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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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2、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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4、函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，过点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，可以作函数 $f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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8、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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10、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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11、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12, a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}} =$ （）

A、7 B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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12、已知有穷数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = \log_{a} x_{n} - \log_{a} e$ ，其中 $a > 1$ ，且最后一项 $x_{m} \leq 0 (m \geq 2)$ $.$

(1)、当 $a = e$ ，且 $m = 2$ 时，求 $x_{1}$ 的取值范围；

(2)、当 $a > e^{e^{- 2}}$ 时，如果 $m$ 足够大，
（i）证明：数列 $\{x_{n}\}$ 为单调递减数列；
（ii）探究数列 $\{x_{n}\}$ 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.

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13、如图，在三棱台 $A^{'} B^{'} C^{'} - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 A^{'} B^{'} = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C, B C$ 的中点，且 $A N ⊥ B^{'} N$ $.$

(1)、证明： $A^{'} M / /$ 平面 $A B^{'} N$ ；

(2)、证明：平面 $A B^{'} N ⊥$ 平面 $A^{'} B M$ ；

(3)、若 $B^{'} B = C^{'} C = \sqrt{6}$ ，求平面 $A B^{'} N$ 与平面 $A B C$ 的夹角的正弦值.

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14、已知函数 $f (x) = \sin ω x - 2 \sin^{2} \frac{ω x}{2} + 1$ 其中实数 $ω > 0$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有三个极值点、两个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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15、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过定点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 交于 $B, C$ 两点，若 $|A B| = |A C|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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16、为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度 $y$ (单位： $μm$ )与腐蚀时间 $t$ (单位： $s$ )有关，并收集数据如下表：
腐蚀时间t/s
5
10
15
20
30
40
腐蚀深度 y/μm
5
8
10
13
17
19

(1)、根据表中样本数据，计算样本相关系数，（系数精确到 $0.01$ ）并推断它们的线性相关程度；

(2)、建立 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程(系数精确到 $0.01$ )；若腐蚀时间为 $60 s$ ，请估计腐蚀深度.参考数据： $\sqrt{34} \approx 5.83$ $.$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ $，$ 截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ $.$

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17、已知以原点为中心的椭圆 $C_{1}$ 、双曲线 $C_{2}$ ，与抛物线 $C_{3} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点 $P$ .若 $C_{2}$ 的离心率为2，则 $C_{1}$ 的离心率为.

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18、若存在 $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ，对任意的 $x \in R$ ，均有 $f (x + a) < f (x) + f (a)$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ .请写出一个满足性质 $P$ 的函数是.

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19、将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos C = 3 c \cos B$ ，则（）

A、 $a = 4 c \cos B$ B、 $B - C \geq 30 °$ C、 $B C$ 边上的中线长为 $c$ D、 $\frac{b}{c}$ 的取值范围是 $(1, 3)$

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腐蚀时间t/s	5	10	15	20	30	40
腐蚀深度 y/μm	5	8	10	13	17	19