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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + \frac{2 x}{x + 2} - \ln n$ ， $n \in N^{*}$ ，设 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、证明： $\{a_{n}\}$ 为单调数列，并求 $\{a_{n}\}$ 中的最小项；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + a_{i}} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ .

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \sqrt{5}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C = 4$ ， P为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，点Q为 $A B_{1}$ 的中点.

(1)、若 $\vec{A_{1} C_{1}} = 2 \vec{A_{1} P}$ ，
（i）证明： $B C_{1} //$ 平面 $C P Q$ ；
（ii）求直线 $C Q$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 的所成角的余弦值；

(2)、若平面 $C P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $C_{1} P$ 的值.

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3、某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为 $p （ 0 < p < 1 ）$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)、记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的极大值点 $p_{0}$ ．

(2)、工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a cos B - b cos A = b + c, D$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}, A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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5、已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4 ， |\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为．

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6、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 2 |x| - 2 |y| + 1 = 0$ ，曲线 $L : y = k |x| - 3$ ，则（）

A、 $C$ 的周长为 $8 π$ B、当 $k = \frac{3}{4}$ 时， $L$ 与 $C$ 有且只有2个公共点 C、当 $L$ 与 $C$ 有且只有6个公共点时，则 $k$ 的取值集合为 $\{2, 3\}$ D、当 $L$ 与 $C$ 有8个公共点时， $k$ 的取值范围为 $(\frac{15}{8}, 3) \cup (3, + \infty)$

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7、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的两个焦点，点 $A (\frac{1}{2}, \sqrt{3})$ 在椭圆 $C$ 上， $B$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $B N ⊥ x$ 轴，垂足为 $N$ ，且点 $P$ 为 $B N$ 的中点， $B M ⊥ y$ 轴，垂足为 $M$ ，且点 $Q$ 为 $B M$ 的中点，则（）

A、 $|A F_{1}| + |A F_{2}| = 4$ B、 $|A P|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $△ P O A$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ D、 $△ P O Q$ 面积的最大值为 $\frac{3}{8}$

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8、将函数 $f (x) = \sin ω x + 1 (ω > 0)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = \cos ω x + 1$ 的图象．设函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，若 $φ$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$ ，则（）

A、 $ω = 3$ B、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是 $h (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{12}, 2)$ 是 $h (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $h (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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9、已知实数 $x, y$ 满足方程 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = x - 1$ ，则 $\frac{y + 2}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3}, 4]$ B、 $[\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $[2, 4]$

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10、如图在直角梯形ABCD中，已知 $\vec{D E} = \vec{E C}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{F C}$ ， $A B = 5, A D = 3$ ， $C D = 2$ ，则 $(\vec{A E} + \vec{A F}) \cdot \vec{A C} =$ （）．

A、22 B、24 C、20 D、18

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11、已知集合 $A = \{x |y = \frac{1}{x - 1}\}$ ， $B = \{y |y = \cos x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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12、已知函数 $f (x) = x - 1 - a ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*}, e$ 为自然对数的底数）.

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13、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} + a_{n} = 2 n + 2$ .

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = n (a_{n} - 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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14、若 ${(3 x + \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含 $x$ 的项的系数为．

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15、已知各项均为正数且单调递减的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3}$ ， $\frac{3}{2} a_{4}$ ， $2 a_{5}$ 成等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 31$ ，则（）

A、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 5}$ B、 $a_{n} = 2^{n + 1}$ C、 $S_{n} = 32 - \frac{1}{2^{n - 5}}$ D、 $S_{n} = 2^{n + 4} - 16$

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16、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 10}{n}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10} + 1$ B、 $4 \sqrt{10} + 1$ C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{15}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，若存在 $x \in (0, 2 π)$ ，使得 $f (x) \leq t$ 成立，则实数 $t$ 的最小值是（）

A、 $- π$ B、 $2 π$ C、 $- 1$ D、 $1$

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{2} = 2, a_{5} = 10$ ，则 $a_{8} =$ （）.

A、 $12$ B、 $6$ C、 $20$ D、 $50$

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19、从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（）

A、7条 B、12条 C、64条 D、81条

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20、给定正整数n（ $n \geq 3$ ），记集合 $S_{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) |x_{i} = 0$ 或 $1 (i = 1, 2, \dots, n)$ 且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \neq 0}$ .对于由 $S_{n}$ 中的三个元素组成的子集 $\{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}), (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})\}$ ，若满足对于任意 $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ ， $a_{i} + b_{i} + c_{i}$ 均为偶数，则称该三元子集具有性质T.

(1)、在 $S_{3}$ 的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明）

(2)、证明：在 $S_{5}$ 的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集；

(3)、在 $S_{2026}$ 的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由.

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