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相关试卷

1、已知直线 $m x + 4 y - 2 = 0$ 与 $2 x - 5 y + n = 0$ 垂直，垂足为 $(1, p)$ ，则 $m - n + p$ 的值为（）

A、 $24$ B、 $20$ C、 $0$ D、 $- 10$

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2、如图所示，有一条“ $L$ ”形河道，其中上方河道宽 $\sqrt{2} m$ ，右侧河道宽 $\sqrt{6} m$ ，河道均足够长.现过点 $D$ 修建一条栈道 $A B$ ，开辟出直角三角形区域（图中 $△ O A B$ ）养殖观赏鱼，且 $∠ O A B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ .点 $H$ 在线段 $A B$ 上，且 $O H ⊥ A B$ .线段 $O H$ 将养殖区域分为两部分，其中 $O H$ 上方养殖金鱼， $O H$ 下方养殖锦鲤.

(1)、养殖区域面积最小时，求 $θ$ 值，并求出最小面积；

(2)、若游客可以在栈道 $A H$ 上投喂金鱼，在河岸 $O B$ 与栈道 $H B$ 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求 $θ$ 的取值范围.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且向量 $\vec{m} = (c, a - b)$ ， $\vec{n} = (\sin B - \sin C, \sin A + \sin B)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的周长为 $l$ ，面积为 $S$ ，求 $\frac{S}{l}$ 的最大值.

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4、如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x, y \in R)$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $x O y$ 中的坐标.

(1)、设 $\vec{O M} = (0, 3)$ ， $\vec{O N} = (4, 0)$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值；

(2)、若 $\vec{O P} = (3, 4)$ ，求 $|\vec{O P}|$ 的大小.

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5、在解析几何中，设 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 为直线 $l$ 上的两个不同的点，则我们把 $\vec{P_{1} P_{2}}$ 及与它平行的非零向量都称为直线 $l$ 的方向向量，把与直线 $l$ 垂直的向量称为直线 $l$ 的法向量，常用 $\vec{n}$ 表示，此时 $\vec{P_{1} P_{2}} \cdot \vec{n} = 0$ .若点 $P \notin l$ ，则可以把 $\vec{P P}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影向量的模叫做点 $P$ 到直线 $l$ 的距离.现已知平面直角坐标系中， $P (- 2, - 2)$ ， $P_{1} (2, 1)$ ， $P_{2} (- 1, 3)$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为.

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6、如图所示，在边长为3的等边三角形 $A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，且点 $P$ 在以 $A D$ 的中点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的半圆上，若 $\vec{B P} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $x + y$ 的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 最大值为9 D、 $\vec{B O} \cdot \vec{D O} = 1$

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) + 1$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，满足 $f (x) + f (- \frac{π}{3} - x) = 2$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (- \frac{5 π}{12})$ ，当 $ω$ 取最小值时，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6}, 1) k \in Z$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[\sqrt{3} + 1, 3]$ C、将 $y = 2 \sin 2 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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8、下列命题正确的是（）

A、设 $α$ 是第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角 B、 $\sqrt{3} \sin α + \cos α = 2 \sin (α + \frac{π}{3})$ C、在 $△ A B C$ 中，若点 $O$ 满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心 D、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$

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9、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，若 $x_{2} = 4 x_{1}$ ，则下列不为定值的量是（）

A、 $φ$ B、 $ω$ C、 $ω x_{1}$ D、 $\frac{ω x_{1}}{φ}$

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10、《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、下列四个函数中的某个函数在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的大致图象如图所示，则该函数是（）

A、 $y = \frac{x^{3} - x}{2^{x} + 2^{- x}}$ B、 $y = \frac{x cos 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$ C、 $y = \frac{1 - x^{2}}{2^{x} + 2^{- x}}$ D、 $y = \frac{sin 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$

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12、设a为非负实数，函数 $f (x) = x | x - a | - a$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有且只有一个根，求实数a的取值范围．

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13、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数；②f (x) $\leq$ 75恒成立； $③$ $f (x) \leq \frac{x}{5}$ 恒成立．
(1)判断函数 $f (x) = \frac{x}{30} + 10$ 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数 $g (x) = a \sqrt{x} - 5 (a \geq 1)$ 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 为奇函数，且 $f (4) = \frac{8}{17}$ ．
（1）求实数 $a, b$ 的值；
（2）判断 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）求不等式 $f (x^{2} - 2 x + 4) + f (- 4) \geq 0$ 的解集．

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15、求下列函数的值域：

(1)、 $y = \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1} (x > 1)$

(2)、 $y = 3 x - \sqrt{x + 1}$

(3)、 $f (x) = 3 x + 1 + \frac{9}{3 x - 2} (x < \frac{2}{3})$

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16、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 10 < 0\}, B = \{x | 2 - a \leq x \leq 2 a + 1, a \in R\}, C = \{x | - 3 < x < 3\}$

(1)、全集 $U = R$ ，求 $(∁_{U} A) \cap C$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围．

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17、（1）已知 $10^{m} = 2, 10^{n} = 3$ ，求 $10^{3 m - 2 n}$ 的值
（2）求值： $4^{\frac{1}{2}} - {(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} - {(π - 3)}^{0} + 3^{π} \times {(\frac{1}{3})}^{π}$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 5, & x < 1 \\ x + \frac{1}{x} + 2, & x \geq 1 \end{matrix}$ ，若当 $x \in [m, n]$ 时， $f (x) \in [4, 5]$ ，则 $m - n$ 的最小值是．

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19、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + b x + 2$ ，若 $f (x + 2)$ 是偶函数，则 $b =$

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20、若幂函数的图象经过 $(2, 8)$ ，则解析式为

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