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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - n (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} + 1\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{(2 n - 1) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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2、“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为 $\frac{3}{10} 、 \frac{2}{5} 、 \frac{3}{10}$ ．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为 $\frac{2}{3} 、 \frac{3}{5} 、 \frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

(2)、若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得 $- 1$ 分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；

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3、在 $△ A B C$ 中，已知 $\sqrt{2} cos B (a cos C + c cos A) = b$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{4} B C$ ，求 $cos A$ ．

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4、若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - a)$ 的极值点，则 $f (0) =$ ．

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5、已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是．

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6、设a为常数，多项式 $x^{3} + a x^{2} + 1$ 除以 $x^{2} - 1$ 所得的余式为 $x + 3$ ，则a＝．

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7、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 项的系数为（用数字作答）

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为0， $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列，且 $a_{2} = 2 a_{1} + 1$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、以直线 $y = \sqrt{5} x$ 与 $y = - \sqrt{5} x$ 为渐近线的双曲线的离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6}$ 或 $\frac{\sqrt{30}}{5}$

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10、将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ ，则 $g (x) =$ （）

A、 $\sin (2 x + \frac{3 π}{8})$ B、 $\cos 2 x$ C、 $\sin (2 x + \frac{π}{8})$ D、 $\sin 2 x$

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11、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (4 - x)$ ，则 $f (4) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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13、集合 $A = \{x | 2 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x | 2^{x} \geq 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[2, 3]$ D、 $[3, 4)$

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14、平面内一动点 $P$ 到直线 $\sqrt{3} x + 2 y = 0$ 的距离为 $d_{1}$ ，到直线 $\sqrt{3} x - 2 y = 0$ 的距离为 $d_{2}$ ，且 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = \frac{24}{7}$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $Ω$ .

(1)、求 $Ω$ 的方程；

(2)、已知过点 $(1, 0)$ 且斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 与 $Ω$ 交于 $D, E$ 两点，点 $A (- 2, 0)$ ，直线 $A D, A E$ 分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，且 $|M N| = 2 \sqrt{2}$ ，求 $l$ 的方程；

(3)、以点 $B (1, 0)$ 为端点作 $n (n \geq 2)$ 条射线分别与 $Ω$ 交于 $C_{1}, C_{2}, ..., C_{n}$ （射线 $B C_{1}, B C_{2}, ..., B C_{n}$ 按逆时针方向旋转），且 $∠ C_{1} B C_{2} = ∠ C_{2} B C_{3} = ... = ∠ C_{n} B C_{1} = \frac{2 π}{n}$ 求 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{|B C_{i}|}$ .

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a \sin x - 1$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在原点处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增，求a的取值范围；

(3)、当 $0 \leq a \leq 1$ 时，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ．

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16、如图，在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，下底面圆 $O_{2}$ 的直径 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，点C在圆 $O_{2}$ 上，且 $A C = B C$ ，上底面圆 $O_{1}$ 的半径 $O_{1} P = 1$ ，且平面 $A C P ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明： $P O_{1} ∥ B C$ ．

(2)、若圆台 $O_{1} O_{2}$ 的高为2，求平面 $A P O_{1}$ 与平面 $P B C$ 所成二面角的正弦值．

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n + 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}^{2} + 2^{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ 及其最小值．

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18、脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱．种植脐橙有较好的经济效益，某地近5年的脐橙产量 $y$ （单位：万吨）如下表：
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份编号 $x$
1
2
3
4
5
脐橙产量 $y$
20
22
24
28
30
已知年份编号 $x$ 和脐橙产量 $y$ 线性相关．

(1)、用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、试预测该地2027年的脐橙产量．
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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19、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D$ 是棱 $A C$ 上的点， $P D = B D = C D = 2 A D$ ， $P B ⊥ B C$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积是 $12 \sqrt{39}$ ，则 $A C =$ ．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $b = \sqrt{5}, a = \sqrt{2} c, B = \frac{3 π}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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年份	2021	2022	2023	2024	2025
年份编号 $x$	1	2	3	4	5
脐橙产量 $y$	20	22	24	28	30