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相关试卷

1、甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个社区中随机选择一个社区，设事件 $M$ 为“甲和乙至少一人选择了 $A$ 社区”，事件 $N$ 为“甲和乙选择的社区不相同”，则 $P (N | M) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{9}$

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2、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ，若 $\vec{c}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3、已知函数 $f (x) = x e^{3 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} + b_{n} x) e^{3 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{b_{1} - 1} + \frac{1}{b_{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n} - 1} < \frac{3}{4}$ ．

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4、已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，而焦点是双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的右顶点.
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l : y = x - 2$ 与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长 $|A B|$ ；
②求证： $O A ⊥ O B$ .

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P B E$ 所成角的正弦值.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前10项的和．

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 \ln x$ ，若关于x的不等式 $f (x) - m \geq 0$ 在 $[1, e]$ 上有实数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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8、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 2} - S_{n + 1} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ，则公比 $q =$ .

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9、在 ${(2 - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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10、导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（）

A、 $x_{4}$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值点 B、 $f^{'} (x_{2})$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值 C、 $f (x_{3})$ 是函数 $y = f (x)$ 的极大值 D、 $x_{5}$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点

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11、若 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{2} = - 40$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = - 121$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 122$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是常数列 B、 $a_{n} = n + 1$ C、 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{2026}} = \frac{4052}{2027}$ D、 $a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立

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13、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{2} = 4$ ， $S_{4} = 2$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、-6 B、-3 C、3 D、6

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14、有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（）

A、48种 B、12种 C、36种 D、24种

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15、城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到 $A$ ， $B$ 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中 $A$ 中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式

A、9 B、12 C、14 D、16

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16、已知函数 $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x (a \in R)$ ，且 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、过原点 $(0, 0)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，求切线方程；

(3)、过点 $(0, m) (m \in R)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，讨论切线的条数.

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17、已知函数 $f (x) = a x - 3 + \frac{1}{x + 1} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $3 x - 2 \geq f (x)$ 对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 3$ ，证明：当 $0 \leq x < \frac{π}{2}$ 时， $\tan x > f (x)$ .

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18、某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目．

(1)、若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？

(2)、若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x^{3} + x + 2}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 只有1个实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、现有4名男生、3名女生站成一排拍照留念，在下列不同条件下，求不同的站法总数．（结果用数字作答）

(1)、要求女生互不相邻；

(2)、若甲、乙是这7人中的2人，则要求甲不站在排头，乙不站在排尾.

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