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相关试卷

1、向量 $\vec{a} = (1, - 2, - 2)$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ 的是（）

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(1, - 1, 0)$ C、 $(- 1, 0, 1)$ D、 $(0, - 1, - 1)$

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2、若直线 $a x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $3$ D、 $- 3$

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3、某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.

(1)、如图，取拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求在该坐标系下拱桥的抛物线方程；

(2)、当水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船不能通行？

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4、已知点 $A (3, 2)$ 和 $B (- 1, 4)$ ，直线 $y = a x + 1$ 与线段AB有公共点，则实数a的取值范围.

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5、已知椭圆C： $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，过椭圆C的焦点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的直线l与椭圆C相交于 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 两点，设线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点为P.若 $P (\frac{8 \sqrt{3}}{9}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9})$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、9

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6、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，一个焦点在抛物线 $y^{2} = 24 x$ 的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、2 C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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7、原点关于直线 $8 x + 6 y = 25$ 的对称点坐标为（）

A、 $(2, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{25}{8}, \frac{25}{6})$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 3)$

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8、已知圆C的方程 $x^{2} + y^{2} + 2 b y = 0$ （ $b \neq 0$ ），则圆C的圆心坐标和半径分别为（）

A、 $(0, b)$ ， b B、 $(0, - b)$ ， $b^{2}$ C、 $(0, - b)$ ， $|b|$ D、 $(0, b)$ ， $|b|$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(2 > b^{2} > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、如图，直线 $G H$ 为椭圆 $C$ 与抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公切线，其中点 $G, H$ 分别在椭圆 $C$ 与抛物线 $C_{1}$ 上，线段 $O H$ 交 $C$ 于点 $N$ ，求 $△ N G H$ 的面积的最小值．

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10、已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，且经过 $A (- 1, 1)$ 和 $B (1, 3)$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为6，求直线 $l$ 的方程.

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11、下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{i, j}$ （其中 $i, j \in N_{+}$ ），则 $a_{7, 7} =$ ，数字 $2026$ 在表中总计出现次．
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$\dots$
$3$
$5$
$7$
$9$
$11$
$13$
$\dots$
$4$
$7$
$10$
$13$
$16$
$19$
$\dots$
$5$
$9$
13
$17$
$21$
$25$
$\dots$
$6$
$11$
$16$
$21$
$26$
$31$
$\dots$
$7$
$13$
$19$
$25$
$31$
$37$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$

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12、已知曲线 $C$ ： $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，则下列命题中，正确的是（）

A、若 $m = n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示圆，且半径为 $\sqrt{\frac{1}{m}}$ B、若 $m n < 0$ ，则曲线 $C$ 表示双曲线，且渐近线为 $y = \pm \sqrt{- \frac{n}{m}} x$ C、若 $m = 0$ ， $n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示两条直线 D、若 $0 < m < n$ ，则曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆

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13、中心在原点，顶点在 $x$ 轴上，且一个焦点在直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 上的等轴双曲线的方程是（）

A、 $y^{2} - x^{2} = 4$ B、 $x^{2} - y^{2} = 4$ C、 $y^{2} - x^{2} = 8$ D、 $x^{2} - y^{2} = 8$

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14、如图，已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}} =$ （）

A、 $\vec{A^{'} C}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{A C^{'}}$ D、 $\vec{B^{'} D}$

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15、已知点 $A$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴负半轴的交点， $P$ 为圆 $O$ 上任意一点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，反向延长 $P H$ 至点 $M$ ，使得 $\vec{H M} = \sqrt{2} \vec{H P} .$

(1)、令点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程：

(2)、连接 $A M$ 交圆 $O$ 于点另外点 $B$ ，若 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ A O M}} = \frac{3}{4},$ 求直线 $A M$ 的方程；

(3)、已知点 $Q (2, 0),$ 直线 $M Q$ 交曲线 $C$ 于另外一点 $N$ ，记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A N$ 的斜率为 $k_{2},$ 求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值.

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16、抛物线 $y = x^{2} - 4 x + b$ 与坐标轴交于 $A, B, E$ 三点，圆 $C$ 过 $A, B, E$ 三点.

(1)、求b的取值范围：

(2)、当 $b = 1$ 时，求圆C的方程；

(3)、在（2）条件下，已知圆 $D : {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4,$ 设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，它们分别与圆C和圆D相交，且直线 $l_{1}$ 被圆C截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标.

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17、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B$ $∥$ $CD$ ，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且 $B C = 1, P C = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、设 $△ P C D$ 的重心为 $G$ ，求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 3)$ ，点A为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2} .$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、在椭圆 $C$ 上取一点N，且满足 $△ A M N$ 的面积为12，求点 $N$ 的坐标.

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19、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，四面体 $S A B C$ 各顶点坐标分别为 $S (6, 4, 4), A (4, 4, 1), B (6, 6, 4), C (4, 6, 4)$ ，则该四面体外接球的表面积是.

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20、已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y - 6 = 0$ 和直线 $l_{2} : y = - 1,$ 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是.

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$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$\dots$
$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$13$	$\dots$
$4$	$7$	$10$	$13$	$16$	$19$	$\dots$
$5$	$9$	13	$17$	$21$	$25$	$\dots$
$6$	$11$	$16$	$21$	$26$	$31$	$\dots$
$7$	$13$	$19$	$25$	$31$	$37$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$