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相关试卷

1、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示， $3 A B = 3 A A_{1} = 6 A D = \sqrt{6} A_{1} B$ ， $∠ A B C = ∠ A D D_{1} = 120^{\circ}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C_{1}}$ ，求二面角 $A - A_{1} B - E$ 的余弦值．

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2、为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并计划对成绩前10%的学生进行颁奖.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40, 100]$ 分内.已知该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为200、250、300.现用分层抽样的方法抽取了75名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
年级
样本平均数
样本方差
高一
75
75
高二
69
$s_{2}^{2}$
高三
$\bar{x_{3}}$
55

(1)、根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数；

(2)、已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为80，求高三年级学生成绩的平均数 $\bar{x_{3}}$ 和高二年级学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .

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3、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $cos A cos B + cos C = {sin}^{2} C - {sin}^{2} A - {sin}^{2} B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线，求 $S_{△ A C D}$ .

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4、已知函数 $f (x) = \frac{4 {cos}^{4} x - 4 {cos}^{2} x + 1}{2 tan (\frac{π}{4} + x) {cos}^{2} (\frac{π}{4} + x)}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间.

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5、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{6}) + cos 2 ω x (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, π]$ 内不存在零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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6、已知一底面边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为.

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7、已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，点 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点（包含边界），下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点，则 $M$ 、 $P$ 、 $B$ 、 $D$ 四点共面 B、存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与 $A A_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ C、若直线 $B P //$ 平面 $A M B_{1}$ ，则三棱锥 $P - A M B_{1}$ 的体积为定值 D、若 $B P = \sqrt{6}$ ，那么 $P$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为 $4$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为 $1$ C、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ D、若 $a + 2 b + a b = 30$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为 $11$

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9、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} // α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} // β$ B、若 $m \subset α$ ， $n // α$ ， $m$ ， $n$ 共面，则 $m // n$ C、若 $l_{1}$ 不垂直于 $α$ ，且 $l_{2} \subset α$ ，则 $l_{1}$ 必不垂直于 $l_{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} ⊥ β$

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10、已知 $f (x) = | {log}_{a} x |$ ， $a > 1$ ，记集合 $A = {x \in R |f (x) \leq 1}$ ， $B = {x \in R |f (f (x) + b) \leq 1}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{6} + 1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2}, + \infty)$

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11、已知一函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|} - x^{2}$ ，其定义域为 $(- 4, 4)$ ，则满足不等式 $f (x) - f (2 x + 1) > 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, - \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{5}{2}, - 1)$ C、 $(- \frac{5}{2}, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{5}{2}, - 1) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{3}{2})$

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12、一个袋子中有完全相同的 $x$ 个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是 $\frac{1}{10}$ .现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（）

A、 $\frac{36}{125}$ B、 $\frac{12}{125}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{4}{25}$

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $P$ 是线段 $B D$ 上一点， $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ .若 $A P // M N$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{9}{17}$ C、 $\frac{10}{17}$ D、 $\frac{11}{17}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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15、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 3, 4\}$

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16、已知函数 $f (x) = m x ln x - x^{2} + n (m, n \in R)$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、当 $m = 2$ ， $n = 0$ 时，求 $g (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、当 $n = 1$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} （ x_{1} < x_{2} < x_{3} ）$ ，
①求 $m$ 的取值范围；
②判断 $x_{1} + x_{3} - x_{2}$ 与 $\frac{m^{4} - m^{2} + 1}{m^{2}}$ 的大小关系，并给出证明.

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17、从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.

(1)、从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为 $η$ ，求随机变量 $η$ 的分布列和数学期望，方差.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n .$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}} + 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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19、甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
机床
品级
合计
一级品
二级品
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)、依据小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附：χ²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$ .
α
0.050
0.010
0.001
x_α
3.841
6.635
10.828

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{\ln x}{x} + \frac{a}{x} - 1$ ，若在 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，则 $a =$ ；若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为

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年级	样本平均数	样本方差
高一	75	75
高二	69	$s_{2}^{2}$
高三	$\bar{x_{3}}$	55

机床	品级		合计
机床	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

α	0.050	0.010	0.001
x_α	3.841	6.635	10.828