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相关试卷

1、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则直线 $D C_{1}, B_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$

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2、已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (2, 1)$ ，则过点 $A (1, - 1)$ 且与 $l$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x - 2 y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 3 = 0$ D、 $2 x + y - 1 = 0$

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3、巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（）

A、2.03 B、2.21 C、2.12 D、3.55

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4、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}, a_{7} = 4$ ，则 ${log}_{2} a_{3} + {log}_{2} a_{11} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5、已知 ${|1 + i|}^{2} z = 3 + 4 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $2 i$ D、2

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6、对于一个有穷整数列 $Q : a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ，对正整数 $m \in N^{*}$ ，若对于任意的 $n \in \{1, 2, \dots, m\}$ ，有穷数列 $Q$ 中总存在 $a_{i}$ ， $a_{i + 1}$ ， $\dots$ ， $a_{i + j}$ ，自然数 $j \geq 0$ 使得 $a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{i + j} = n$ ，则称该数列为1到 $m$ 连续可表数列.即1到 $m$ 中的每个数可由 $Q$ 中的一个或连续若干项表示，而 $m + 1$ 不可由 $Q$ 中连续若干项表示.例如数列2，1，3则 $a_{2} = 1$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 3$ ， $a_{2} + a_{3} = 4$ ，而 $a_{1} + a_{2} \neq 5$ ， $a_{2} + a_{3} \neq 5$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} \neq 5$ ，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列.

(1)、数列 $Q_{1} : 1$ ， $1$ ， $1$ ， $1$ ， $1$ 是否为1到5连续可表数列？若数列 $Q_{2} : 2$ ， $1$ ， $4$ 是一个1到 $m$ 连续可表数列，求 $m$ 的值.

(2)、若有穷数列 $Q : a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 为1到5连续可表数列，且公比 $q$ 为整数，求数列的公比 $q$ 的值.

(3)、对正整数 $n$ ， $g \in N^{*} (g \geq 2)$ ，存在唯一的数列 $a_{1}$ ， $\dots$ ， $a_{m}$ 使得， $n = a_{1} \cdot g^{0} + a_{2} \cdot g^{1} + \dots + a_{m} \cdot g^{m - 1}$ ，且满足 $a_{m} \neq 0$ ， $0 \leq a_{i} \leq g - 1$ ， $i = 1$ ， $2$ ， $3 \dots$ $m$ 数列 $a_{1} \cdot g^{0}$ ， $a_{2} \cdot g^{1}$ ， $\dots$ ， $a_{m} \cdot g^{m - 1}$ 称为正整数 $n$ 的 $g$ 进制残片.记事件“随机挑选区间 $[1, r]$ 内的整数（ $r$ 为大于等于2的正整数），该数的 $g$ 进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为 $p_{g} (r)$ ，求 $p_{g} (r)$ 的表达式.

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7、设函数 $f (x) = ln x$ ， $g (x) = 1 - e^{1 - x}$ ．

(1)、当 $x > 1$ 时，比较 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的大小关系；

(2)、证明： $y = f (x)$ 的图象与 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x + y - 1 = 0$ 对称；

(3)、在平面直角坐标系中，若以 $M (1, 0)$ 为圆心的圆交 $y = |f (x)|$ 的图象于A，B两点，证明： $∠ A M B < \frac{π}{2}$ ．

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8、如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 2$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形，且 $F B = \sqrt{2}$ ， M，N分别为 $E F$ ， $A B$ 的中点.
（1）求证： $M N / /$ 平面 $F C B$ ；
（2）若直线 $A F$ 与平面 $F C B$ 所成的角为60°，求平面 $M A B$ 与平面 $M A C$ 所成锐二面角的余弦值.

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sqrt{3} sin A}{cos B} = \frac{a}{b}$ ， $a^{2} = b^{2} + b c$ .

(1)、求角 $B$ 和 $A$ ；

(2)、已知 $b = 2$ ，设 $M$ 、 $N$ 为线段 $A B$ 上的两个动点（ $M$ 靠近点 $A$ ），且 $∠ M C N = \frac{π}{6}$ .
①若 $A M = 1$ ，求 $△ M N C$ 的周长；
②当 $∠ A C M$ 为何值时， $△ M N C$ 的面积最小，最小面积是多少？

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10、一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球 $2 n$ 次 $(n \in N^{*})$ ，且每次取1只球， $X$ 表示 $2 n$ 次取球中取到红球的次数， $Y = \{\begin{array}{l} X ， X 为奇数 \\ 0 ， X 为偶数 \end{array}$ ，则 $Y$ 的数学期望为（用 $n$ 表示）．

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11、加斯帕尔 $\cdot$ 蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P ， Q$ 均在 $C$ 的蒙日圆 $O$ 上， $P A ， P B$ 分别与 $C$ 相切于 $A ， B$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C$ 的蒙日圆方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、设 $N (1 ， 1)$ ，则 $|A N| + |A F_{2}|$ 的取值范围为 $[4 - \sqrt{5} ， 4 + \sqrt{5}]$ C、长方形 $R$ 的四条边均与椭圆 $C$ 相切，长方形 $R$ 的面积的最大值为14 D、若直线 $P Q$ 过原点 $O$ ，且与 $C$ 的一个交点为 $G ， |G F_{1}| \cdot |G F_{2}| = 3$ ，则 $|G P| \cdot |G Q| = 3$

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12、已知函数 $f (x) = (x + 1) ln x + x - 1$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程是 $3 x - y + 3 = 0$ B、函数 $y = f^{'} (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 1)$ C、函数 $y = f (x) - f^{'} (x)$ 有唯一的零点 D、函数 $y = f^{'} (x)$ 的最大值为3

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13、下列结论中，正确的有（）

A、若随机变量 $ξ \sim N (2, σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 5) = 0.81$ ，则 $P (ξ \leq - 1) = 0.19$ B、将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化 C、已知经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 2.8$ ，且 $\bar{x} = 4$ ， $\bar{y} = 30$ ，则 $\hat{b} = 6.8$ D、在线性回归分析中相关指数 $R^{2}$ 用来刻画拟合的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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14、已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，且有 $f (x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ ， $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(0, 4 π)$ 内至少有（）个零点．

A、4 B、8 C、10 D、12

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15、对于函数 $f (x) = (2^{x} - 2^{- x}) \cdot x^{3}$ 和实数m、n．下列结论正确的是（）

A、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{2} < n^{2}$ B、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{3} < n^{3}$ C、若 $m < n$ ，则 $f (m) < f (n)$ D、若 $0 < m < n$ ，则 $f (\frac{1}{m}) < f (\frac{1}{n})$

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16、我们知道 $x \in (0 °, 90 °)$ 时， $\tan x > \sin x$ 恒成立； $x \in (0 °, 45 °)$ 时， $\cos x > \sin x$ ， $x \in (45 °, 90 °)$ 时， $\sin x > \cos x$ ，某数学研究小组欲研究 $x \in (0 °, 90 °)$ 时， $\cos x$ 与 $\tan x$ 的大小关系，小组成员经过分析得出结论，存在 $α$ ，当 $x \in (0 °, α °)$ 时， $\cos x > \tan x$ ，当 $x \in (α °, 90 °)$ 时， $\tan x > \cos x$ ，为更准确地估计 $α$ ，该小组查到如下相关数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ， $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\sin 38 ° \approx \frac{8}{13}$ ， $\sin 39 ° \approx \frac{17}{27}$ ， $\sin 40 ° \approx \frac{9}{14}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x \in (0 °, 37 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (38 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ B、 $x \in (0 °, 38 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (39 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ C、 $x \in (0 °, 39 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (40 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ D、 $x \in (0 °, 40 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$

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17、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (1, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + m \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、5 C、 $- 1$ D、 $- 5$

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18、已知集合 $A = {x | \log_{9} x > \frac{1}{2}}$ ， $B = {x | x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 3}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | 1 < x < 4}$ D、 ${x | 3 < x < 4}$

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19、已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x - x^{2} + a$ ， $a \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在这两个零点处的切线交于点 $(x_{0}, y_{0})$ ，求证： $x_{0}$ 小于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的等差中项；

(3)、证明： $2 \ln (n + 1) > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

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