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相关试卷

1、“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､ $5 \dots \dots$ 都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如 $(3, 5), (5, 7), (11, 13) \dots \dots$ 都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=.

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2、现进行如下试验：从 $1, 2, 3, \dots, 10$ 中任选一个数，记为 $a_{1}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{1} - 1$ 中任选一个数，记为 $a_{2}$ ，若 $a_{2} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{2} - 1$ 中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件 $A_{i} =$ “试验过程中，数字 $i$ 被选到”， $p_{i}$ 表示事件 $A_{i}$ 发生的概率（ $i = 1, 2, 3, \dots, 10$ ），则（）

A、 $p_{9} = \frac{1}{10}$ B、 $p_{8} = \frac{1}{10} + \frac{1}{9} p_{10} + \frac{1}{8} p_{9}$ C、 $P (A_{8} ∣ A_{9}) = P (A_{8} ∣ A_{10})$ D、 $P (A_{i} A_{j}) = p_{i} \cdot p_{j} (i, j \in \{1, 2, \dots, 10\}$ 且 $i \neq j)$

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3、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，公差 $d = 2$ ， $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 18$ C、 $- 10$ D、 $- 8$

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5、 ${(\frac{1}{x^{2}} + 2 x)}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、60 B、120 C、160 D、240

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6、复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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7、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 3\}, B = \{x |x^{2} - 5 x + 4 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 4\}$ B、 $\{x |1 < x < 4\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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8、单循环赛制是指所有参赛队伍（或选手）相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次．现有 $n$ （ $n \geq 2$ ）支球队进行单循环赛，规定每场比赛获胜队得1分，负的队得0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积分从高到低排列名次，积分最高者为冠军．并将第 $i$ 支球队的胜场数记为 $x_{i}$ ，负场数记为 $y_{i}$ ，（ $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ）．

(1)、当 $n = 6$ 时，求单循环赛的总比赛场数，并计算 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6}$ 的值；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}$ ；

(3)、现 $n$ 支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多5支，甲，乙两组球队混合在一起进行单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是乙组中的球队，并说明理由．

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9、已知椭圆 $E$ 的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．直线 $O A$ ， $O B$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，且直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明： ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2}$ 为定值；

(2)、以椭圆 $E$ 上一动点 $M$ 为圆心作与直线 $O A$ ， $O B$ 均相切的圆，探究圆 $M$ 的面积是否为定值，若是定值，求出圆 $M$ 的面积，若不是定值，说明理由；

(3)、求四边形 $O A M B$ 面积的最大值．

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10、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{\frac{1}{2 n - 1}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} > ln \sqrt{2 n + 1}$ ．

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11、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 A B = 4$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ，三棱锥 $C_{1} - B C D$ 的体积是四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 体积的 $\frac{1}{15}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 4$ ，求平面 $A_{1} C_{1} D$ 与平面 $B_{1} C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin (B - C) + b \sin (A - C) = c \sin C$ ．

(1)、证明： $a^{2} + b^{2} = 3 c^{2}$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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13、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 3 x^{2} + (a - 3) x e^{x} + 2 (3 - a) e^{2 x}$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(2 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (2 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (2 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值是．

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14、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{3}}{x}$ 的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是，焦距是．

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15、已知二项式 ${(x - a)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为40，则实数 $a =$ ．

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16、空间直角坐标系中，满足条件 $\{(x, y, z) |0 \leq x \leq y \leq z \leq 1\}$ 的点构成一几何体，则该几何体（）

A、为正多面体 B、体积为 $\frac{1}{6}$ C、外接球体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ D、内切球表面积为 $(3 - 2 \sqrt{2}) π$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 2} \geq 2 a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 5$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 一定不是等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 一定不是递减数列 C、 $a_{2} \leq 3$ D、 $a_{4} \geq 7$

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18、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 周期为2，则（）

A、 $f (2 x) = f (2 x + 2)$ B、 $f (2 x) = f (- 2 x + 2)$ C、 $f (x) + f (2 - x) = 0$ D、 $f (x - 1) + f (x + 1) = 0$

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19、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (- 1, 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线交抛物线于第一象限内的 $A$ ， $B$ 两点，若 $|B F| = 2 |A F|$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，则函数 $y = |f (|x| - 1)|$ 的单调递增区间为（）

A、 $(1 - e, 0)$ ， $(e - 1, + \infty)$ B、 $(- e - 1, - 2)$ ， $(1, 2)$ ， $(e + 1, + \infty)$ C、 $(- e - 1, - 1)$ ， $(e + 1, + \infty)$ D、 $(- e - 1, - 2)$ ， $(- 2, - 1)$ ， $(e + 1, + \infty)$

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