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相关试卷

1、在四面体 $A B C D$ 中，点M在线段 $D A$ 上，且 $D M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{D A} - \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$

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2、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60 °$ ，方向向量 $\vec{a} = (3, y)$ ．则 $y =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A (0, 1)$ 为椭圆的上顶点，

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上的两点，满足直线 $A P ⊥ A Q$ ，
（i）求证：直线 $P Q$ 过定点；
（ii）若 $△ A P Q$ 面积为 $\frac{32}{15}$ ，求直线 $P Q$ 的方程.

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4、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $P C$ 上的动点（端点除外），且直线 $E F ⊥$ 平面 $P A B$ .

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = 2 \vec{E B}$ ，且平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

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5、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ ， $C (3, 1)$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线方程为 $2 x - y - 3 = 0$ ，圆 $E$ 为 $△ A B C$ 外接圆.

(1)、求 $a, b$ 以及圆 $E$ 的标准方程；

(2)、求过点 $P (5, - 4)$ ，且与圆 $E$ 相切的直线方程．

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6、已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} (c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 4 S$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，且 $B D = C D = 2$ ，求 $S$ .

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\cos 2 A + 2 \cos 2 B - \cos 2 C = 2$ ，则 $\tan B$ 的最大值为.

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8、已知 $P$ 是直线 $l : x - y + 3 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则四边形 $P A C B$ 面积的最小值为.

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9、方程 $\frac{x^{2}}{9 - k^{2}} + \frac{y^{2}}{7 + k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是.

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $P, Q$ 分别是棱 $C C_{1}$ ，棱 $B C$ 的中点，动点 $M$ 满足 $\vec{D M} = λ \vec{D A} + μ \vec{D D_{1}}$ ，其中 $λ, μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = μ$ ，则三棱锥 $B_{1} - C D_{1} M$ 的体积为定值 B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $C M ⊥ D B_{1}$ C、若 $B_{1} M //$ 平面 $D P Q$ ，则直线 $B_{1} M$ 与直线 $A B$ 所成角可能为 $30^{\circ}$ D、三棱锥 $M - C P Q$ 外接球的表面积最小值为 $\frac{81 π}{16}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $A = 60^{°}, a = \sqrt{15}, b = 4$ ，则满足条件的三角形有两个 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $sin A > cos B$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ ，交右支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $|A B| = |B F_{1}|$ ， $\cos ∠ F_{1} B F_{2} = \frac{23}{32}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c = 2$ ， $2 \sin B = (\sqrt{2} - \cos C) b$ ， ${(b - 1)}^{2} = a^{2} - 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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14、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ ，直线 $l : 3 x + 4 y - m = 0 (m \in R)$ ，若圆C上有四个点到直线l的距离为2，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(10, 40)$ B、 $[10, 40]$ C、 $(15, 35)$ D、 $[15, 35]$

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15、空间中有5个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，若不共线的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在平面 $α$ 内， $E \notin α$ ，且满足 $(1 - λ) \vec{E A} = \frac{1}{2} \vec{E B} + \frac{1}{3} \vec{E C} + λ \vec{A D}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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16、位于某海域的甲船发现，在其北偏东 $60^{°}$ 方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东 $15^{°}$ 方向行驶 $\sqrt{2}$ 海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（）

A、 $1$ 海里 B、 $2$ 海里 C、 $\sqrt{6}$ 海里 D、 $2 \sqrt{2}$ 海里

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17、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 构成空间一组基底，那么能与 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ 构成空间一组基底的向量可以是（）

A、 $\vec{a} - \vec{c}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{b} + 2 \vec{c} - \vec{a}$ D、 $2 \vec{a} + \vec{b} - 3 \vec{c}$

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18、向量 $\vec{a} = (1, - 2, - 2)$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ 的是（）

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(1, - 1, 0)$ C、 $(- 1, 0, 1)$ D、 $(0, - 1, - 1)$

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19、若直线 $a x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $3$ D、 $- 3$

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20、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ （ $m > 0$ ）.

(1)、若双曲线的离心率 $e = 2$ ，求实数m的值；

(2)、若双曲线的离心率e的取值范围为 $e \in [\sqrt{3}, \sqrt{5}]$ ，求实数m的取值范围；

(3)、直线 $y = x + 1$ 与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围.

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