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相关试卷

1、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} = 2$ ， $a_{2} = 2$ ，记 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{3} =$ （）

A、4 B、6.5 C、8 D、12

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2、已知复数z满足 $z \cdot i = 1 - i$ ，则复数z在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{8}$ 的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

A、56 B、-56 C、70 D、-70

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4、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = \{x |\frac{x - 1}{x} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0), B (1, 0), Q (- 4, 0)$ ，动点P满足 $|P A| + |P B| = 4$ ，记点P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
①求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②设直线AF，BE相交于点M，求证： $|M A| - |M B|$ 为定值．

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6、如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形， $F A = F C = 2 \sqrt{6}$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ ．

(1)、求证：平面 $B D E F ⊥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值；

(3)、试问直线BC上是否存在点M，使直线 $A E / /$ 平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.

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7、云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，战平的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，若进入点球大战则取胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每场比赛相互独立．

(1)、求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率；

(2)、设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望．

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \cdot cos A + \frac{\sqrt{3}}{3} a \cdot sin B = c$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 6$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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9、若函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x + 1}{e^{x}} (a > 0)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值，则实数 $a$ 的取值范围为．

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10、计算： $\frac{\tan 25^{°} + \tan 20^{°} (1 + \tan 25^{°})}{{(\sin 15^{°} - \cos 15^{°})}^{2}} =$ .

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11、已知函数 $f (x) = 2 cos x - a ln x + e^{x}$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(π, f (π))$ 处的切线过坐标原点，则实数 $a$ 的值为．

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12、对于定义在区间I上的函数 $f (x)$ ，若存在正数 $t$ ，使得不等式 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq t |x_{1} - x_{2}|$ 对任意不同的实数 $x_{1}, x_{2} \in I$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间I上是“ $t$ -理想函数”，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = x^{2}$ 是“2-理想函数” B、若函数 $f (x) = \sqrt{x + 1}$ 在 $[0, + \infty)$ 上是“ $t$ -理想函数”，则 $t$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、设 $f (x) = \sin x$ ，如果 $h (x) = k x + m (k > 1)$ 是“2025-理想函数”，且 $h (x)$ 的零点 $x_{0}$ 也是 $f (x)$ 的零点， $h (f (x_{0})) = f (h (x_{0}))$ ，则方程 $f (h (x)) = h (f (x))$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上有解 D、若函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上是“1-理想函数”，且 $f (0) = f (1)$ ，则存在满足条件的函数 $f (x)$ ，存在 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = \frac{3}{4}$

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13、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ ， $g (x) = - {log}_{3} x$ ， $h (x) = 2 - x$ .则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 互为反函数 B、函数 $y = f (x) - g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内有零点 C、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数，且满足 $f (a) = g (b) = h (c)$ ，则 $b < 1 < c < a$ D、若函数 $h (x)$ 的图象与函数 $f (x)$ 的图象和函数 $g (x)$ 的图象在第一象限内交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + {log}_{3} x_{2} = 0$

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14、已知函数 $f (x) = sin (ω x + α)$ （ $ω > 0$ ）的一个零点为 $x_{1}$ ，一条对称轴为 $x = x_{2}$ ， $|x_{1} - x_{2}| = \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 4$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 1, a_{n} \leq 0 \\ 2 a_{n}, a_{n} > 0 \end{array}, n \in N^{*}$ 则满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} > 2018$ 的 $n$ 的最小值为（）

A、16 B、15 C、14 D、13

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16、已知集合 $A = \{x ∣ y = \sqrt{1 - x^{2}}\}$ ，全集 $U = R$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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17、若复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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18、设定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = e^{x} - a (a > 0)$ ，我们可以证明函数 $y = f (x)$ 存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点 $A_{1} (x_{1}, f (x_{1}))$ 作函数 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $B_{2}$ ，设横坐标为 $x_{2}$ ，若 $x_{2} > r$ ，则过点 $A_{2} (x_{2}, f (x_{2}))$ 作函数 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ 与x轴的交点为 $B_{3}$ ，设横坐标为 $x_{3}$ ；若 $x_{2} \leq r$ ，则停止作切线．…依次类推，得到数列 $\{x_{n}\} (n \geq 1, n \in N)$ ，记 $x_{1} = t$ ， $t > r$ ．

(1)、若 $a = e$ ， $t = 2$ ，求 $x_{2}$ ；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是严格递减数列；

(3)、若 $a = 1$ ，比较 $x_{n + 1} + 1$ 与 $x_{n} - ln x_{n}$ 的大小，并说明理由．

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19、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(0, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过点 $M (0, - m)$ ， $m > 0$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $C$ ， $D$ 两点．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、若直线l与 $x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3}$ 相切，求当 $m = 2$ 时， $C D$ 的长；

(3)、若以 $C D$ 为直径的圆经过 $x$ 轴上方的定点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标．

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A = P C = 5$ ， $P B = P D = 2 \sqrt{5}$ ， $A C = 6$ ，点F为 $P D$ 的中点，点E为 $P B$ 上的点， $\vec{P E} = λ \vec{P B}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，平面 $A F E$ 与棱 $P C$ 交于点G．

(1)、求证：异面直线 $E F$ 与 $A C$ 垂直；

(2)、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求 $A G$ 与底面 $A B C D$ 所成的线面角大小．

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