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相关试卷

1、已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为．

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2、已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上运动，且 $A B ⊥ B C$ ，若点 $P$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，则 $|\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C}|$ 的取值范围是．

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3、一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了cm．

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4、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 互不相等，且满足 $a + b + c = 4$ ， $a b + b c + a c = 3$ ， $a b c = - 1$ ，下列说法正确的有（）

A、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 10$ B、 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 25$ C、 $a^{4} + b^{4} + c^{4} = 88$ D、对任意 $n \in N^{*}$ ， $a^{n} + b^{n} + c^{n}$ 均为整数

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5、设复数 $z$ 满足 $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $|z| \geq 2$ B、存在复数 $z$ ，使得 $z^{2}$ 为纯虚数 C、存在 $t \in R$ ，关于 $z$ 的方程 $z = t + 2 t \cdot i$ 有解 D、若复数 $w$ 满足 $|w - 1| = 1$ ，则 $|z - w|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$

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6、下列说法中正确的是（）

A、一组数据1，1，2，3，5，8， $13$ ， $21$ 的第 $60$ 百分位数为4 B、两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 $r$ 的绝对值越接近于1 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} \approx 6.852$ ，根据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验： $χ_{0.005}^{2} = 7.879$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不超过 $0.5 %$ D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.4$

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7、已知直线 $l$ 与焦点为 $F$ 的抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M F N = \frac{2 π}{3}$ ，线段 $M N$ 的中点 $A$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $d$ ，则 $\frac{|M N|}{d}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8、如图所示，已知 $△ A B C$ ，点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $B N$ 与 $C M$ 交于点 $P$ ， $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $\vec{A P} = t \vec{A D}$ ，则（）

A、 $\vec{A P} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ B、 $\vec{B P} = \frac{2}{5} \vec{B N}$ C、 $t = \frac{2}{5}$ D、 $\vec{C P} = \frac{2}{5} \vec{C A} + \frac{2}{5} \vec{C B}$

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9、某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（）

A、0.15 B、0.2 C、0.25 D、0.3

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10、若关于 $x$ 的方程 $cos 2 x = m$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ 上恰有3个根 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} =$ （）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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11、已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 5 m + 3) x^{\frac{1}{m}}$ 是非奇非偶函数，令 $a_{n} = \frac{1}{f (n + 1) + f (n)} (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2026} =$ （）

A、 $\sqrt{2026} + 1$ B、 $\sqrt{2026} - 1$ C、 $\sqrt{2027} + 1$ D、 $\sqrt{2027} - 1$

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12、设 $a > 0, b > 0, lg \sqrt{2}$ 是 $lg 4^{a}$ 与 $lg 2^{b}$ 的等差中项，则 $2 a + b$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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13、十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ．已知 $a, b \in R$ ，则“ $a + b \in Q$ ”是“ $D (a) + D (b) = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x \leq 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 5\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{- 1, 5\}$ C、 $\{- 1, 0, 5\}$ D、 $\{0, 1\}$

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15、若函数 $y = f (x), x \in D$ ，其值域为 $A$ ．若 $A \subseteq D$ ，则称函数 $y = f (x)$ 在区间 $D$ 上为封闭函数．

(1)、已知 $f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ ，判断函数 $y = f (x)$ 是否在区间 $[2, 8]$ 上为封闭函数，并说明理由；

(2)、已知 $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，若函数 $y = g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上不为单调函数，但在区间 $[a, b]$ 上为封闭函数，求 $b - a$ 的最大值；

(3)、已知函数 $y = h (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且为封闭函数，且对于任意的 $x$ 、 $y \in [a, b]$ ，都有 $|h (x) - h (y)|$ $= L |x - y| (0 \leq L < 1)$ 成立．若数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = h (x_{n})$ ， $n \geq 1$ 且 $n \in N$ ，证明：存在唯一常数 $c \in [a, b]$ ，使得 $h (c) = c$ ，且对于任意的 $x_{1} \in [a, b]$ ，都有 $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = c$ ．

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16、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线上一动点，点 $O$ 为坐标原点．

(1)、若 $|O P| = |P F|$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、若直线 $l_{0} : y = k x + 4$ 与抛物线 $Γ$ 只有一个交点，求直线 $l_{0}$ 的方程；

(3)、若 $x_{0} > 3$ ，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，交准线 $l$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ 的取值范围．

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17、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \ln x$ ．

(1)、若 $f (1 - m) - f (3 - m^{2}) < 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = a x - \frac{1}{x} - a + 1 - (a + 1) f (x)$ ，其中 $a > 0$ ，若存在 $b < 0$ ，使得直线 $y = b$ 与函数 $y = g (x)$ 的图像有3个不同的交点，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2, B C = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为边 $B C$ 、 $A D$ 的中点（如图1）．若将长方形 $A B E F$ 沿着边 $E F$ 翻折，得到二面角 $A_{1} - E F - D$ （如图2）．已知二面角 $A_{1} - E F - D$ 的大小为 $60 °$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} F D / /$ 平面 $B E C$ ；

(2)、求直线 $C A_{1}$ 与平面 $A_{1} B E F$ 所成角的大小．（结果用反三角表示）

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19、绝对零度（ $℃$ ）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（ $k P a$ ）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：
数据
1
2
3
4
5
6
温度（ $℃$ ）
4.07
16.69
29.42
45.67
57.06
73.05
压强（ $k P a$ ）
103.095
107.734
112.461
118.469
122.706
128.758

(1)、求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）

(2)、若该次实验下气体压强 $y$ 关于气体温度 $x$ 的回归方程为 $y = 0.372 x + \hat{b}$ ，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01 $℃$ ）

(3)、为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（ $- 273.15 ℃$ ）的误差均小于1 $℃$ 的概率．
绝对零度（ $℃$ ）
$-$ 275.13
$-$ 274.56
$-$ 274.28
$-$ 273.57
$-$ 272.45
$-$ 271.67

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20、已知全集 $U$ 是一个六元集合，任取 $U$ 的两个子集 $A$ 、 $B$ （ $A$ 、 $B$ 可以相等），记事件 $M : B \subseteq A$ ；记事件 $N : B \subseteq \bar{A}$ ．则 $P (M \cup N) =$ （）

A、 $\frac{95}{2^{11}}$ B、 $\frac{665}{2^{11}}$ C、 $\frac{697}{2^{11}}$ D、 $\frac{729}{2^{11}}$

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数据	1	2	3	4	5	6
温度（ $℃$ ）	4.07	16.69	29.42	45.67	57.06	73.05
压强（ $k P a$ ）	103.095	107.734	112.461	118.469	122.706	128.758