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相关试卷

1、在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，前三项的和为7，若存在 $m, n \in N^{*}$ 使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{11}{4}$

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2、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ ， $a_{4} = 15$ ，则p，q的值分别为（）．

A、 $- 3$ ， 6 B、2，1 C、 $- 3$ ， 6或2，1 D、 $- 4$ ， 7

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3、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{5} = 4$ ， $S_{7}$ =21，则 $a_{7}$ 的值为

A、6 B、7 C、8 D、9

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4、某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费 $x_{i}$ （单位：百万元）满足递推关系 $\frac{x_{n + 1} - x_{n}}{x_{n} - x_{n - 1}} + \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{x_{n + 1} - x_{n}} = 2 (n \geq 2)$ ，且 $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ ，年销售量 $y_{i}$ （单位：百万辆）与年广告费相关．令 $v_{i} = \ln x_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ ，经过数据处理得到如下统计量的值：
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有模型 $y = c \ln x + d$ 作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中 $c, d$ 均为常数．

(1)、求 $x_{n}$ ；

(2)、求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？

(3)、该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量 $ξ$ 影响，设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (600, σ^{2})$ ，且满足 $P (ξ > 800) = 0.3$ ，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）
附：①回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}, \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$
②参考数据： $\sqrt{50.6 \times 2.02} \sqrt{40.3 \times 1.612} = 8.06, \sqrt{403} \approx 20.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6, \ln 6 \approx 1.8$ ．

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5、已知双曲线 $C : 4 y^{2} - x^{2} = m$ ．点 $P_{1} (- 1, 1)$ 在 $C$ 上．按如下方式构造点 $P_{n} (n \geq 2)$ ．过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与 $C$ 的下支交于点 $Q_{n - 1}$ ．点 $Q_{n - 1}$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_{n}$ ．记点 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n}) .$

(1)、求 $x_{2}, y_{2}$ 的值：

(2)、记 $a_{n} = 2 y_{n} + x_{n}$ ．证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列；

(3)、记 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积为 $S_{n}$ ．证明： $S_{n}$ 是定值．

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6、第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{1}$ ．假定 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．

(1)、若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关． $p_{1} = \frac{3}{4}, p_{2} = \frac{2}{3}, p_{3} = \frac{1}{2}$ ．求该小组初赛胜利的概率：

(2)、已知 $1 > p_{1} > p_{2} > p_{1} > 0$ ．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量 $X, Y$ ．求 $E (X), E (Y)$ ．并比较它们的大小；

(3)、初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为 $a$ ．第三道题答对的概率为 $b$ ．若该学生获得一等奖的概率为 $\frac{1}{8}$ ，设该学生获得二等奖的概率为 $p$ ．求 $p$ 的最小值．

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7、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - a x - a^{2}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

(3)、若 $f (x)$ 存在极大值，且极大值不大于 $- 3 - ln 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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8、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $E$ ､ $F$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ D E F$ 位置.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B D E$

(2)、若 $A B = B C = 4$ ， $D B = E B$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $D E C$ 夹角的余弦值.

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．且 $S_{13} = 6$ ．则 $3 a_{9} - 2 a_{10} =$ ．

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10、已知椭圆 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则（）

A、椭圆 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $E$ 截得弦长为 $\sqrt{2}$ C、椭圆 $E$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ D、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $(k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{π}{2}), (k \in Z)$ D、若 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的内角，且 $f (A) = f (B)$ ，则 $A = B$ 或 $C = \frac{π}{3}$

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12、为了解某类植物生长 $1$ 年之后的高度．随机抽取了 $n$ 株此类植物．测得它们生长 $1$ 年之后的高度（单位： $cm$ ）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长 $1$ 年之后高度低于 $60 cm$ 的有 $20$ 株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（）

A、 $n = 100$ B、此次检测植物生长高度在 $[70, 90)$ 之间的有 $50$ 株 C、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的众数为 $80 cm$ D、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的第 $85$ 百分位数为 $90 cm$

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13、现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A、120 B、60 C、30 D、20

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14、已知点 $M (1, 2)$ 为抛物线 $E : y^{2} = 2 p x$ 上一点．则点 $M$ 到抛物线 $E$ 的焦点的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、已知 $i$ 是虚数单位．复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ．则 $z$ 在复平面内对应点的坐标是（）

A、 $(1, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(1, 1)$

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16、设全集 $U = R, A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}, B = \{x |x \geq 2\}$ ．则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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17、如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = D C = 4$ ， $A B = 8$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $A$ 到点 $P$ 的位置，且 $P E ⊥ B E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $P - B C D E$ ，若 $M$ 为 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $P B$ 上动点.

(1)、当 $N$ 为 $P B$ 的中点时.
①求证：平面 $E M N ⊥$ 平面 $P B C$ ；
②求直线 $P B$ 与平面 $E M N$ 所成角的正弦值.

(2)、若 $\vec{B N} = λ \vec{B P}, λ \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，求二面角 $N - E M - B$ 的正弦值的取值范围.

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18、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，且 $2 a sin (C + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} b$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b > c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $sin (A + B)$ 的值；

(3)、若 $b = 6$ ， $c = 8$ ， $H$ 为 $△ A B C$ 垂心， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{A O} \cdot \vec{A H}$ 的值.

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19、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 6$ ， $B C = 9$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B A}$ ， N为 $A C$ 的中点，设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ 与 $C M$ 相交于点 $P$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B N}$ 、 $\vec{C M}$ ；

(2)、若 $\vec{C P} = λ \vec{C M}$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、求 $cos ∠ M P N$ .

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20、在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C = C D$ ， $M$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $C M ⊥ A D$ ；

(2)、若 $N$ 为 $B C$ 的中点，过 $M N$ 的平面 $α$ 交平面 $A C D$ 于 $P Q$ ，求证： $P Q / /$ 平面 $B C D$ .

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$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44	4.8	10	40.3	1.612	19.5	8.06