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相关试卷

1、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 10}{n}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10} + 1$ B、 $4 \sqrt{10} + 1$ C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{15}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，若存在 $x \in (0, 2 π)$ ，使得 $f (x) \leq t$ 成立，则实数 $t$ 的最小值是（）

A、 $- π$ B、 $2 π$ C、 $- 1$ D、 $1$

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3、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{2} = 2, a_{5} = 10$ ，则 $a_{8} =$ （）.

A、 $12$ B、 $6$ C、 $20$ D、 $50$

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4、从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（）

A、7条 B、12条 C、64条 D、81条

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5、给定正整数n（ $n \geq 3$ ），记集合 $S_{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) |x_{i} = 0$ 或 $1 (i = 1, 2, \dots, n)$ 且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \neq 0}$ .对于由 $S_{n}$ 中的三个元素组成的子集 $\{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}), (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})\}$ ，若满足对于任意 $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ ， $a_{i} + b_{i} + c_{i}$ 均为偶数，则称该三元子集具有性质T.

(1)、在 $S_{3}$ 的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明）

(2)、证明：在 $S_{5}$ 的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集；

(3)、在 $S_{2026}$ 的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{a x}$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、对于 $x \in (0, + \infty)$ ，讨论 $f (x)$ 与 $f (\frac{1}{x})$ 的大小；

(3)、当 $0 < a < 1$ 时，证明：方程 $f (x) = 1$ 存在两个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} > 1$ .

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，点 $M (- 1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $N (- 3, 0)$ 的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记 $△ B P N$ 和 $△ B P F$ 的面积分别为 $S_{△ B P N}$ 和 $S_{△ B P F}$ ，求证： $S_{△ B P N} = S_{△ B P F}$ .

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8、随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.

(1)、在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；

(2)、从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ 、年参观文博馆总人次的方差为 $s_{3}^{2}$ ，给出 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

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9、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \sin (\frac{π}{2} + φ) + \cos 2 x \sin φ$ ，其中 $φ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数 $f (x)$ 存在且唯一确定，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.
条件①： $f (\frac{π}{12}) = f (\frac{π}{4})$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, π)$ 上单调递减；
条件③：函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，直线PC与底面ABC所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面PAB；

(2)、求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.

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11、在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C： $x^{2} + 4 y^{4} - 4 y^{2} = 0$ 是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
①若 $P (x, y)$ 为曲线C上一点，则 $|x| \leq 1$ ， $|y| \leq 1$ ；
②曲线C上两点间距离的最大值为 $\sqrt{6}$ ；
③曲线C所围成的区域的面积小于3；
④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.
其中，所有正确结论的序号是.

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12、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} x - 1, & 0 < x \leq 4 \\ x - 6, & x > 4 \end{array}$ ，集合 $M = \{x ||f (x)| = m\}$ ，其中 $m \geq 0$ .若集合M中共有3个元素，则 $m$ 的取值范围是；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为.

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ，单位向量 $\vec{e} = (1, 0)$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b} - \vec{a}| = 1$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{e}$ 的一个取值为.

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14、在 ${(x^{3} - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为.（用数字作答）

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15、在△ABC中，若 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 8$ ，则最大内角的余弦值为.

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16、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（ $s \neq t$ ），满足 $a_{i} = a_{s} + a_{t}$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列 B、 $\{a_{n}\}$ 可能为等差数列 C、 $\{a_{n}\}$ 不可能为等比数列 D、 $\{a_{n}\}$ 可能为递减数列

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17、某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（）

A、6a B、8a C、9a D、12a

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18、已知正方体W和平面 $α$ ，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面 $α$ 的距离相等”是“平面 $α$ 将正方体W分成体积相等的两部分”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、设函数 $f (x) = (x - a) \ln (x + b)$ ，若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则（）

A、 $a + b > 1$ B、 $a + b < 0$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{4}$

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20、在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $A B = 1$ ， $E$ 是边 $B C$ 上一点，则 $|\vec{E A} + \vec{E D}|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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