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相关试卷

1、甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙每局获胜的概率为 $1 - p$ ，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）．
已知甲先赢了前两局．

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求：
（i）乙获胜的概率；
（ii）比赛打满七局的概率；

(2)、设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量 $X$ ，若 $P (X = 6) > P (X = 7)$ ，求 $p$ 的取值范围.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点 $D$ 是边AC中点， $B D = 2$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $\frac{c}{a} = \sqrt{3}$ 时，求 $b$ .

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3、已知欧拉函数 $φ (n) (n \in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数，例如： $φ (1) = 1, φ (3) = 2$ ；记集合 $\{x \in Z |3^{n} - \frac{2}{n} < x < φ (3^{n + 1}), n \in N^{*}\}$ 中元素个数为 $c_{n}$ ，则数列 $\{n c_{n}\}$ 前 $n$ 项和为．

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4、已知直线 $l : y = k x - 3$ 与圆 ${(x - 9)}^{2} + y^{2} = 9$ 相切，若直线 $l$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，与 $C$ 的准线相交于点 $A$ ，则 $| A F | =$ ．

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5、 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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6、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，记 $P (A + B) = α, P (A B) = β, P (A) P (B) = γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $γ \neq 0$ ，则 $P (A ∣ B) + P (B ∣ A) = \frac{β (α + β)}{γ}$ B、若 $β = γ$ ，则 $P (A) + P (B) = α$ C、 $P (\bar{A} \bar{B}) = 1 - α$ D、 $| β - γ | \leq \frac{1}{4}$

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D / / B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}, P A = A B = B C = 1$ ， $A D = 2, \vec{P E} = λ \vec{P D} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $C E / /$ 平面PAB B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线CE与PB所成角为 $\frac{π}{6}$ C、当 $λ = \frac{1}{5}$ 时，直线CE与平面PAD所成角为 $\frac{π}{4}$ D、当 $λ = \frac{1}{5}$ 时，三棱锥 $E - A C D$ 的外接球表面积为 $4 π$

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8、已知函数 $f (x) = \sin x - \frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ D、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$

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9、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{6} = 7 a_{13} > 0$ ，记 $b_{n} = a_{n + 1} a_{n + 2} a_{n + 3}, n \in N^{*}, S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n$ 的值为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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10、已知随机变量 $X ~ N (30, 6^{2})$ ，随机变量 $Y ~ N (34, 2^{2})$ ，则（）

A、 $P (X \leq 34) + P (Y > 34) < 1$ B、 $P (X \leq 34) < P (Y \leq 34)$ C、 $P (X \leq 38) + P (Y > 38) > 1$ D、 $P (X \leq 38) < P (Y \leq 38)$

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11、若 $1 < b < 2$ ，则椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

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12、已知 $\sin θ = - \sin 2 θ, θ \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、-1 C、 $- \sqrt{3}$ D、-2

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13、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 4 x < 0\}, N = {x ∣ y = \ln (x - 2)}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (4, m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、0 C、2 D、8

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15、i为虚数单位，则复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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16、（1）已知 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，证明： $\sin x < x < \tan x$ ；
（2）设 $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\tan x - x > λ (x - \sin x)$ 恒成立，求正整数 $λ$ 的最大值；
（3）求证： $\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{\tan \frac{π}{4^{k}}} + \sqrt{\sin \frac{π}{4^{k}}}) > 2 \sqrt{π} (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

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17、已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，顶点为 $O$ ，点 $A (4, 4)$ 在 $Γ$ 上.

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $M (t^{2}, 2 t) (t > 0)$ 在 $Γ$ 上，过M且斜率为2的直线交 $O A$ 于点Q，令 $\vec{M Q} = \vec{Q P}$ .
（i）求点P的坐标（用t表示）；
（ii）设直线 $O P$ 与 $Γ$ 的另一个交点为N，焦点F到直线 $M N$ 的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.

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18、某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：
等待时间
$[0, 5)$
$[5, 10)$
$[10, 15)$
$[15, 20)$
频数
20
14
10
6

(1)、估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、记乘客等待时间为 $X$ ，随机变量X服从指数分布，且 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率为 $P (X \leq x) = 1 - e^{- \frac{x}{10}} (x \geq 0)$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.
（i）证明：对于任意的 $s, t > 0$ ，有 $P (X > s + t |X > s) = P (X > t)$ ；
（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为 $Y$ （单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若 $0 \leq Y \leq 10$ ，则坐公交车（费用2元）；若 $Y > 10$ ，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.

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19、如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为2，点M是棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $B D M$ ；

(2)、设点Q在棱 $A B$ 上，求平面 $P D Q$ 与平面 $B D M$ 所成角的余弦值的最大值.

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20、设公比为q的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .

(1)、求q和 $a_{1}$ ；

(2)、求 $S_{n}$ .

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等待时间	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$
频数	20	14	10	6