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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $D A B ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, E, F$ 分别为 $D A, D C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $D A B$ ；

(2)、设 $A B = A C = 2$ ，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．
条件①： $A D = 2$ ；
条件②： $B D = B C$ ；
条件③： $A B ⊥ C D$ ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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2、已知 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} sin A + 2 {sin}^{2} \frac{A}{2} = 2$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、设 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $sin ∠ A D C = \frac{\sqrt{21}}{7}, A C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ 就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点 $A (- a, 0)$ 和 $B (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹．设 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 为 $C$ 上一点，给出下列四个结论：
① $|x_{0}| \leq \sqrt{2} a$ ；
② $|y_{0}| \leq \frac{a}{2}$ ；
③若点 $P$ 在第一象限，则 $|O P| < \sqrt{2} x_{0}$ ；
④ $△ P A B$ 的周长可以等于 $5 a$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2025} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ ．

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5、设函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则使得函数 $f (x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在最大值的一个 $φ$ 值为．

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6、一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为．

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7、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{3}{x^{2}}$ 的定义域为．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 x - 4 a, & x \leq 1, \\ x^{2} - 2 a x + 3, & x > 1 \end{array}$ 若对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + 2) > f (x)$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, 4)$ B、 $[- 4, 2]$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $(- \infty, 2]$

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9、设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线 $A A_{1}$ 的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + π$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} + π$

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10、小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）

A、840mm，594mm B、840mm，588mm C、594mm，420mm D、588mm，420mm

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11、设平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线， $k, s \in R$ ，则“ $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $s \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线”是“ $s k = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设 $F (c, 0)$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点．已知 $a, b, c$ 成等差数列，那么双曲线 $E$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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13、设圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 5 = 0$ 的圆心为 $M$ ，直线 $y = - x + t$ 与该圆相交于两点 $A, B$ ．若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 4$ ，则实数 $t =$ （）

A、1 B、3或1 C、3 D、3或 $- 1$

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14、若 ${(x^{2} + 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{4} + a_{3} x^{6} + a_{4} x^{8}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} =$ （）

A、0 B、1 C、4 D、8

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15、设 $a = lg 2, b = lg 3$ ，则 $lg 15 =$ （）

A、 $(1 - a) b$ B、 $1 - a + b$ C、 $(1 + a) b$ D、 $1 + a - b$

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16、已知集合 $A = \{x| x^{2} + 2 x = 0\}$ ，集合 $B = \{x |x + 1 > 0\}$ ，那么（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \subseteq B$ C、 $B \subseteq A$ D、 $(∁_{R} A) \cap B \neq \emptyset$

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17、定义在 $D$ 上的可导函数 $y = f (x)$ ，集合 $A_{(k, m)} = \{f (x) | F (x_{i}) = k, x_{i} \in D,$ $i = 1, 2, \dots, m,$ $m$ 为正整数 $}$ ，其中 $F (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 称为 $f (x)$ 的自和函数， $x_{i}$ 称为 $y = f (x)$ 的固着点. 已知 $f (x) = a e^{x} + b x + c sin x (a, b, c \in R)$ .

(1)、若 $a = c = 0, b = 2, D = R$ ， $f (x) \in A_{(1, m)}$ ，求 $m$ 的值及 $y = f (x)$ 的固着点；

(2)、若 $a = 0, b = 1, c = 1, D = [s, t] (s > 0)$ ， $F (x)$ 是 $f (x)$ 的自和函数，且 $F (x)$ 在 $D$ 上是严格增函数，求 $t - s$ 的最大值；

(3)、若 $b = - 1, c = 0, D = (0, + \infty)$ ， $f (x) \in A_{(0, 1)}$ ，且 $t$ 是 $y = f (x)$ 的固着点，求 $a$ 的取值范围，并证明： $\frac{1}{2 a} < e^{t} < \frac{1}{a^{2}}$ .

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18、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1_{} ， F_{1} 、 F_{2}$ 分别是其左、右焦点，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A 、 B$ 两点.

(1)、当直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，且 $|A B| = 6$ 时，求 $△ A B F_{1}$ 的周长；

(2)、已知点 $N (- 2, 3)$ ，若直线 $A N 、 B N$ 的斜率之和为 $0$ ，且 $\tan ∠ A N B = \frac{4}{3}$ ，当 $A N 、 B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $R 、 S$ 时，求 $△ R S N$ 的面积；

(3)、已知直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点且位于第一象限，且满足 $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ 的点 $Q$ 在线段 $A B$ 上，若 $\vec{A B} = 2 \vec{Q F_{2}}$ ，求点 $P$ 的坐标.

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19、某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量 $x$ （个）和游客平均等待时间 $y$ （分钟/个）的关系：
项目类别
体验类
演出类
互动类
开放数量 $x$ （个）
4
5
6
7
8
2
4
2
3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）
76
73
67
m
60
53
30
46
30

(1)、体验类项目中，若 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $y = - 4.3 x + 93.8$ ，请计算 $m$ 的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；

(2)、小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；

(3)、为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为 $p$ ，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.

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20、已知函数 $f (x) = a^{x}$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、若 $f (2) = 4$ ，求方程 $f (x) - f (- x) = 2$ 的解；

(2)、已知 $0 < a < 1$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (m x)]}^{2} \geq f (x^{2} + 1) \cdot f (x + 3)$ 在区间 $[1, 2]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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项目类别	体验类					演出类		互动类
开放数量 $x$ （个）	4	5	6	7	8	2	4	2	3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）	76	73	67	m	60	53	30	46	30