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相关试卷

1、已知椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $Γ_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ ，其中（ $a > b > 0$ ），点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $Γ_{1}$ 的两个焦点，点 $P$ 是双曲线 $Γ_{2}$ 上一动点．若双曲线 $Γ_{2}$ 的两条渐近线夹角的余弦值等于 $\frac{1}{3}$ ，则使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形的点 $P$ 有（）个

A、3 B、4 C、6 D、8

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2、函数 $y = \cos (\frac{π}{2} - 2 x)$ 是（）

A、最小正周期为 $π$ 的奇函数 B、最小正周期为 $π$ 的偶函数 C、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数

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3、为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为 $1.5$ h．这里的总体是（）

A、该校所有学生 B、该校所有学生的每天平均体育运动时间 C、所调查的100名学生 D、所调查的100名学生的每天平均体育运动时间

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4、申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角 $θ (0 \leq θ < \frac{π}{2})$ 与人走路的加速度 $a$ 以及重力加速度 $g$ 有关，满足关系： $\tan θ = \frac{a}{g}$ ，其中 $g = 10 (m / s^{2})$ . 若甲同学走路启动瞬间的加速度为 $3 (m / s^{2})$ ，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装 ${cm}^{3}$ 的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.

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5、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2^{n - 1} - 1$ ， $n \geq 1$ 且 $n \in N$ ．若 $f (x) = (\sin x + a_{1}) (\sin x + a_{2}) \dots$ $(\sin x + a_{5})$ ，则 $f^{'} (π) =$ ．

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6、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, ∠ B A C = 60 °$ ．若点 $O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} =$ ．

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7、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + a = 0$ 有两个不相等的正根 $m$ 、 $n$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值为．

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8、若甲乙丙丁四人组成接力队参加 $4 \times 100$ 米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有种．

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9、已知随机变量 $X$ 的分布为 $(\begin{array}{l} 1 2 3 \\ 0.4 0.2 a \end{array})$ ，则期望 $E [X] =$ ．

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10、已知等差数列 $- 3$ ， $- 1$ ， 1，…，则该数列的第20项为．

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11、已知角 $α$ 为第四象限角，且 $\sin α = - \frac{4}{5}$ ，则 $\cos α =$ ．

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12、设 $α : 1 \leq x \leq 4 ， β : x \leq m ，$ 若 $α$ 是 $β$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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13、将 $\sqrt{a \sqrt{a}} (a > 0)$ 化成有理数指数幂的形式为．

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14、已知复数 $z = (m + 2) + (m - 1) i$ （ $i$ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 $m =$ ．

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15、不等式 $|x - 1| < 1$ 的解集为．

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16、已知函数 $f (x) = a (\frac{1}{x^{2}} - 1) + \frac{ln x}{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，函数 $g (x) = x^{2} f (x)$ 的两个极值点分别为 $m$ ， $n (m < n)$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $g (\frac{m + n}{2}) > f (x_{1} x_{2} x_{3})$ .

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17、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > \frac{\sqrt{6}}{2} b > 0)$ 的离心率是椭圆 $C_{2} : \frac{3 x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{2 b^{2}} = 1$ 的离心率的 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 倍， $C_{1}$ 的短轴长比 $C_{2}$ 的长轴长小2.

(1)、分别求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1} : y = k x + m (m \neq 0)$ 与 $C_{2}$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，与 $C_{1}$ 相切于点 $P$ .
（i）若 $P$ 为 $E F$ 的中点，求 $l_{1}$ 的方程；
（ii）直线 $l_{2}$ 过 $P$ 交 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，证明： $|E F| < \sqrt{2} |M N|$ .

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C ⊥ P D$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $P D = 2$ ．

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、四棱锥 $P - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积．

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19、甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，已知第一局甲队胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每局比赛的结果相互独立，且没有平局.

(1)、求甲队第2局获胜的概率；

(2)、求比赛不超过4局且甲队获胜的概率.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - \frac{1}{3} a b$ ， $c = \frac{2 \sqrt{3}}{3} b$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $A B$ 边上的高为 $2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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