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相关试卷

1、已知定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in D (x_{1} \neq x_{2})$ ，存在一个正实数 $λ$ ，满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq λ |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ ，则称 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的“ $λ$ －伴侣函数”，其中 $λ$ 的最小值称为“伴侣指数”．

(1)、已知 $D = [1, 2]$ ，判断函数 $g (x) = 2 x + 1$ 是否为 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的“ $λ$ －伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由．

(2)、求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“ $λ$ －伴侣函数”．

(3)、已知 $D = [1, 2]$ ，若函数 $g (x) = x + 1$ 是 $f (x) = 2 a (x - 1) e^{x} - x^{2} - 2 x ln x$ 的“4－伴侣函数”，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、称满足以下条件的函数 $f (x)$ 为“ $P_{k}$ 函数”：从定义域D中任取x，总存在唯一的 $y_{0} \in D$ 满足 $f (x) + f (y_{0}) = 2 k (k \in R)$ ．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为．
①若 $f (x), x \in D$ 为 $P_{0}$ 函数，则 $\forall x \in D, - x \in D$ ；② $y = \frac{1 - 4 x}{2 x - 3}$ 是 $P_{- 2}$ 函数；
③ $y = \frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x}$ 是 $P_{2}$ 函数；④ $y = |x - 1| - |x + 5| + 1$ 是 $P_{1}$ 函数；
⑤若 $y = x + \frac{3}{x}, x \in (- \infty, - a) \cup (a, + \infty)$ 为 $P_{0}$ 函数，则 $a \geq \sqrt{3}$ ．

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3、若函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - a$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{2} = 2 x_{1}$ ，则 $a =$ ．

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4、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面BCD， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B = B C = C D = 2$ ，则鳖臑 $A - B C D$ 外接球的表面积为.

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, C$ 的准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，过 $P$ 的一条直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，过 $M, N$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $S, T$ ，则（）

A、 $|M F| \cdot |N P| = |N F| \cdot |M P|$ B、 $∠ M F S + ∠ N F T = \frac{π}{2}$ C、 $|M F| \cdot |N F| = |S F| \cdot |T F|$ D、 $△ M N F$ 的面积等于 $△ S T F$ 的面积

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6、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数： $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$ ．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列 $\{a_{n}\}$ 称为斐波那契数列，现将 $\{a_{n}\}$ 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为 $\{b_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $b_{2023} = 0$ B、 $T_{2023} = 1349$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2023} = a_{2024}$ D、 $S_{2023} = a_{2024} - 1$

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C : x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = 1$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为曲线C上一点，则（）

A、曲线C关于x轴对称 B、曲线C关于原点对称 C、点P的纵坐标 $y_{0}$ 的取值范围为 $[- 1, 1]$ D、直线 $y = x + 1$ 与曲线C有且仅有两个公共点

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $D$ 在棱 $A C$ 上，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 $E - A B D$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ ；
② $A_{1} D + D B$ 的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ ；
③点 $D$ 到直线 $C_{1} E$ 的距离的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
其中所有正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9、2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形 $A B C D$ 各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形 $M N P Q$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ ；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots$ ，若 $a_{1} = 8$ ，下列说法中正确的个数是（）
$①$ $a_{3} = 5;$
$②$ $b_{3} = \frac{75}{32};$
$③$ $\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 16;$
$④$ $a_{n} \cdot b_{n}$ 是公比为 $\frac{5}{8}$ 的等比数列.

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、对于函数 $f (x)$ ，若存在区间 $A = [m, n]$ 使得 ${y | y = f (x), x \in A} = A$ 则称函数 $f (x)$ 为“同域函数”，区间A为函数 $f (x)$ 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：
① $f (x) = \cos \frac{π}{2} x$ ；② $f (x) = x^{2} - 1$ ；③ $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ；④ $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ .
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是

A、①②③ B、①② C、②③ D、①②④

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11、已知函数 $f (x) = \frac{2}{π} \sin π x - f^{'} (1) x + 2$ ，则 $f (2) =$ （）

A、 $\frac{2}{π} + 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $0$

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12、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |3^{x} - 1|, x \leq 2 \\ x^{2} - 10 x + 24, x > 2 \end{array}$ ，函数 $g (x) = 3 f^{2} (x) - (m + 3) f (x) + m$ 有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）

A、 $(2, 16)$ B、 $[2, 16)$ C、 $(3, 24)$ D、 $[3, 24)$

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其准线方程为 $x + 1 = 0$ ，直线 $l$ 过点 $T (t, 0) (t > 0)$ 且与抛物线交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当 $t = 2$ 时，求证： $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值与直线 $l$ 的倾斜角的大小无关；

(3)、若 $P$ 为抛物线上的动点，记 $| P T |$ 的最小值为 $d (t)$ ，求函数 $y = d (t)$ 的解析式.

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14、四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A D // B C$ ， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ， $B C = 1$ ， $A D = 2$ ， M是PD中点.

(1)、求证： $C M //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A D$ ，
①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为 $\sqrt{2}$ ？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 3 a_{n}}$ .

(1)、求 $a_{2}, a_{3}$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n + 1} - 3 n$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{n} =$ .

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17、已知 $P, Q$ 两点分别在圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - 12)}^{2} = 9$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 10 x + 21 = 0$ 上，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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18、已知椭圆 $C : 3 x^{2} + 4 y^{2} = 48$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $|P F_{1}|$ 的最小值为3 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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19、“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 $P （ x, y ）$ 是阴影部分（包含边界）的动点，则 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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20、如图所示，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，点N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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