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相关试卷

1、若直线 $x + y - m = 0$ 被圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $m =$ （　　）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 1$ C、 $\pm 2 \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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2、顶点在坐标原点，焦点坐标为 $(0, \frac{1}{2})$ 的抛物线的标准方程为（　　）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = x$ C、 $x^{2} = 2 y$ D、 $x^{2} = y$

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3、已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 5), \vec{b} = (1, 5, - 1)$ ，则（　　）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (- 2, 7, 6)$ B、 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ C、 $3 \vec{a} - \vec{b} = (- 10, - 1, 16)$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (a) - 2) = 1$ ，则实数 $a$ 的取值集合为.

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5、已知正数x，y满足 $2 x + y - 2 x y = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是.

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6、 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} + {(\frac{1}{π})}^{- 1} + {(\frac{1}{4})}^{0} =$ .

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7、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) = 2 f (x + 1)$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时 $f (x) = 2^{x}$ ，若 $f (x) \leq \frac{\sqrt{2}}{8}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$ C、 $(3, \frac{7}{2}] \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{7}{2}] \cup (4, + \infty)$

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8、某催化剂的活性指标 $K$ （单位：kgPP/gCat）与反应温度 $t$ （单位： $° C$ ）满足函数关系： $K = e^{a t} + b$ （其中 $a 、 b$ 为常数， $e = 2.71828$ ···，是一个和 $π$ 类似的无理数）.若在 $20 ° C$ 时的活性指标为11kgPP/gCat，若在 $40 ° C$ 时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在 $50 ° C$ 的活性指标为（）

A、125kgPP/gCat B、225kgPP/gCat C、245kgPP/gCat D、250kgPP/gCat

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9、已知集合 $B = {x \in Z ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}, A = (- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $(- 1, 0]\cup[1, 3)$ D、 $(- 1, 0] \cup (1, 3)$

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P C = P D$ ．

(1)、证明： $P A = P B$ ；

(2)、设 $A B = 6, B C = 4, P C = 5$ ．
（i）当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大时，求三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积；
（ii）求平面 $P A C$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值的最小值．

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11、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程

(2)、求过点 $M (- 2, 1)$ 的切线方程；

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12、如图，四面体 $A B C D$ 的各棱长均为2， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D A$ ， $B C$ 的中点，设 $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{c}$ ；则两条异面直线 $B E$ ， $D F$ 所成角的余弦值为．

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13、甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为．

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14、某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为 $\frac{3}{7}$ .若它连续尝试投送两次，则（）

A、事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件 B、事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件 C、事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立 D、该机器人至少成功投放一次的概率为 $\frac{33}{49}$

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 3 \sqrt{5}$ B、与 $\vec{a}$ 同向共线的单位向量是 $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6})$ C、若直线l的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面α的法向量为 $\vec{m} = (4, 2, k)$ ，且 $l // α$ ，则实数 $k = - 2$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{10} \vec{b}$

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16、两条平行直线 $a x - 2 y + 1 = 0$ 与 $2 x - 4 y + 7 = 0$ 之间的距离为（）

A、6 B、5 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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17、设向量 $\vec{a} = (1, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, 4, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 6$ D、6

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18、数据1，2，4，8，9，10的第60百分位数 $n$ 为（　　）

A、2 B、4 C、8 D、9

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19、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0 且 a \neq b)$ ，过 $C$ 外一点 $P$ 作 $C$ 的两条切线，斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．若满足 $k_{1} \cdot k_{2} = k (k \in R 且 k \neq 0)$ ，则称点 $P$ 的轨迹为 $C$ 的 $k$ -相关曲线．特别地，当 $k = - 1$ 时， $P$ 的轨迹为一个圆，且满足方程 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，这样的圆被称作为蒙日圆．（注： $M (x_{0}, y_{0})$ 为 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ 上任一点，则 $M$ 处的切线方程： $m x_{0} x + n y_{0} y = 1$ ）．

(1)、设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (0 < a < 1)$ 与其 $- 1$ -相关曲线 $C_{2}$ ，点 $P, Q$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 上点，记 $d = {|P Q|}_{min}$ ，用含 $d$ 的式子表示 $a$ （直接写出结果）；

(2)、设椭圆 $C_{3} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，其 $2 -$ 相关曲线 $C_{4}$ ，求 $C_{4}$ ；

(3)、设椭圆 $C_{5} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与其 $k -$ 相关曲线 $C_{6} (a > b > 1, k > \frac{b^{2}}{a^{2}})$ ，设 $C_{5}$ 与 $C_{6}$ 在第一象限的交点为 $M$ ，过 $M$ 分别作 $C_{5}$ 与 $C_{6}$ 的切线 $l_{1}, l_{2}$ ，满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．设 $C_{5}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，满足 $cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值．

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20、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面是直角梯形 $A B C D, A B ∥ D C, ∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2, C D = 1, A D = \sqrt{3}, A E = \sqrt{6}, △ B C E$ 为正三角形．

(1)、求证：平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B C E$ 夹角的余弦值；

(3)、设点 $T$ 是三棱锥 $E - A C D$ 外接球上一点，求点 $T$ 到平面 $A D E$ 距离的最大值．

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