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相关试卷

1、经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表：
组名
A
B
C
D
E
年龄
$[10, 20)$
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
人数
20
120
100
40
20

(1)、用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为 $X_{1}$ ， E组的人数为 $X_{2}$ .设 $X = |X_{1} - X_{2}|$ ，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、年龄在 $[20, 40)$ 上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - 2 k x$ ， $x \in (0, e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 的最大值为 $- 2$ ？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

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3、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + m = 0$ 外切，此时直线 $l$ ： $x + y = 0$ 被圆 $C_{2}$ 所截的弦长为；若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C_{2}$ 上一点，则 $x_{0} ^{2} + y_{0} ^{2}$ 的最小值为．

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4、设复数 $z = 1 + \sqrt{2} i$ ，则 $z^{2} - 2 z =$ ；

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5、已知曲线 $C : y^{2} = x^{3} + x + 2$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上任意一点横坐标的最小值为 $- 1$ C、曲线 $C$ 与 $y$ 轴围成封闭图形的面积大于 $\frac{π}{2}$ D、直线 $y = \sqrt{2} x$ 与曲线 $C$ 有三个交点

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6、已知点 $A, B$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，设 $C$ 的焦点为 $F$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 在 $C$ 的准线 $l$ 上的射影为 $M^{'}$ ，且 $|A B| = \sqrt{3} |M M^{'}|$ ，则向量 $\vec{F B}, \vec{F A}$ 的夹角的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{5} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} = 3$ ，则 $\frac{a_{10} - a_{2}}{a_{6} + a_{2}} =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、15

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8、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{3}]$ C、 $[1, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 1 (a \in R)$ 有唯一的极值点 $x_{0}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个零点，记 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ ， $C (x_{0}, f (x_{0}))$ ．
（i）证明： $x_{0} < f (x_{0})$ ；
（ii）判断 $△ A B C$ 是否可能为直角三角形，并说明理由．

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10、甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；

(2)、若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记 $X$ 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续 $n (n \in N^{*})$ 次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为 $Y_{n}$ ，随机变量 $Y_{n}$ 的数学期望为 $E (Y_{n})$ ，记 $a_{n} = E (Y_{n})$ ．写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的递推关系，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ 、动点 $P$ 满足 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ ， $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ ，记点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程：

(2)、已知点 $M (4, 0)$ ， $N (t, 0)$ ，过点 $M$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，设直线 $N A$ ， $N B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $\frac{1}{k_{1}}$ ， $- \frac{1}{k}$ ， $\frac{1}{k_{2}}$ 成等差数列，求 $t$ ．

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12、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 b cos C + 3 c cos B - 5 a cos A = 0$ ．

(1)、求 $cos 2 A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的内切圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A D = 2 B C = 2 C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $\vec{B P} = 3 \vec{B F}$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $b c$ ， $△ A B F_{1}$ 的内切圆与 $A B$ 相切于点 $N$ ，若 $\vec{A B} = 6 \vec{A N}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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15、已知曲线 $y = a x ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，则 $a =$ ．

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16、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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17、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥ P A$ ， $P B = 2 P A = 2 a$ ， $P C = b$ ， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $P O = 1$ ，则（）

A、 $P C ⊥$ 平面 $P A B$ B、 $\frac{5}{4 a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ C、三棱锥 $P - A B C$ 体积的最小值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{8}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 外接球表面积的最小值为 $\frac{25 π}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = ln x^{2} + |x| - \frac{1}{|x|}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、不等式 $f (x) < f (2 - x)$ 的解集为 $(0, 1)$ D、若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $2$

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19、已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $- i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z$ 为方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = ln (2 - \frac{1}{a_{n} + 1}) (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $0 < a_{2026} < \frac{1}{5052}$ B、 $\frac{1}{5052} < a_{2026} < \frac{1}{2027}$ C、 $\frac{1}{2027} < a_{2026} < \frac{1}{2026}$ D、 $\frac{1}{2026} < a_{2026} < \frac{1}{2}$

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组名	A	B	C	D	E
年龄	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
人数	20	120	100	40	20