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相关试卷

1、已知圆 $C$ ： ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $A (1, 0)$ ， $P$ 为圆 $C$ 外一点，直线 $P Q$ 与圆 $C$ 相切于点 $Q$ ， $P Q = \sqrt{2} P A$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、记（1）中的点 $P$ 的轨迹为 $T$ ，是否存在斜率为 $- 1$ 的直线 $l$ ，使以 $l$ 被曲线 $T$ 截得得弦 $M N$ 为直径得圆过点 $B (- 2, 0)$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

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2、设函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，其中 $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三条边长，且有 $c > a, c > b$ ．给出下列四个结论：
①若 $a = b$ ，则 $f (x)$ 的零点均大于1；
②若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，则对任意 $x \in (0, + \infty), a^{x}, b^{x}, c^{x}$ 都能构成一个三角形的三条边长；
③对任意 $x \in (- \infty, 1], f (x) > 0$ ；
④若 $△ A B C$ 为直角三角形，则对任意 $n \in N^{*}, f (2 n) ⩽ 0$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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3、曲线 $y = |\ln x|$ 在 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点处的切线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ；若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交点的横坐标为 $x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} =$ ．

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4、曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{4}}{a^{4}} + \frac{y^{4}}{b^{4}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，下列对曲线 $C$ 的描述正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于原点对称 B、曲线 $C$ 与椭圆 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 无公共点 C、曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积大于椭圆 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 围成的封闭图形的面积 D、曲线 $C$ 上的点到原点距离的最大值为 $a$

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5、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，是函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < π)$ 的两个零点，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 $φ$ 的可能值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{8}$

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6、正整数 $a, b, c \in \{1, 2, \dots, 100\}$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ ， $a > b > c$ ，满足这样条件的 $(a, b, c)$ 的组数为（）．

A、60 B、90 C、75 D、86

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7、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c = 2$ ， $\frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\sin A}{2 - \cos A}$ ， M和N分别是 $△ A B C$ 的重心和内心，且 $M N / / B C$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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8、设 $△ A B C$ 的三个顶点为复平面上的三点 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，满足 $z_{1} z_{2} z_{3} = 0$ ， $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 8 + 2 i$ ， $z_{1} z_{2} + z_{2} z_{3} + z_{1} z_{3} = 15 + 10 i$ ，则 $△ A B C$ 内心的复数坐标 $z$ 的虚部所在区间是（）.

A、 $(0.5, 1)$ B、 $(0, 0.5)$ C、 $(1, 2)$ D、前三个选项都不对

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9、某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（）

A、192种 B、252种 C、268种 D、360种

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10、已知直线 $l_{1}$ ： $m x + y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $3 m x + (m - 2) y + m = 0$ ，则“ $m = 5$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）

A、18 B、21 C、54 D、63

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12、若随机变量 $X \sim N (6, 1)$ ，且 $P (5 < X \leq 7) = a$ ， $P (4 < X \leq 8) = b$ ，则 $P (4 < X \leq 7)$ 等于（）

A、 $\frac{b - a}{2}$ B、 $\frac{b + a}{2}$ C、 $\frac{1 - b}{2}$ D、 $\frac{1 - a}{2}$

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13、某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的 $15$ 位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第 $k$ 条切痕看作直线 $l_{k}$ ，设切 $n$ 下，最多能切出的块数为 $b_{n}$ ，如图易知 $b_{1} = 2$ ， $b_{2} = 4$ .

(1)、试写出 $b_{3}$ ， $b_{4}$ ，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的 $15$ 位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下；

(2)、这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切 $n$ 下能划分成 $n + 1$ 段，由此求出数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切 $n$ 下，最多能切出的块数为 $c_{n}$ ，求出 ${c_{n}}$ 的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给 $15$ 个人.（已知 $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ）

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14、学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有 $15$ 个台阶，从下至上记台阶所在位置为 $1 - 15$ ，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨 $1$ 或 $2$ 个台阶（位置 $+ 1$ 或 $+ 2$ ）.

(1)、记甲迈 $3$ 步后所在的位置为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列和期望值.

(2)、求甲 $6$ 步内到过位置 $8$ 的概率；

(3)、求 $10$ 步之内同时到过位置 $10$ 和 $12$ 的有多少种走法，及发生的概率.

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15、如图，已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $D$ 是负半轴上的一点， $| D O | = 2$ ，过点 $D$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于点 $A$ 与点 $B$ .

(1)、求 $△ A B F_{1}$ 面积的最大值；

(2)、设直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ 和直线 $P B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，椭圆 $E$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值，若存在，求出点 $P$ 与 $k_{1} \cdot k_{2}$ 值，若不存在，请说明理由.

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16、已知函数 $f (x) = \sin x - a \ln (b + x)$

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线方程为 $2 x + y + 2 π (\ln 2 π - 1) = 0$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $b = 1$ 时，在 $(- 1, \frac{π}{2}]$ 上 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

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17、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = B C = A B$ ，且平面 $A B C ⊥$ 平面 $A E F$ ，求二面角 $B - A C - C_{1}$ 的余弦值大小.

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18、已知由系列圆构成的点集为 $C = {(x, y) | {(x - \cos θ)}^{2} + {(y - \sin θ)}^{2} = 4, 0 \leq θ \leq φ}$ ，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分（空白区域），给出以下命题：
①图形内部空白区域的面积最小值为 $π$
②图形到原点的最小距离为 $1$
③ $φ = \frac{π}{2}$ 时，图形关于直线 $y = x$ 对称
④ $φ = \frac{π}{2}$ 时，图形内外边界的长度和为 $6 π$
其中正确的有.

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19、函数 $f (x) = \sqrt{6} \sin 2 x + 2 \sin x$ 的值域为．

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20、已知三角形 $A B C$ 中， $E$ ， $F$ 是 $A C$ 上中线 $B D$ 的三等分点满足 $D E = E F = F B$ ，记 $\vec{D F} = x \vec{A B} + y \vec{C E}$ ，则 $x + y =$ .

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