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相关试卷

1、已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，且经过 $A (- 1, 1)$ 和 $B (1, 3)$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为6，求直线 $l$ 的方程.

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2、下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{i, j}$ （其中 $i, j \in N_{+}$ ），则 $a_{7, 7} =$ ，数字 $2026$ 在表中总计出现次．
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$\dots$
$3$
$5$
$7$
$9$
$11$
$13$
$\dots$
$4$
$7$
$10$
$13$
$16$
$19$
$\dots$
$5$
$9$
13
$17$
$21$
$25$
$\dots$
$6$
$11$
$16$
$21$
$26$
$31$
$\dots$
$7$
$13$
$19$
$25$
$31$
$37$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$

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3、已知曲线 $C$ ： $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，则下列命题中，正确的是（）

A、若 $m = n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示圆，且半径为 $\sqrt{\frac{1}{m}}$ B、若 $m n < 0$ ，则曲线 $C$ 表示双曲线，且渐近线为 $y = \pm \sqrt{- \frac{n}{m}} x$ C、若 $m = 0$ ， $n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示两条直线 D、若 $0 < m < n$ ，则曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆

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4、中心在原点，顶点在 $x$ 轴上，且一个焦点在直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 上的等轴双曲线的方程是（）

A、 $y^{2} - x^{2} = 4$ B、 $x^{2} - y^{2} = 4$ C、 $y^{2} - x^{2} = 8$ D、 $x^{2} - y^{2} = 8$

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5、如图，已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}} =$ （）

A、 $\vec{A^{'} C}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{A C^{'}}$ D、 $\vec{B^{'} D}$

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6、已知点 $A$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴负半轴的交点， $P$ 为圆 $O$ 上任意一点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，反向延长 $P H$ 至点 $M$ ，使得 $\vec{H M} = \sqrt{2} \vec{H P} .$

(1)、令点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程：

(2)、连接 $A M$ 交圆 $O$ 于点另外点 $B$ ，若 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ A O M}} = \frac{3}{4},$ 求直线 $A M$ 的方程；

(3)、已知点 $Q (2, 0),$ 直线 $M Q$ 交曲线 $C$ 于另外一点 $N$ ，记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A N$ 的斜率为 $k_{2},$ 求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值.

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7、抛物线 $y = x^{2} - 4 x + b$ 与坐标轴交于 $A, B, E$ 三点，圆 $C$ 过 $A, B, E$ 三点.

(1)、求b的取值范围：

(2)、当 $b = 1$ 时，求圆C的方程；

(3)、在（2）条件下，已知圆 $D : {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4,$ 设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，它们分别与圆C和圆D相交，且直线 $l_{1}$ 被圆C截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标.

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8、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B$ $∥$ $CD$ ，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且 $B C = 1, P C = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、设 $△ P C D$ 的重心为 $G$ ，求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 3)$ ，点A为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2} .$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、在椭圆 $C$ 上取一点N，且满足 $△ A M N$ 的面积为12，求点 $N$ 的坐标.

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10、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，四面体 $S A B C$ 各顶点坐标分别为 $S (6, 4, 4), A (4, 4, 1), B (6, 6, 4), C (4, 6, 4)$ ，则该四面体外接球的表面积是.

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11、已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y - 6 = 0$ 和直线 $l_{2} : y = - 1,$ 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是.

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12、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一点（包括边界），则以下说法正确的是（）

A、若点F为下底面 $A B C D$ 内一点（包括边界），则 $E F$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A E = \sqrt{5}$ ，则 $C_{1} E$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ C、当点E在棱 $B_{1} C_{1}$ 上，且 $B_{1} E = \frac{2}{3} B_{1} C_{1}$ 时，平面 $B D$ E截该正方体的外接球所得截面的面积为 $\frac{31}{11} π$ D、若点E到直线 $B B_{1}$ 的距离是它到直线 $C_{1} D_{1}$ 距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分

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13、已知圆C方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + λ = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $λ$ 的取值范围为 $(- \infty, 5]$ B、若已知 $P (1, 0)$ 在圆内，则 $λ < - 3$ C、圆C关于直线 $x + y - 1 = 0$ 对称 D、圆C与圆D： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 5 = 0$ 恰有三条公切线，则 $λ = - 3$

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14、在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $M$ 为棱 $B C$ 的中点， $N$ 为棱 $A D$ 上一点且 $A N = \frac{1}{2} N D$ ，则直线 $A M$ 和直线 $C N$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{6}$

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15、已知函数 $y = φ (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = φ (a + x) - b$ 是奇函数，给定函数 $f (x) = x - \frac{6}{x + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心；

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、已知函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 中心对称，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - m x + m$ （其中 $m < 0$ ），若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量 $P$ （单位： $kwh$ ）与速度 $v$ （单位： $km / h$ ）的数据如下表所示：）
$v$
60
70
80
90
100
$P$
8.8
11
13.6
16.6
20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量 $P$ 与速度 $v$ 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
① $P_{1} (v) = a v^{2} + b v + 4 (a, b \in R)$ ， ② $P_{2} (v) = k v + m (k, m \in R)$

(1)、请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；

(2)、现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速 $60 km / h$ ，最高限速 $120 km / h$ ）匀速行驶到距离为 $500 km$ 的B地，出发前汽车电池存量为 $65 kmh$ ，汽车到达B地后至少要保留 $5 kmh$ 的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为 $v$ 的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.设耗电量 $y$ 关于速度 $v$ 的函数为 $f (v)$ ，求 $f (v)$ 的函数解析式，说明该电动汽车能否到达 $B$ 地.
（函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 在 $(0, \sqrt{a})$ 上单调递减，在 $[\sqrt{a}, + \infty)$ 上单调递增，）

(3)、已知该高速公路上有一功率为 $16 kw$ 的充电桩（充电量 $=$ 充电功率 $\times$ 充电时间），确保电动车能从A地到达B地的前提下，求该电动汽车从 $A$ 地到达 $B$ 地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.

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17、已知集合 $A = \{x | - 2 \leq x - 1 \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\} (m \in R)$ .

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p : x \in A$ ；命题 $q : x \in B$ ，若命题 $\neg q$ 是命题 $\neg p$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、解答下列问题

(1)、若 $1 < a < 2$ ，化简 $\sqrt[3]{{(1 - a)}^{3}} + \sqrt[4]{{(2 - a)}^{4}}$

(2)、求值： ${(2 \frac{7}{9})}^{0.5} + {(\frac{27}{64})}^{- \frac{2}{3}} - {(\sqrt{8})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{2}{3})}^{0}$

(3)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3 (a > 0)$ ，求值： $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 1}{a + a^{- 1} + 1}$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + a x + 2, x \leq 1 \\ \frac{1}{3 x}, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为.

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20、下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是

A、 $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ B、 $f (x) = 2^{x}$ C、 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x, x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{matrix}$ D、 $f (x) = x - |x|$

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$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$\dots$
$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$13$	$\dots$
$4$	$7$	$10$	$13$	$16$	$19$	$\dots$
$5$	$9$	13	$17$	$21$	$25$	$\dots$
$6$	$11$	$16$	$21$	$26$	$31$	$\dots$
$7$	$13$	$19$	$25$	$31$	$37$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

$v$	60	70	80	90	100
$P$	8.8	11	13.6	16.6	20