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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）已知直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.
①若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值；
②在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $\overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{Q B}$ 为定值？若是，求点 $Q$ 的坐标；若不是，请说明理由.

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2、已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + k = 0$ 表示圆，则下列结论正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 2, 3)$ B、当 $k = 0$ 时，半径 $r = \sqrt{13}$ C、圆心到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、当 $k = 4$ 时，圆面积为 $16 π$

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3、已知两圆C₁：(x＋3)²＋y²＝1，C₂：(x－3)²＋y²＝9，动圆M同时与圆C₁和圆C₂外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ (x≤－1)

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4、若直线 $a x + y + c = 0$ 经过第一、二、四象限，则有（）

A、 $a > 0$ ， $c > 0$ B、 $a > 0$ ， $c < 0$ C、 $a < 0$ ， $c > 0$ D、 $a < 0$ ， $c < 0$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共10项， $a_{1} = 0, a_{10} = 20$ 且 $\{m | m = a_{k + 1} - a_{k}, 1 \leq k \leq 9, k \in N\} = \{1, 2, 3\}$ .若满足 $a_{k + 1} - a_{k} = 1$ 的 $k$ 共有奇数个，则满足条件的不同数列的个数为．

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6、每个正整数都可以唯一表示成以下形式： $\sum_{i = 1}^{2 k + 1} {(- 1)}^{i - 1} 2^{a_{i}} = 2^{a_{1}} - 2^{a_{2}} + \dots + 2^{a_{2 k - 1}} - 2^{a_{2 k}} + 2^{a_{2 k + 1}}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{2 k} < a_{2 k + 1}, a_{i} \in N (1 \leq i \leq 2 k + 1)$ 且 $k$ 为该正整数的“长度”，例如 $5 = 2^{0} - 2^{2} + 2^{3}$ ， $7 = 2^{0} - 2^{1} + 2^{3}$ ．若正整数 $n (1 \leq n \leq 1024)$ 的“长度”为1，则这样的 $n$ 的个数为（）

A、 $C_{9}^{3}$ B、 $C_{10}^{3}$ C、 $C_{11}^{3}$ D、 $C_{12}^{3}$

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7、下列函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 为同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 1$ 和 $g (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + x^{0}$ 和 $g (x) = \frac{x^{3} + x}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + x$ 和 $g (x^{2}) = {(x^{2} + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 为等边三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知集合 $A = \{x | x < 3\}, B = \{y \in N | y^{2} < 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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10、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为B， $△ A_{2} B F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，且 $k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3})$ ，求 $△ P Q F_{1}$ 面积的取值范围．

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C = C D = 2 A B = 2$ ， △ $P A D$ 是等边三角形， $M, N$ 分别为 $B C, P D$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）若二面角 $P － A D － C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值．

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}, \vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

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13、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦长；

(2)、已知过原点的动直线与圆 $C_{1}$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，求线段AB的中点M的轨迹方程．

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14、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $\frac{a + b}{\sin (A + B)} = \frac{a - c}{\sin A - \sin B}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ， $F$ 为其焦点，点 $N$ 坐标为 $(0, - 4)$ ，过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $D$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $|D A| = |D B| = |D N|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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16、直线 $l : x \tan \frac{π}{5} + y - 1 = 0$ 的倾斜角 $α =$ .

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17、如图所示，双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{16} = 1 (y > 0)$ 与抛物线 $y = 6 - \frac{x^{2}}{4}$ 围成封闭曲线 $E$ ，若对于 $y$ 轴上一定点 $A (0, a)$ ， $E$ 上恰有 $3$ 对不同的点关于点 $A$ 对称，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $3$ D、 $\frac{7}{2}$

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18、设 $k \in R$ ，过定点A的动直线 $l_{1}$ ： $x + k y = 0$ 与过定点B的动直线 $l_{2}$ ： $k x - y + 3 - k = 0$ 交于点P，则下列说法正确的有（）

A、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} = 16$ B、 $△ P A B$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{|P A|} + \frac{1}{|P B|} \geq \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $|P A| + \sqrt{3} |P B|$ 的最大值为 $2 \sqrt{10}$

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19、如图所示，点 $A (1, 2)$ ， B均在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，等腰直角 $△ A B C$ 的斜边为 $B C$ ，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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20、已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，若点 $P$ 在第二象限，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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