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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = A B = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = C B = 2$ ， $P A = P D$ ， $∠ A D C = ∠ A P D = 90 °$ ， $F$ 是 $A P$ 的中点．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ．

(2)、证明： $B F //$ 平面 $P C D$ ．

(3)、求直线 $B F$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值．

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2、对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）.

(1)、求这4联可以凑成甲对联的概率；

(2)、记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望

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3、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2 n} = 0$ ， $S_{2 n - 1} = 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} | x - a |$ ，若 $\forall x \in [1, 2]$ ， $f (x) \geq 2$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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6、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线和圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r =$ .

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7、如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（）

A、平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C E$ B、平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D$ C、该几何体的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ D、存在球 $O$ ，使得该几何体的顶点都在球 $O$ 的球面上

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} - x^{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 1]$ B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $f (x) > 1$ D、 $f (x)$ 恰有1个零点

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9、在下列区间中，函数 $f (x) = \frac{2}{\sin x}$ 单调递增的是（）

A、 $(0, \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2}, π)$ C、 $(π, \frac{3π}{2})$ D、 $(\frac{3π}{2}, 2 π)$

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10、青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，五边形ABCDE为正五边形， $A B = 25$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $312.5$ B、 $625$ C、 $1250$ D、 $625 \cos 36 °$

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11、一种质量为 $1 kg$ 的物质，在化学分解中，经过时间 $t$ （单位： $min$ ）后，所剩的质量 $m$ （单位： $kg$ ）与时间t的函数关系为 $m = a^{k t}$ （ $a$ ， $k$ 均为参数， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.已知 $1 kg$ 的该物质，在化学分解中，经过 $t_{1} min$ 后，所剩的质量为 $0.5 kg$ ，再经过 $t_{2} min$ 后，所剩的质量为 $0.25 kg$ ，则（）

A、 $t_{1} = t_{2}$ B、 $t_{1} = 2 t_{2}$ C、 $t_{1} = 4 t_{2}$ D、 $t_{1} = \frac{1}{2} t_{2}$

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12、若 $\tan (α + β) = - 1$ ， $\tan (α - β) = 1$ ，则 $\tan β =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、1或 $- 1$

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13、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = S_{3}$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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14、复数 $z = \frac{6 - i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知集合 $A = \{x \in N |x < 3\}$ ， $B = {1, 2, 3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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16、样本数据1，3，5，4，2的中位数是（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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17、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{2}, 0)$ ，四条直线 $x = \pm a$ ， $y = \pm b$ 所围成的区域面积为 $4 \sqrt{3}$ .
（1）求 $C$ 的方程；
（2）设过 $D (0, 3)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，若以弦 $A B$ 为直径的圆恰好经过原点 $O$ ，求直线 $l$ 的方程.

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18、已知斜率为1的直线l与双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 相交于B，D两点，且BD的中点为 $M (1, 3)$ ，则C的离心率是．

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19、已知 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 上一动点，若直线 $l : 3 x - 4 y - 12 = 0$ 上存在两点 $A, B$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ 能成立，则线段 $A B$ 的长度的最小值是（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $\frac{22}{5}$ C、 $\frac{43}{5}$ D、 $\frac{98}{5}$

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20、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 $K_{P M}, K_{P N}$ ，当 $K_{P M} \cdot K_{P N} = - \frac{1}{4}$ 时，则椭圆方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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