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相关试卷

1、在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $A B = 1$ ， $E$ 是边 $B C$ 上一点，则 $|\vec{E A} + \vec{E D}|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，设 $g (x) = f (- x) - f (x)$ ，则函数 $g (x)$ 是（）

A、奇函数，且在 $R$ 上单调递增 B、偶函数，且在 $R$ 上单调递增 C、奇函数，且在 $R$ 上单调递减 D、偶函数，且在 $R$ 上单调递减

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3、在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 以Ox为始边， $P (- 1, 2)$ 为 $α$ 终边上一点，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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4、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点到其渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、已知集合 $A = \{n |n = 4 k + 1, k \in Z\}$ ，集合 $B = \{1, 3, 5, 7\}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $B \subseteq ∁_{Z} A$ C、 $A \cap B = B$ D、 $A \cup B \neq A$

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6、双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个顶点在直线 $l ： y = x + 1$ 上，且其离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（附：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 以点 $(m, n)$ 为切点的切线方程为 $\frac{m}{a^{2}} x - \frac{n}{b^{2}} y = 1$ ）

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$ ．
（i）设点 $T$ 的横坐标为 $t$ ，求 $t$ 的取值范围；
（ii）设直线 $T P$ 和直线 $T M$ 分别与直线 $x = - 1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$ ，证明：直线 $P N$ 和直线 $M Q$ 交点在定直线上．

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = 6$ ， $b_{2} = 4$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 中的所有项分别构成集合 $A$ ， $B$ ，将集合 $\{x |x \in A 且 x \notin B\}$ 中的所有元素从小到大依次排列构成新数列 $\{C_{n}\}$ ，求数列 $\{C_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$

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8、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n}$ 表示自然数 $n$ 的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20， $a_{20} = 5$ ， 21的因数有1，3，7，21， $a_{21} = 21$ ，那么数列 $\{a_{n}\}$ 前 $2^{2023} - 1$ 项的和 $S_{2^{2023} - 1} =$

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9、某公司在某地区进行商品 $A$ 的调查，随机调查了100位购买商品 $A$ 的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品 $A$ 的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的 $46 %$ ，从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品 $A$ 的概率

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10、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A₁处（A₁∉平面ABCD），若M为线段A₁C的中点，平面A₁DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A₁E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　）

A、存在某个位置，使得BM⊥A₁D B、△A₁EC面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、sinα $= \sqrt{2}$ sinβ D、三棱锥A₁﹣EDC体积最大时，三棱锥A₁﹣EDC的外接球的表面积16π

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11、一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in {1, 2, 3, \dots, 100}$ ．其中 $x_{i} > 1895 ， \sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5} ， \sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + {\hat{a}}_{1}$ ，残差为 ${\hat{e}}_{i}$ ．对样本数据进行处理： $x_{i}^{'} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $(x_{i}^{'}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + {\hat{a}}_{2}$ ，其残差为 $\hat{u_{i}}$ ， $\hat{e_{i}}, \hat{u_{i}}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} \sim N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} \sim N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 ${\hat{a}}_{1} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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12、已知函数 $f (x) = a x + \ln x + 1 - x e^{2 x}$ 对任意的 $x > 0$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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13、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，记 $|F_{1} F_{2}| = 2 c$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心， $c$ 为半径的圆与双曲线 $M$ 在第一象限的交点为 $P$ .若 $|P F_{1}| = c + 4$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

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14、已知集合 $M = \{x |y = \ln x\}$ ，集合 $N = \{y |y = \frac{1}{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |x > 0$ 且 $x \neq 1\}$ B、 $\{x |x \neq 1\}$ C、 $\{x |x > 0\}$ D、 $\{x |x \neq 0\}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, m - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ ．

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16、几何体 $E - A B C D$ 是四棱锥， $△ A B D$ 为正三角形， $B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为线段 $A E$ 的中点.

(1)、求证： $D M / /$ 平面 $B E C$ ；

(2)、线段 $E B$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $D, M, N, C$ 四点共面？若存在，请求出 $\frac{B N}{B E}$ 的值；若不存在，并说明理由.

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17、 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点， $O, G$ 分别为 $△ A B C$ 的外心和重心，且 $\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{B C} - \frac{2}{3} \vec{B A}$ ．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 来表示 $\vec{A P}$ 和 $\vec{G P}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为3，求 $△ P B C$ 的面积；

(3)、若 $|B C| = 2 \sqrt{6}$ ，求 $\vec{G P} \cdot \vec{O C}$ 的值．

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18、如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是．

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19、某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 $△ A B C$ ，已知 $E F = 3$ ， $cos ∠ A C F = \frac{13}{14}$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角大小为.

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