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相关试卷

1、数列 $\{a_{n}\}$ 的前三项均为 $1$ ， $\{b_{n}\}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $\{\log_{3} (b_{n + 1} - b_{n})\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、求 $a_{100}$ .

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2、如图是正四面体的平面展开图， $G, H, M, N$ 分别是 $D E, B E, E F, E C$ 的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（）

A、 $D E$ 与 $M N$ 平行 B、 $B D$ 与 $M N$ 为异面直线 C、 $G H$ 与 $M N$ 成 $60^{°}$ 角 D、 $D E$ 与 $M N$ 垂直

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3、从甲口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（）

A、2个球都是白球的概率为 $\frac{1}{6}$ B、2个球都不是白球的概率为 $\frac{2}{3}$ C、2个球不都是白球的概率为 $\frac{5}{6}$ D、2个球恰好有一个球是白球的概率为 $\frac{1}{2}$

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4、已知 ${(2 - x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则下列结论中正确的个数是（）
① $a_{0} = 2^{11}$ ；
② $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11} = 0$ ；
③ $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = \frac{1 - 3^{11}}{2}$ ；
④ $a_{1} + 2^{1} \times a_{2} + 2^{2} \times a_{3} + \dots + 2^{10} \times a_{11} = - 2^{10}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知命题 $p$ ： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) = \cos (\frac{π}{4} + α)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ B、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ C、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ D、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$

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6、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7、 $\tan 19^{°} + \tan 11^{°} + \frac{\sqrt{3}}{3} \tan 19^{°} \tan 11^{°}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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8、抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {(- 2)}^{b_{n} - 1} \cdot (\frac{1}{a_{n}} + \frac{2}{a_{n + 1}}), n \in N^{*}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $P_{n}$ .

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10、某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为 $\frac{1}{5}$ ，乙部件出现故障的概率为 $\frac{1}{4}$ .甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障.

(1)、试估算一个生产周期内的平均检修费用；

(2)、求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.

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11、已知 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin A (c \cos B + b \cos C) - c \sin B = c \sin C + b \sin B$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交线段 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 1$ ， $B D = 2 C D$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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12、过抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点， $C$ 在抛物线的准线上，则 $∠ A C B$ 的最大值为；若 $△ A C B$ 为等边三角形，则其边长为.

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13、在 ${(a x - y + z)}^{7}$ 的展开式中，记 $x^{m} y^{n} z^{k}$ 项的系数为 $f (m, n, k)$ ，若 $f (3, 2, 2) = \frac{70}{9}$ ，则 $a$ 的值为.

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14、下列命题正确的是（）

A、若事件A与B相互独立，且 $0 < P (A)$ ， $P (B) < 1$ ，则 $P (A |B) = P (A)$ B、设随机变量X服从正态分布 $N (0, 1)$ ，则 $P (|X| < \frac{1}{2}) = 1 - 2 P (X < \frac{1}{2})$ C、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 而言，当样本相关系数 $|r|$ 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好

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15、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0), N (0, - \sqrt{2})$ 动点 $M$ 满足直线 $A M$ 和 $B M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限， $P E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，连接 $Q E$ 并延长交 $C$ 于点 $G$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $△ P Q G$ 为直角三角形 C、 $△ P A N$ 面积最大值为 $2$ D、 $△ P Q G$ 面积最大值为 $\frac{16}{9}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}, S_{7} = S_{9}$ ，则（）

A、 $S_{16} = 0$ B、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最大项为 $S_{8}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列

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17、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的一条直线与C交于A，B两点，且 $A F_{1} ⊥ A B$ ， $|B F_{2}| = 1$ ，则椭圆长轴长的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、 $4 + 2 \sqrt{2}$

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18、已知 $1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根， $i$ 为虚数单位，则 $p + q i =$ （）

A、 $- 2 - 3 i$ B、 $5 + 2 i$ C、 $- 2 + 5 i$ D、 $2 + 5 i$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 1 (a \in R)$ 有唯一的极值点 $x_{0}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个零点，记 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ ， $C (x_{0}, f (x_{0}))$ ．
（i）证明： $x_{0} < f (x_{0})$ ；
（ii）判断 $△ A B C$ 是否可能为直角三角形，并说明理由．

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20、甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；

(2)、若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记 $X$ 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续 $n (n \in N^{*})$ 次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为 $Y_{n}$ ，随机变量 $Y_{n}$ 的数学期望为 $E (Y_{n})$ ，记 $a_{n} = E (Y_{n})$ ．写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的递推关系，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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