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相关试卷

1、函数 $y = f (x) = a^{x - 1} + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 经过定点 $P$ 的坐标（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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2、下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = 2 x$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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3、命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 < 0$

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4、若 $A = {4, 5, 6, 7}, B = {x ∣ x = 2 k - 1, k \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${4, 5}$ B、 ${4, 6}$ C、 ${4, 7}$ D、 ${5, 7}$

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5、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(1, 13)$ ，且 $f (x - \frac{1}{2}) = f (- x - \frac{1}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $t < 2, g (x) = [f (x) - x^{2} - 13]$ . $|x|$ ，求函数 $g (x)$ 在 $[t, 2]$ 上的最小值（直接写出答案）；

(3)、若 $h (x) = [f (x) - x^{2} - 11] \cdot |x - a|, a \in R$ ，若函数 $h (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上是单调函数，求 $a$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ．

(1)、判断函数的奇偶性，并加以证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

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7、已知集合 $A = \{2, 4, 2 a^{2}\}, B = {2, a + 3}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，全集 $U = {x \in N ∣ x \leq 4}$ ，求 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的值.

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8、不等式 $\frac{1}{x} \geq x$ 的解集是．

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9、设正数x，y，z满足 $x^{2} = 2^{a} ， y^{3} = 3^{a} ， z^{5} = 5^{a}$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $15 x^{2} < 10 y^{3} < 6 z^{5}$ B、 $10 y^{3} < 15 x^{2} < 6 z^{5}$ C、 $15 x^{2} = 10 y^{3} = 6 z^{5}$ D、 $6 z^{5} < 10 y^{3} < 15 x^{2}$

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10、下列不等式，其中正确的有（）

A、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ( $a > 0$ ，且 $b > 0$ ) B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 (a - b - 1)$ D、 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$

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11、若函数 $y = x - \frac{a}{x} + \frac{a}{2}$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $[1, + \infty)$

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12、已知 $x > 0$ ，则 $\sqrt{2 x (4 - 2 x)}$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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13、已知 $△ A B C$ 顶点坐标分别为 $A (- 1, \sqrt{3}), B (- 1, - \sqrt{3}), C (- 4, 0)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $T$ 的方程；

(2)、设点 $D (3, \sqrt{3})$ ，若圆 $T$ 上存在点 $P$ ，使得 $P A^{2} + P D^{2} = λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $T$ 交于 $E, F$ 两点（不与原点 $O$ 重合），直线 $O E, O F$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 3$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点．

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14、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{c}| = 4$ ， $∠ A O B = 60 °$ 、 $∠ C O B = 90 °$ 、 $∠ A O C = 120 °$ ，点 $D$ 在棱 $B C$ 上，且 $B D : D C = 1 : 2$ .

(1)、计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的值；

(2)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{A D}$ ；

(3)、在线段 $A D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $O P ⊥ B C$ ？若存在，求 $A P : P D$ 的值，若不存在，请说明理由.

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15、已知直线l： $(a - 1) y = (2 a - 3) x + 1$ ．

(1)、求证：直线l过定点；

(2)、若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

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16、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和定点 $A (1, 2)$ ，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足 $\vec{O Q} \cdot \vec{P Q} = 0$ ， $∣ \vec{P Q} ∣ = ∣ \vec{P A} ∣$ ，则 $\vec{P O} \cdot \vec{P Q}$ 的最小值为．

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17、下列说法正确的是（）

A、经过点 $P (1, 1)$ ，倾斜角为 $θ$ 的直线方程为 $y - 1 = \tan θ (x - 1)$ B、“ $a = - 4$ ”是“直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $8 x + a y + 2 - a = 0$ 平行”的充要条件 C、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$ D、以 $A (4, 1)$ ， $B (1, - 2)$ 为直径端点的圆的方程为 $(x - 4) (x - 1) + (y - 1) (y + 2) = 0$

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18、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $A A_{1}$ 的中点，P是底面 $A B C D$ 所在平面内一动点，设 $P D_{1}$ ， $P E$ 与底面 $A B C D$ 所成的角分别为 $θ_{1} ， θ_{2}$ （ $θ_{1} ， θ_{2}$ 均不为0），若 $θ_{1} = θ_{2}$ ，则三棱锥 $P - B B_{1} C_{1}$ 体积的最小值是

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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19、过点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 作直线 $l$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，当 $△ A O B$ 的面积取最大值时，直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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20、已知点 $A, B$ 的坐标分别为 $(2, 0), (- 1, 4), P$ 为动点，且 $△ P A B$ 的面积总为10，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $4 x + 3 y - 12 = 0$ B、 $4 x + 3 y + 12 = 0$ C、 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 或 $4 x + 3 y + 28 = 0$ D、 $4 x + 3 y + 12 = 0$ 或 $4 x + 3 y - 28 = 0$

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