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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 a e^{x} - 4 x, g (x) = 2 cos x + 3 x^{2}$

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求不等式 $g (x + 1) > g (2 x)$ 的解集；

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2、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 3, a_{1} = b_{1}, a_{7} + a_{16} = b_{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n} - 1}{b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x$
（1） $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）设 $a > 0, x \geq 0,$ 若 $f (x) > - \frac{2}{3} a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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4、已知 $a, b \in R$ 且 $a \neq 0$ ，若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x ln x - (b - a + 3) x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为．

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5、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形，若 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ，则 $B D_{1} =$ .

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6、已知直线l过抛物线 $C : y^{2} = x$ 的焦点，并交抛物线C于A，B两点， $|A B| = 2$ ，则弦AB中点G的横坐标是．

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7、已知函数 $f_{n} (x) = x^{n} + x + a, n \in N^{*}, a < 0$ 且为常数， $x_{n}$ 是函数 $f_{n} (x)$ 大于0的零点，其构成数列 $\{x_{n}\}$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f_{3} (x)$ 有且只有一个零点 B、若函数 $f_{n} (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内均存在零点，则 $a \in (- 2, 0)$ C、若 $a \in (- 2, 0)$ ，则数列 $\{x_{n}\}$ 为递增数列 D、存在实数 $a$ ，使得数列 $\{x_{n}\}$ 为常数列

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8、已知点 $A (3, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上运动，则（）

A、直线 $A B$ 与圆 $C$ 相离 B、 $| P A |$ 的最大值为 $5$ C、 $△ P A B$ 的面积的最小值为 $6 - 3 \sqrt{2}$ D、圆 $C$ 半径为2

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9、已知 $a = 7^{ln 4}$ ， $b = 8^{ln 3}$ ， $c = 9^{ln 2}$ ，则a，b，c的大小关系正确的一项是（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， A是椭圆C的上顶点，直线 $A F_{1}$ 与椭圆相交于另一点B，若 $|B F_{2}| = \frac{3}{2} |A B|$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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11、若函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 2 \ln x$ 在 $(1, 2)$ 上有最大值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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12、曲线 $y = e^{a x} + a x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 3 S_{n} (n \in N^{*})$ ， $S_{2} = 9$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、 $2 \cdot 3^{19}$ B、 $3^{19}$ C、 $3^{20}$ D、 $2 \cdot 3^{18}$

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14、已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则 $a =$ （）

A、9或1 B、3 C、2 D、1

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15、有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）

A、81 B、64 C、27 D、24

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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17、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19、函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，过点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，可以作函数 $f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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