ 的函数 $y = f (x)$ 的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点 $M (x, f (x))$ 是C上任意一点，向量 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1}), \vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且满足 $x = λ x_{1} + (1 - λ) x_{2} (0 < λ < 1)$ ，又设向量 $\vec{O N} = λ \vec{O A} + (1 - λ) \vec{O B}$ ，现定义函数 $y = f (x)$ 在 $[x_{1}, x_{2}]$ 上“可在标准k下线性近似”是指 $|\vec{M N}| \leq k$ 恒成立，其中 $k > 0$ 为常数.给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的法向量可以为 $\vec{a} = (1, 0)$ ；
③函数 $y = 5 x^{2}$ 在 $[0, 1]$ 上“可在标准1下线性近似”；
④函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 在 $[1, 2]$ 上“可在标准k下线性近似”，则 $k \geq \frac{3}{2} - \sqrt{2}$ .
其中所有正确结论的序号为.

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 1, x < 0 \\ |\log_{2} x|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ， $x_{4} \cdot |x_{1} + x_{2}| + \frac{16}{x_{3} \cdot x_{4}^{2}}$ 的取值范围是..

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15、如图， $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 1$ ， $⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩ = \frac{2 π}{3}$ ，点 $C$ 在以 $O$ 为圆心的圆弧 $A B$ 上运动，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围是.

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16、如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为 $α$ ，大正方形的面积为1，小正方形的面积是 $\frac{1}{3}$ ，则 $\sin α + \cos α =$ ．

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17、若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为．

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18、已知直线 $l : x + y - 3 = 0$ ，点 $M (3, m)$ 到直线 $l$ 的距离等于 $\sqrt{2}$ ，则 $m =$

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19、已知i为虚数单位， $3 + i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个虚根，则 $p + q =$ .

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20、已知集合 $A = \{x| \frac{3}{x - 2} < - 1\}, B = \{x | 0 < x < 3, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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