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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{ln (x + 1)}{x} (x > 0)$ ， $g (x) = f (x) + f (\frac{1}{x})$ ．

(1)、令 $h (x) = x f (x)$ ，求 $h (x)$ 在点 $(e - 1, h (e - 1))$ 处的切线方程：

(2)、讨论 $g (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性；

(3)、证明：（i）当 $x > 0$ 时， $ln (x + 1) > \frac{x}{x + 1}$
（ii） $1 < g (x) \leq 2 \ln 2$ ．

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2、有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组 $k (k \in N^{*}, 2 \leq k \leq N)$ 人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．

(1)、若 $k = 4$ ， $p = \frac{1}{4}$ ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；

(2)、用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；

(3)、设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若 $p = 0.01$ ，每组人数 $k = 10$ ，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．（参考数据： ${0.99}^{10} \approx 0.90$ ）

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3、已知点 $F (0, \frac{1}{4})$ ， $M$ 为平面内一动点，以 $M F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切，点 $M$ 的轨迹记为 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、不过原点的直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于不同的两点 $A, B$ ，若以 $A B$ 为直径的圆过坐标原点．
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）点 $C$ 是曲线 $Γ$ 上位于直线 $l$ 下方的一动点，若对于给定的直线 $l$ ，记 $△ A B C$ 的面积最大值为 $S$ ，对所有符合题设条件的动直线 $l$ ，求 $S$ 的最小值．

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4、如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 的中点．平面 $A B C \cap$ 平面 $E F G = l$ ．

(1)、证明： $F G / / l$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $E F G$ 的夹角的正弦值．

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5、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 $(2 c - b) \cos A = a \cos B$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $\sin B + \sin C = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并求 $△ A B C$ 的面积．

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6、已知点M为正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球上动点，且 $M B = 2 M A$ ，若 $A A_{1} = 2$ ， $A B = 3$ ，则点M的轨迹长度为．

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7、已知直线 $l : k x - y - 2 = 0$ 与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是．

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8、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均值为3，则 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, 2 x_{3} + 1, 2 x_{4} + 1, 2 x_{5} + 1$ 的平均值为．

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9、古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．随着圆锥的轴与平面所成角 $α$ 的变化，截得的曲线的形状也不同．若圆锥轴截面的顶角为 $2 β$ ，则曲线的离心率为 $e = \frac{cos α}{cos β}$ ．如图，圆锥 $S O$ 的底面半径为4，母线长为12， $△ S A B$ 是圆锥的一个轴截面， $D$ 为 $S A$ 中点．过 $B, D$ 两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆 $Γ$ ．则（）

A、椭圆 $Γ$ 的长轴为 $2 \sqrt{17}$ B、椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ C、 $S O$ 与 $B D$ 的交点是椭圆 $Γ$ 的一个焦点 D、内接于椭圆的菱形周长最大值为20

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10、我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形 $A B C D E F G H$ ，如图3，O为其中心．记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{O A}| = 2$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \sqrt{2}$ B、 $\vec{F A} = \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{O C} = \sqrt{2} \vec{b} - \vec{a}$ D、 $\vec{F A}$ 在 $\vec{O C}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O C}$

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11、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ)$ $(0 < φ < π)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 中心对称．则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位可得到函数 $y = cos (\frac{2 π}{3} - 2 x)$ 的图象 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = c - \frac{1}{a_{n}}$ ．若对于任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} < a_{n + 1} < 2$ 成立，则实数c的取值范围是（）

A、 $(2, \frac{5}{2})$ B、 $(2, \frac{5}{2}]$ C、 $[2, \frac{5}{2}]$ D、 $(2, 3)$

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13、设方程 $ln (e^{2 x} + 1) - x = ln 3$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} =$ （）

A、0 B、1 C、e D、 $π$

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14、某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（）

A、32 B、33 C、34 D、35

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15、记 $S_{n}$ 为各项均不相同的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{3} = 9$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{5}$ 的等比中项，则 $a_{5} =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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16、设a， $b \in R$ ，则 $2^{a} > 2^{b}$ 是 $|a| > b$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知方程 $\frac{y^{2}}{m + 1} - \frac{x^{2}}{m + 2} = 1$ 表示双曲线，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, + \infty)$

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18、集合 $A = \{x \in Z |(x - 2) (x^{2} - 3) = 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} < 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- \sqrt{3}, \sqrt{3}, 2\}$ B、 $\{3, 2\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\emptyset$

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19、复数 $\frac{2}{i + 1}$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、i C、 $- 1$ D、1

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若 $A_{1}$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ ， $N$ 与 $A_{1}$ 不重合）， $l$ 不与 $x$ 轴垂直，若 $k_{A_{1} M} + k_{A_{1} N} = - k_{M N}$ ，求 $|M N|$ ．

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