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相关试卷

1、若对于定义域内的每一个 $x$ ，都有 $f (k x) = k f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“双 $k$ 倍函数”.已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[1, 4]$ 上的“双2倍函数”，且当 $x \in [1, 2)$ 时， $f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 7$ ，若函数 $y = f [f (x)] - a$ 恰有4个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 4]$ C、 $(1, 2) \cup (2, 4]$ D、 $(1, 4]$

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2、已知 $g (x)$ 是定义域为R的函数， $g (x) = a x^{2} + 2$ ，若对任意的 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0]$ C、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{4}, + \infty)$

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3、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $[0, 1)$ 为减函数，在 $[1, + \infty)$ 为增函数， $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x + 1) f (1 - x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1] \cup [1, 3]$ B、 $[1, 3] \cup \{- 1\}$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $[- 1, 3]$

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4、已知 $a, b, c \in R$ ，那么下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} \geq a + b$ D、若 $a^{2} > b^{2}$ 且 $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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5、近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率 $f$ （单位时间内心跳的次数）与其自身体重 $W$ 满足 $f = \frac{k}{W^{\frac{1}{3}}} (k \neq 0)$ 的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次 $\cdot {min}^{- 1}$ ，若经测量一匹马的脉搏率为41次 $\cdot {min}^{- 1}$ ，则这匹马的体重为（）

A、350kg B、450kg C、500kg D、250kg

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6、给出下列命题，其中是正确命题的是（）

A、两个函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示的是同一函数 B、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调递减区间是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ C、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ D、命题“ $\forall x \in [0, + \infty)$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in (- \infty, 0)$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ ”

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7、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x = \frac{4}{k + 1}, k \in Z\}, B = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 4 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$ B、 $\{- 4, - 2, - 1, 1\}$ C、 $[- 1, 0) \cup (0, 4]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 1]$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过坐标原点 $O$ 的两条直线 $E F, M N$ 分别与椭圆C交于 $E, F, M, N$ 四点，且直线 $O E, O M$ 斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求证：四边形 $E M F N$ 的面积为定值.

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $B M ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求点 $A_{1}$ 到平面 $B C M$ 的距离.

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10、已知圆C过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (0, 6)$ .并且圆心在直线 $y - 2 = 0$ 上，点 $P (4, 8)$ ，过点P作圆C的切线l.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、求切线l的方程.

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11、已知直线 $l : (2 + m) x + (m - 1) y - 3 m = 0 (m \in R)$ .

(1)、求原点到直线l距离的最大值：

(2)、若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当 $△ A B O$ 面积最小时，求对应的直线l的方程.

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12、如图，在棱长为6的正四面体 $O - A B C$ 中， $2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，点E为AD的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ：

(2)、求OE的长.

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点是 $F$ ，直线 $y = k x$ 交椭圆于 $A, B$ 两点﹐直线 $A F$ 与椭圆的另一个交点为 $C$ ，若 $\frac{|O A|}{|O F|} = \frac{|A F|}{2 |C F|} = 1$ ，则椭圆的离心率为．

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14、设 $a \in R$ ，若直线 $2 x + y - 3 = 0$ 与直线 $2 x + y + a = 0$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，则 $a$ 的值为．

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15、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ， $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 3)$ ，则实数 $m =$ .

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16、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F 、 G 、 M 、 N$ 均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）

A、 $P$ 在 $B C$ 中点时，平面 $P E F ⊥$ 平面 $G M N$ B、异面直线 $E F 、 G N$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ C、 $E 、 F 、 G 、 M 、 N$ 在同一个球面上 D、 $\vec{A_{1} P} = t \vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} M} - 2 t \vec{A_{1} B_{1}}$ ，则 $P$ 点轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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17、下列结论正确的有（）

A、直线 $y = 2 x$ 关于 $y = x + 1$ 对称的直线为 $x - 2 y + 3 = 0$ B、若一直线的方向向量为 $(\sqrt{3}, 3)$ ，则此直线倾斜角为60° C、若直线 $x + a y + 1 = 0$ 与直线 $x - 2 y + a = 0$ 垂直，则 $a = \frac{1}{2}$ D、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有不同的焦点.

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1, m)$ ， $\vec{b} = (- 2, m - 1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = 2$ ，则 $m = \pm \sqrt{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = - 1$ C、不存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = (- 1, - 2, - 2)$

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19、已知 $A (- 1, 0), B (0, 2)$ ，直线 $l : 2 x - 2 a y + 3 + a = 0$ 上存在点 $P$ ，满足 $| P A | + | P B | = \sqrt{5}$ ，则 $l$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ B、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $(0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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20、如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点， $\overset{⇀}{F M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{M A}$ ，则线段OM的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{21}$

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