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相关试卷

1、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, 2)$ C、 $(\frac{3}{2}, 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2}, 2) \cup (2, + \infty)$

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2、如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， $C B / / D A, E A ⊥ A B,$ M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.

(1)、若M 为CE的中点， $A F = 3 F D .$
(i) 求证： $F N / /$ 平面 $M B D$ ；
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.

(2)、若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 $\frac{1}{3},$ 试确定点M在EC上的位置.

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3、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4 \sqrt{3}$ ， $P (2, \sqrt{2})$ 是 $E$ 上一点.

(1)、求E的方程；

(2)、若 $A, B$ 是 $E$ 上两点，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $(- \frac{8}{5}, \frac{2}{5})$ ，求 $|A B|$ 的值.

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4、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 的长；

(2)、求过点 $(4, - 1)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程．

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5、已知 $M$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）

A、椭圆的焦距为2 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是4

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6、已知圆 $C : x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ ，则（）

A、点 $(1, - 2)$ 在圆 $C$ 的内部 B、圆 $C$ 的直径为2 C、过点 $(2, - 3)$ 的切线方程为 $x = 2$ D、直线 $y = x$ 与圆 $C$ 相离

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7、古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $\frac{|P O|}{|P A|} = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，且 $A A_{1} = 1$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{15}$

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9、圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ 的圆心和半径长分别为（　　）

A、 $(4, - 6)$ ， 16 B、 $(2, - 3)$ ， 4 C、 $(- 2, 3)$ ， 4 D、 $(2, - 3)$ ， 16

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．

(1)、求直线AD与平面ACM夹角的余弦值；

(2)、求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值；

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11、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的弦 $A B$ 的中点M的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $A B$ 的方程为.

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 顶点 $A (- 3, 0)$ 和 $C (3, 0)$ ，顶点 $B$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上，则 $\frac{\sin A + \sin C}{2 \sin B} =$ ．

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13、圆 $O_{1} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 28$ 与 $O_{2} : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 18$ 的公共弦长为.

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14、已知点 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 12 = 0$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $4 x - 3 y - 2 = 0$ 距离的最小值是.

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15、若双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{10 - 2 t} - \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，其焦点在 $x$ 轴上，焦距为4，则实数 $t$ 等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、若点 $A (1, 1)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - m x - 2 y + 5 = 0$ 外，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 5)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (4, 5)$

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17、已知空间单位向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两垂直，则 $|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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18、我校对 $2021$ 年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取 $100$ 名学生，将分数按照 $[30, 50)$ ， $[50, 70)$ ， $[70, 90)$ ， $[90, 110)$ ， $[110, 130)$ ， $[130, 150]$ 分成 $6$ 组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 $5$ 名学生，再从这 $5$ 名学生中随机抽取 $2$ 名学生进行问卷调查，求抽取的这 $2$ 名学生至少有 $1$ 人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率．

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19、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3 x - 1, x < 1 \\ 2^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则满足 $f (f (a)) = 2^{f (a)}$ 的实数 $a$ 取值范围是.

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20、下列命题中错误的是（）．

A、 $y = | \cos (2 x + \frac{π}{6}) |$ 最小正周期为 $π$ ； B、函数 $y = \tan \frac{x}{2}$ 的图象的对称中心是 $(k π, 0), k \in Z$ ； C、 $f (x) = \tan x - \sin x$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有3个零点； D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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