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相关试卷

1、 $M (- \sqrt{5}, 0), N (\sqrt{5}, 0)$ ，若直线 $y = k x$ 上存在点 $P$ 满足 $|P M| - |P N| = 4$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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2、在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（）

A、18种 B、24种 C、30种 D、36种

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3、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后的图像关于原点对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (6, m)$ ， $(2 \vec{a} + \vec{b}) / / \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $- 3$ D、 $- 12$

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{10} = 20$ ， $S_{5} = 5$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、13 B、19 C、25 D、33

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6、已知集合 $U = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{2, 3\}$

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7、设函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ ，若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x_{2} > 0$ 时，记 $x_{3}$ 为 $f (x)$ 最大零点.
（i）①证明： $f (x)$ 有两个零点；②证明： $x_{2} > 2 - \frac{1}{a}$ ；
（ii）比较 $2 x_{2}$ 与 $x_{3}$ 的大小，并给出证明.

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，一条过点 $P (1, 4)$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左、右两支分别交于 $M, N$ 两点，与两条渐近线分别交于 $S$ ， $T$ 两点．

(1)、若焦距为12，求 $C$ 的方程；

(2)、当 $k = - 2$ 时，若 $|M F_{2}| \cdot |N F_{2}| = 180$ ，证明： $M F_{1} ⊥ x$ 轴；

(3)、若 $a = 2$ ，求 $\frac{| M N |}{| S T |}$ 的最大值.

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9、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C ⊥$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是边长为2的菱形， $∠ A C C_{1} = 60 °, B C_{1} = 2 \sqrt{2}, A B = 2$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值.

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10、甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙每局获胜的概率为 $1 - p$ ，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）．
已知甲先赢了前两局．

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求：
（i）乙获胜的概率；
（ii）比赛打满七局的概率；

(2)、设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量 $X$ ，若 $P (X = 6) > P (X = 7)$ ，求 $p$ 的取值范围.

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11、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点 $D$ 是边AC中点， $B D = 2$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $\frac{c}{a} = \sqrt{3}$ 时，求 $b$ .

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12、已知欧拉函数 $φ (n) (n \in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数，例如： $φ (1) = 1, φ (3) = 2$ ；记集合 $\{x \in Z |3^{n} - \frac{2}{n} < x < φ (3^{n + 1}), n \in N^{*}\}$ 中元素个数为 $c_{n}$ ，则数列 $\{n c_{n}\}$ 前 $n$ 项和为．

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13、已知直线 $l : y = k x - 3$ 与圆 ${(x - 9)}^{2} + y^{2} = 9$ 相切，若直线 $l$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，与 $C$ 的准线相交于点 $A$ ，则 $| A F | =$ ．

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14、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，记 $P (A + B) = α, P (A B) = β, P (A) P (B) = γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $γ \neq 0$ ，则 $P (A ∣ B) + P (B ∣ A) = \frac{β (α + β)}{γ}$ B、若 $β = γ$ ，则 $P (A) + P (B) = α$ C、 $P (\bar{A} \bar{B}) = 1 - α$ D、 $| β - γ | \leq \frac{1}{4}$

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15、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D / / B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}, P A = A B = B C = 1$ ， $A D = 2, \vec{P E} = λ \vec{P D} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $C E / /$ 平面PAB B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线CE与PB所成角为 $\frac{π}{6}$ C、当 $λ = \frac{1}{5}$ 时，直线CE与平面PAD所成角为 $\frac{π}{4}$ D、当 $λ = \frac{1}{5}$ 时，三棱锥 $E - A C D$ 的外接球表面积为 $4 π$

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16、已知函数 $f (x) = \sin x - \frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ D、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{6} = 7 a_{13} > 0$ ，记 $b_{n} = a_{n + 1} a_{n + 2} a_{n + 3}, n \in N^{*}, S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n$ 的值为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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18、已知随机变量 $X ~ N (30, 6^{2})$ ，随机变量 $Y ~ N (34, 2^{2})$ ，则（）

A、 $P (X \leq 34) + P (Y > 34) < 1$ B、 $P (X \leq 34) < P (Y \leq 34)$ C、 $P (X \leq 38) + P (Y > 38) > 1$ D、 $P (X \leq 38) < P (Y \leq 38)$

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19、若 $1 < b < 2$ ，则椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

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20、已知 $\sin θ = - \sin 2 θ, θ \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、-1 C、 $- \sqrt{3}$ D、-2

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