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相关试卷

1、已知点 $A$ 为坐标原点， $B (3, 0)$ ， $C (0, 4)$ ，点 $O$ 在 $△ A B C$ 内部， $O (m, n)$ ，其中 $m \in Z^{+}$ ， $n \in Z^{+}$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O A} \cdot \vec{O C} + \vec{O B} \cdot \vec{O C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{25}{3}$ B、 $- 8$ C、 $- 7$ D、 $- 5$

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2、已知双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，双曲线的某弦 $A B$ 中点为 $P (m, 1)$ ，且点 $P$ 在第一象限，弦 $A B$ 所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、2 C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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3、已知 $a = e^{0.8}$ ， $b = {0.8}^{e}$ ， $c = {log}_{0.8} e$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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4、“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（）

A、小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B、小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为 $y = - 0.69 x + 2.92$ ，其中x为日期（3月1日为 $x = 1$ ， 3月31日为 $x = 31$ ） C、小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D、小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关

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5、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{m}{5^{x} + 1}$ ，当函数 $f (x)$ 为奇函数时， $f ({log}_{\frac{1}{5}} 3)$ 为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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6、已知 $x \in R$ ， “ $|1 - 2 x| \geq 3$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{0, 1, 4\}$ ，集合 $B = {\sqrt{x} | x \in A}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{3, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4, 5\}$

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8、某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有 $n$ 份产品样本（ $n$ 足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验 $n$ 次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这 $k$ 份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为 $k + 1$ 次.

(1)、现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率；

(2)、假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为 $p (0 < p < 1)$ .
（i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为 $ξ_{1}$ ；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为 $ξ_{2}$ ，当 $E (ξ_{1}) = E (ξ_{2})$ 时，求p关于k的函数关系式 $p = f (k)$ ；
（ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当 $E (X) \geq n$ 时，求p的取值范围并解释其实际意义.

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9、设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F， $P (x_{0}, y_{0})$ 是C上一点且 $|P F| = x_{0} + 1$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过抛物线C的焦点F作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，且直线 $l_{1}$ 与抛物线C相交于A、B两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线C相交于D、E两点，其中点A、D在第一象限.
（i）求 $\vec{A D} \cdot \vec{E B}$ 的最小值；
（ii）过F点作x轴的垂线，分别交 $A D$ ， $B E$ 于M、N两点，请判断是否存在以 $M N$ 为直径的圆与y轴相切，并说明理由.

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10、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x - 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2 e^{2}}$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = 0$ ，求 $a$ 的值.

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11、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A^{'} D E$ ，得到四棱锥 $A^{'} - B C D E$ ， F为 $A^{'} C$ 的中点.

(1)、证明： $B F / /$ 平面 $A^{'} D E$ ；

(2)、当二面角 $A^{'} - D E - C$ 为 $120 °$ 时，求 $C A^{'}$ 和平面 $A^{'} D E$ 所成角的正弦值.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且满足 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = \frac{3}{2^{n + 1}}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} + \frac{1}{2^{n}}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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13、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{6}$ ，点P为其外接球上的动点，则点P到该正四面体 $A B C D$ 四个面的距离之和的最大值为.

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14、 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，则其外接圆的半径为.

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15、若 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{3} =$ .

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16、已知A、B分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上异于A、B的任意一点，R为椭圆C所在平面上的动点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $|O P|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ B、若点P的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与x轴交点的横坐标为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、若 $△ F_{1} P F_{2}$ 外接圆S的圆心在 $△ F_{1} P F_{2}$ 外，则 $\tan ∠ P F_{1} F_{2} < \frac{3}{4}$ D、若以 $P R$ 为直径的圆经过A、B两点，则R点的轨迹方程为 $4 x^{2} + 3 y^{2} = 16 (x \neq \pm 2)$

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17、已知 $- \frac{π}{2} < α < 0 < β < \frac{π}{2}$ ，若 $\cos α \cos β = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ， $\tan α + \tan β = - \frac{1}{6}$ ，则（）

A、 $\sin (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\sin α \sin β = \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $α - β = - \frac{π}{4}$ D、 $\tan α = - \frac{1}{2}$

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18、若圆锥 $S O$ 的母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，其轴截面 $S A C$ 是等腰直角三角形，点 $B$ 是弧 $A C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ B、 $∠ A S B = \frac{π}{3}$ C、 $B C ⊥$ 平面 $S A B$ D、三棱锥 $S - A B C$ 的体积为 $\frac{8}{3}$

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19、已知 $f (x) = x - \frac{x^{t}}{t} (t \neq 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[a, + \infty)$ 单调递增，其中 $a > 0$ ，则（）

A、t有最大值，a没有最大值 B、t有最大值，a有最大值 C、t没有最大值，a有最小值 D、t没有最大值，a没有最小值

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20、 $M (- \sqrt{5}, 0), N (\sqrt{5}, 0)$ ，若直线 $y = k x$ 上存在点 $P$ 满足 $|P M| - |P N| = 4$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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