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相关试卷

1、已知 $\vec{O A} = (2, 8)$ ， $\vec{O B} = (- 7, 2)$ ，则 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ 等于（）

A、 $(3, 2)$ B、 $(- \frac{5}{3}, - \frac{10}{3})$ C、 $(- 3, - 2)$ D、 $(- \frac{5}{3}, 4)$

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2、已知圆心在坐标原点的圆O与直线 $3 x - 4 y + 10 = 0$ 相切.

(1)、求圆O的方程.

(2)、设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P，Q分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点 $Q_{1}$ 是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点 $P, Q_{1}$ 分别到达点 $P^{'}, Q_{1}^{'}$ 的位置，记二面角 $A - O B - P$ 的大小为θ，且 $0 < θ < π$ .以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $O x y z$ .将线段 $Q Q_{1}^{'}$ 在平面 $O y z$ 上的正投影的中点记为点M.
（i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分.
（ii）若 $θ \in [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]$ 求（i）中椭圆离心率的取值范围.

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3、有 $m$ 个编号分别为 $1, 2, \dots, m$ 的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第 $n (1 \leq n \leq m, n \in N^{*})$ 个盒子中取出蓝球的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{2}$ ；

(2)、求 $p_{n}$ ；

(3)、求数列 $(n p_{n})$ 的前 $n$ 项和.

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4、如图三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = C A = 2$ ，平面 $D A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若二面角 $A - C D - B$ 的正切值为2，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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5、已知函数 $f (x) = - x e^{1 - x}$

(1)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，分别讨论函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、证明：当 $0 < t < x$ 时， $f (t) + f (x) < f (t + x)$ .

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6、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $1 - \cos^{2} A - \cos^{2} B + \cos^{2} C = \sin A \sin B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $C$ 的角平分线与 $A B$ 交于点 $D$ ，且 $C D = 1$ ，求 $4 a + b$ 的最小值.

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7、甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记 $X$ 表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望 $E (X) =$ ．

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8、已知 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{e} ， f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程为．

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9、已知 $f (x) = \frac{x}{x - 1} (x > 1)$ ，若 $α, β$ 分别是方程 $f (x) = e^{x}$ 和 $f (x) = \ln x$ 的根，则下列说法正确的是（）

A、 $α < 2 \ln 2$ B、 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} > 1$ C、 $α β < 6$ D、 $β + \ln β > 4$

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10、如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（）

A、圆台的高为 $\sqrt{7}$ B、圆台的体积为 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ C、a的最小值为 $3 \sqrt{3}$ D、b的最大值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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11、过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的右焦点 $F$ 作渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，若点 $F$ 关于点 $A$ 的对称点 $B$ 恰好落在双曲线 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的渐近线的方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，设甲： $f (x + π)$ 是偶函数，乙： $f (x + \frac{π}{4})$ 是奇函数，则（）

A、甲是乙的必要不充分条件 B、甲是乙的充分不必要条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲是乙的既不充分也不必要条件

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13、我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）

A、 $72$ B、 $108$ C、 $180$ D、 $216$

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14、在如图的平面图形中，已知 $O M = 1, O N = 2, ∠ M O N = 120^{\circ}$ ， $\overset{⇀}{B M} = 2 \overset{⇀}{M A}, \overset{⇀}{C N} = 2 \overset{⇀}{N A},$ 则 $\overset{⇀}{B C} · \overset{⇀}{O M}$ 的值为

A、 $- 15$ B、 $- 9$ C、 $- 6$ D、0

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15、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，若数列 $\{a_{n} \cdot a_{n + 1}\}$ 是公比为2的等比数列，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{19} =$ （）．

A、2048 B、2047 C、1024 D、1023

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16、若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且对任意两个不同的实数 $a$ ， $b$ 均有 $f (a) + g (b) > 0$ 或 $f (b) + g (a) > 0$ 成立，则称 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 为一对相关函数．

(1)、判断函数 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = - x + 2$ ， $h (x) = x^{2} - 1$ 中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = - 2 x + k$ 是一对相关函数，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、小菲说：“对任何一对相关函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ ，只要存在正实数 $M$ 使得 $|f (x)| \leq M$ 对任意实数 $x$ 恒成立，我都一定能找到一个正整数 $N$ 使得对任意 $x \in [N, N + 1]$ 均有 $f (x) + g (x) \geq - \frac{1}{2026}$ ． ”请判断小菲说法的正误并进行证明．

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17、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x, \sin x + \sqrt{2} \sin θ)$ ， $\vec{b} = (2 \sin x, - \cos x + \sqrt{2} \cos θ)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $\cos (x + θ)$ ；

(2)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} (x \in [0, π])$ ；
（i）当 $f (x)$ 取最小值时，求与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直的单位向量 $\vec{c}$ 的坐标.
（ii）讨论 $y = f (x) - 2$ 的零点个数.

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18、已知 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6})$ （其中 $ω > 0$ ），相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其对称轴；

(2)、求不等式 $2 f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 的解集；

(3)、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 9 m \cdot f (x) + \frac{3}{4} = 0$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

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19、已知二次函数 $f (x)$ ，满足当 $x = 3$ 时， $f (x)$ 取得最大值5，且 $f (0) = - 4$ ．

(1)、求二次函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若 $x \in [t, t + 4]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值 $h (t)$ ．

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20、已知 $△ A B C$ 的角A，B，C对应的边为a，b，c，且 $\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sqrt{2} \sin B \sin C$ ，则 $A =$ ．

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