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相关试卷

1、动圆 $P$ 过定点 $A (- \sqrt{6}, 0)$ ，且与圆 $B$ ${(x - \sqrt{6})}^{2} + y^{2} = 32$ 相内切于点 $M$ ，记圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ．则（）

A、曲线 $E$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、动圆 $P$ 面积的最小值为 $(14 - 8 \sqrt{3}) π$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为3 D、 $∠ A P M$ 的最小值是 $\frac{π}{3}$

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2、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，且满足 $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 α \sin 2 β$ 最小值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，纵坐标为 $\sqrt{2}$ 的点 $M$ 在 $C$ 上．若以 $M$ 为圆心， $|M F|$ 为半径的圆被 $y$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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4、已知直线 $x - y = 0$ 是曲线 $y = 2 x - \ln (a x) (a > 0)$ 的一条切线，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $e$ D、 $2 e$

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，则满足 $f (1 - m) > f (m + 1)$ 的实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0)$

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6、为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物试验，根据120个有放回随机样本的数据，得到如下列联表：
药物 $A$
疗效
合计
未患疾病 $B$
患疾病 $B$
未服用
10
50
60
服用
18
42
60
合计
28
92
120
经计算得到 $χ^{2} \approx 2.981$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验（已知 $χ^{2}$ 独立性检验中 $x_{0.05} = 3.841$ ），结论为（）

A、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 没有效果 B、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 没有效果，这种判断犯错误的概率不超过 $0.05$ C、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果 D、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果，这种判断犯错误的概率不超过 $0.05$

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7、已知空间中两条直线 $l, m$ ，及平面 $α$ ，且满足 $m \subset α$ ， “ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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8、已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、5

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9、已知圆锥的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，其外接球体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、3π B、6π C、9π D、12π

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10、如图，在△ABC中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{N C}$ ， P是线段BN上的一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则实数m等于（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11、某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为．

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12、设 $n \in N^{*}, n \geq 4$ ，集合 $P_{n} = \{\vec{x} | \vec{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, 1 \leq i \leq n, i \in N^{*}\}$ （ $\vec{x}$ 为向量），若 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) \in P_{n}, \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in P_{n}$ ，定义 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ .

(1)、若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in P_{4}$ ，且 $\vec{a} = (0, 1, 1, 1), \vec{b} = (1, 1, 0, 1), \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 2$ ，写出所有的 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $\vec{a}, \vec{b} \in P_{n}$ ，且 $\vec{a} = (1, 1, 1, \cdot \cdot \cdot, 1)$ ，设满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = m$ 的 $\vec{b}$ 的个数为 $f (m)$ ，求 $\sum_{m = 0}^{n - 1} {(- 1)}^{m} f (m)$ 的值；

(3)、从集合 $P_{n}$ 中任取两个不同的向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，记 $\vec{a} \cdot \vec{b} = X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点 $F (2, 0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{3}{2}$ 的两条切线，一条与 $C$ 的左支交于点 $M$ ，另一条与 $C$ 的右支交于点 $N$ （异于点 $P$ ）.
（ⅰ）证明： $O M ⊥ O P$ ；
（ⅱ）当 $△ P M N$ 的面积最小时，求直线 $P M$ 和直线 $P N$ 的方程.

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14、已知函数 $f (x) = e^{2 x}, g (x) = \sqrt{a x}$ （ $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ）.

(1)、若 $a > 0$ ，直线 $l : y = 2 x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 都相切，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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15、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D$ 为锐角， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}, C D$ 的中点，点 $M$ 在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $C_{1} M = 3 M D_{1}, A A_{1} = A B = 4$ ，点 $P$ 在直线 $E M$ 上.

(1)、证明： $E M / /$ 平面 $A B_{1} F$ ；

(2)、若直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $32 \sqrt{3}$ ，当直线 $F P$ 与平面 $A B_{1} F$ 所成角的正弦值最大时，求 $M P$ 的长.

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16、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C = A D = 4, ∠ C A D = 60 °, ∠ A B C = 90 °$ ，若 $△$ $A B D$ 的面积是 $△ B C D$ 的面积的2倍，则 $B D$ 的长度为.

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17、一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为.

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18、若函数 $f (x) = {log}_{a} |x - m|$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）是偶函数，且 $f (- 2) = 2$ ，则 $a =$ .

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19、已知 $A, B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $C$ 为该球面上的动点，球 $O$ 的半径为4， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，二面角 $O - A B - C$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 是钝角三角形 B、直线 $O C$ 与平面 $A B C$ 所成角为定值 C、三棱锥 $O - A B C$ 的体积的最大值为 $8 \sqrt{2}$ D、三棱锥 $O - A B C$ 的外接球的表面积为 $\frac{128}{3} π$

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20、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3, 4)$ ， $B (- 1, 2), C (1, 0)$ ，其“欧拉线”为 $l$ ，圆 $M : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、过 $A$ 作圆 $M$ 的切线，切点为 $P$ ，则 $|A P|$ 的最小值为4 B、若直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长为2，则 $a = - 1$ C、若圆 $M$ 上有且只有两个点到 $l$ 的距离都为1，则 $- 1 - 2 \sqrt{2} < a < - 1 + 2 \sqrt{2}$ D、存在 $a$ ，使圆 $M$ 上有三个点到 $l$ 的距离都为1

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药物 $A$	疗效		合计
药物 $A$	未患疾病 $B$	患疾病 $B$	合计
未服用	10	50	60
服用	18	42	60
合计	28	92	120