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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{9}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $a c = 3 \sqrt{3}$ C、当 $a = 3$ 时， $b = \sqrt{3}$ D、 $b$ 的取值可能是 $2$

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2、已知 $P$ 为空间中一点， $m$ ， $n$ ， $l$ 为互不相同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、 $l // m$ ， $m // α \Rightarrow l // α$ 或 $l \subset α$ B、若 $m // n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、 $α // γ$ ， $β // γ \Rightarrow α // β$ D、 $P \in α$ ， $P \in β \Rightarrow α \cap β = P$

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3、已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部是 $- 1$ B、 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根 C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 表示的点在第一象限

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4、已知 $△ A B C$ 为边长为 $3$ 的等边三角形，设点 $M$ 为 $A B$ 边的中点，点 $P$ 在边 $B C$ 上（包括端点），则 $\vec{M P} \cdot \vec{C P}$ 的最小值等于（）

A、 $- \frac{81}{64}$ B、 $- \frac{55}{64}$ C、 $\frac{55}{64}$ D、 $\frac{81}{64}$

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5、如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 上一点，且 $\frac{A E}{E D} = \frac{1}{3}$ ， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A //$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭 $A B C D - E F H G$ ，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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7、已知复数 $z = (m^{2} - m - 6) + (m - 3) i$ 为纯虚数，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ 或3 B、 $- 2$ C、3 D、6

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8、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

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9、已知一个圆锥的底面半径为3，母线长 $l = 5$ ，则该圆锥的表面积是（）

A、 $24 π$ B、 $33 π$ C、 $37 π$ D、 $48 π$

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10、如图三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ B C D$ 中 $B C ⊥ B D$ 且 $B D = 2$ ．

(1)、若 $P$ 是 $A B$ 的中点，且 $C P ⊥ A D$ ，求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、在（1）的条件下求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积；

(3)、设二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $α$ ，求 $\cos α$ 的最小值．

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11、已知点 $M$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左､右焦点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，点 $N$ 在 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的平分线上， $O$ 为原点，
$O N / / M F_{1}$ ， $|O N| = \frac{c}{4}$ ，其中 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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12、若 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{c} = (2, 2)$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = 2 \sqrt{2} - 1$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩$ 的值为.

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $3 b \cos C + 3 c \cos B = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $9 π$ B、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 有两解，则 $b$ 的取值范围为 $(3, 3 \sqrt{2})$ C、若 $C = 2 A$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $c$ 的取值范围为 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ ，且 $sin B = 2 sin C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{4}$

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14、下列说法中不正确的是（）

A、一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B、两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 $r$ 越接近于1 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} \approx 6.852$ ，根据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验： $χ_{0.005} = 7.879$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.4$

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15、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $|a| < 3$ 且 $|b| < 3$ ”是“ $a^{2} + b^{2} < 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、复数 $z = i (1 - i)$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知集合 $A = \{x \in N |- 2 < x < \frac{16}{3}\}$ ，集合 $B = {- 1, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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18、如图，设 $O x ， O y$ 是平面内相交成 $θ$ 角的两条数轴， $θ \in (0^{\circ} ， 180^{\circ})$ ， $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴同方向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $[x ， y]$ 叫做 $\vec{O P}$ 在仿射坐标系 $O x y$ 中的斜坐标．

(1)、若 $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [2, λ]$ ， $\vec{a} // \vec{b}$ 求 $λ$ ；

(2)、若 $θ = 60^{\circ}$ ， $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [- 1 ， 1]$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的斜坐标；

(3)、若 $\vec{a} = [1 ， 1]$ ， $\vec{b} = [3 ， 1]$ ， $\vec{c} = [2 ， - 1]$ ， $|\vec{c}| \leq \sqrt{2}$ ，求 $cos 〈\vec{a}, \vec{b}〉$ 的最小值．

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19、如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量 $\cos A = \frac{12}{13}$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，其中A，C均为锐角．

(1)、求索道AB的长；

(2)、问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)、为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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20、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，若函数 $f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的单调递减区间；

(3)、若 $g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上恰有2026个零点，求 $b - a$ 的取值范围．

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