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相关试卷

1、已知 $l o g_{a} \frac{2}{3} > 1 (a > 0, 且 a \neq 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $(0, \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, 1)$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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2、甲、乙等 $10$ 名选手随机分为两组参加比赛，每组 $5$ 名，则甲、乙在同一组的概率为( )

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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3、已知向量 $\vec{m} = (c o s θ - \sqrt{2}, s i n θ + \sqrt{2})$ ，则 $| \vec{m} |$ 的最大值是( )

A、 $9$ B、 $3$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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4、若直线 $y = k x + 10$ 与圆 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ 相切，则 $k =$ ( )

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )

A、 $y = x^{3} - 2$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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6、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 2$ ， $a_{4} = 4$ ，则 $S_{6} =$ ( )

A、 $64$ B、 $\frac{127}{2}$ C、 $32$ D、 $\frac{63}{2}$

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7、已知 $x = 2$ 是函数 $f (x) = a x - l n (x - 1)$ 的极值点，则( )

A、 $f (x)$ 有极大值 $- 2$ B、 $f (x)$ 有极小值 $- 2$ C、 $f (x)$ 有极大值 $2$ D、 $f (x)$ 有极小值 $2$

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8、 $| \frac{i}{1 + i} | =$ ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{2}$

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9、设集合 $M = {- 2, - 1,1, 2}$ ， $N = {x | | x | > 1}$ ，则 $M \cap N =$ ( )

A、 ${- 2,2}$ B、 ${- 1,1}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | - 2 < x < - 1}$

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10、已知 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, k)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a x}{e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 有且仅有一个零点．

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \leq x$ 恒成立，求a的取值范围．

(3)、证明： $\frac{\ln 2}{2} + \frac{\ln 3}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{\ln n}{n} \leq n - \frac{e (1 - e^{- n})}{e - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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12、小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为 $10$ 分，每场比赛胜则加 $5$ 分，负则减 $5$ 分，平则积分不变；当积分达到 $0$ 分（淘汰出局）或 $20$ 分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ .

(1)、比赛终止时小明积分为 $0$ 分的概率；

(2)、在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率.

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13、甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．

(1)、从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；

(2)、掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，
（i）求抽到的是红球的概率；
（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．

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14、在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 $32$ .

(1)、求展开式中 $x$ 的系数；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项.

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15、若不等式 $ln x + \frac{a}{x} \geq 2 b (a > 0)$ 对 $\forall x > 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为．

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16、若 ${(3 x - 2)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．

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17、已知函数 $f (x) = x \ln x + a x$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(e, f (e))$ 处的切线与 $3 x - y = 0$ 相互平行 B、函数 $f (x)$ 在[1，4]上单调递增的必要不充分条件是 $a \geq - 1 - \ln 4$ C、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $φ (a)$ ，则 $φ (a) \leq a$ D、若 $a = 2$ ， $\exists k \in Z$ ，使得 $\frac{f (x) + 2 k}{x} > k + 1$ 在 $x \in (2, + \infty)$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为3

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18、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 是同一概率空间中的随机事件，满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B |\bar{A}) = \frac{1}{4}$ ， $P (C |B) = \frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、 $P (B) = \frac{7}{24}$ C、 $P (A + B) = \frac{5}{8}$ D、 $P (B C) = \frac{5}{48}$

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19、下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ B、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 3$ C、甲、乙、丙等 $5$ 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 $36$ 种排法 D、把 $6$ 个相同的小球分到 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有 $10$ 种

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20、已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x$ 的极大值点，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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