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相关试卷

1、已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，上顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $E$ 为 $O F$ 中点， $O$ 为坐标原点， $A E = \sqrt{5}$ ，椭圆上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在第一象限．

(1)、求椭圆方程；

(2)、若 $∠ P A F = ∠ E A F$ ，求 $y_{0}$ ；

(3)、若直线 $y = \frac{- x_{0}}{2 y_{0}} x$ 与椭圆交于点 $M 、 N$ ，点 $N$ 在点 $M$ 右侧， $Q$ 为线段 $O N$ 上一点， $P Q = 2 \sqrt{2}$ ，证明 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标．

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2、数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为各项不为零的等比数列，公比为2， $n \in N^{*}$ ， $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 $\{k | b_{k} = a_{m} + a_{1}, 1 \leq m \leq 500\}$ 中元素的个数；

(3)、当 $a_{1} = 1$ 时，将数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入一个数 $a_{n} b_{n}$ ，构造新数列 $\{c_{n}\}$ ，即 $c_{1} = a_{1}$ ， $c_{2} = a_{1} b_{1}$ ， $c_{3} = a_{2}$ ， $c_{4} = a_{2} b_{2}$ ， …，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2 n}$ 及满足 $S_{2 n} > 2026$ 的最小正整数 $n$ ．

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3、“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱 $A B B_{1} A_{1} - D C C_{1} D_{1}$ ，如图2，底面 $A B B_{1} A_{1}$ 为直角梯形， $A B ∥ A_{1} B_{1}$ ， $A B ⊥ B B_{1}$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A B = B C = B B_{1} = 4$ ， $F$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 在 $A B$ 上且 $B E = 3 E A$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $E B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、求四面体 $F E B_{1} D_{1}$ 的体积．

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4、已知正三角形 $A B C$ ，边长为3，点 $D 、 E$ 在边 $A B$ 上（如图）， $A D = 1$ ， $∠ A C D = ∠ D C E = θ$ ．

(1)、求 $C D$ 的长， $\sin θ$ 的值；

(2)、求 $sin (2 θ + \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、求 $D E$ 的长．

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5、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + a$ ，若对于任意 $x \in [a, 2 a]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、已知正四棱锥 $P - A B C D$ ， $P B 、 P D$ 的中点分别为 $E 、 F$ ，点 $G$ 为 $P C$ 上一动点，平面 $E F G$ 将正四棱锥分为两个部分，当 $G$ 为 $P C$ 中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为；当 $P G = \frac{1}{3} P C$ 时，体积较小部分与体积较大部分的比值为．

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7、立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为；若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为．

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方， $|P F| = 5$ ， O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为．

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9、 ${(9 x - \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字表示）

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ ．

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11、已知 $ω > 0$ ，在函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ 的部分图象中（如图），其图象上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ 是同一直线上的三点，且该直线与 $x$ 轴交于点 $D$ ，若 $|A D| = |D B| = |B C| = 1$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} π}{4}$

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12、“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价 $m %$ ，第二次提价 $n %$ ；方案乙：第一次提价 $n %$ ，第二次提价 $m %$ ；
方案丙：第一次和第二次均提价 $(\frac{m + n}{2}) %$ ；
方案丁：第一次提价 $(2 m + 2 n) %$ ，第二次降价 $(m + n) %$ ；
其中 $0 < n < m < 50$ ，则四个方案中提价最多的方案为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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13、已知点 $A$ 为坐标原点， $B (3, 0)$ ， $C (0, 4)$ ，点 $O$ 在 $△ A B C$ 内部， $O (m, n)$ ，其中 $m \in Z^{+}$ ， $n \in Z^{+}$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O A} \cdot \vec{O C} + \vec{O B} \cdot \vec{O C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{25}{3}$ B、 $- 8$ C、 $- 7$ D、 $- 5$

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14、已知双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，双曲线的某弦 $A B$ 中点为 $P (m, 1)$ ，且点 $P$ 在第一象限，弦 $A B$ 所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、2 C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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15、已知 $a = e^{0.8}$ ， $b = {0.8}^{e}$ ， $c = {log}_{0.8} e$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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16、“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（）

A、小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B、小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为 $y = - 0.69 x + 2.92$ ，其中x为日期（3月1日为 $x = 1$ ， 3月31日为 $x = 31$ ） C、小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D、小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关

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17、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{m}{5^{x} + 1}$ ，当函数 $f (x)$ 为奇函数时， $f ({log}_{\frac{1}{5}} 3)$ 为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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18、已知 $x \in R$ ， “ $|1 - 2 x| \geq 3$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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19、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{0, 1, 4\}$ ，集合 $B = {\sqrt{x} | x \in A}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{3, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4, 5\}$

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20、某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有 $n$ 份产品样本（ $n$ 足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验 $n$ 次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这 $k$ 份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为 $k + 1$ 次.

(1)、现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率；

(2)、假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为 $p (0 < p < 1)$ .
（i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为 $ξ_{1}$ ；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为 $ξ_{2}$ ，当 $E (ξ_{1}) = E (ξ_{2})$ 时，求p关于k的函数关系式 $p = f (k)$ ；
（ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当 $E (X) \geq n$ 时，求p的取值范围并解释其实际意义.

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