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相关试卷

1、某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件 $G$ 由2个电子元件组成．如图所示，部件 $G$ 是由元件 $A$ 与元件 $B$ 组成的串联电路，已知元件 $A$ ， $B$ 正常工作的概率都为 $\frac{2}{3}$ ，且元件 $A, B$ 工作是相互独立的．

(1)、求部件 $G$ 正常工作的概率；

(2)、为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件 $G$ 正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为 $p$ ，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件 $A$ 并联后，再与 $B$ 串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件 $A$ 并联，另一个和元件 $B$ 并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件 $G$ 正常工作的概率达到最大？

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2、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ 、第2组 $[25, 30)$ 、第3组 $[30, 35)$ 、第4组 $[35, 40)$ 、第5组 $[40, 45]$ ．

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；

(3)、若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．

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3、 $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨{\vec{B D}}_{1}, \vec{A C}⟩$ ．

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4、已知点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 3, 2)$ ，则点C到直线 $A B$ 的距离为.

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5、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）

A、甲、乙对立 B、甲、丙互斥 C、甲、乙相互独立 D、乙、丙相互独立

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6、两条异面直线 $a, b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a, b$ 上分别取点 $A, E$ 和点 $B, F$ ，使 $A B ⊥ a$ ，且 $A B ⊥ b$ .已知 $A E = 6, B F = 8, E F = 14$ ，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $20$ 或 $12$ B、 $12$ 或 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ 或 $8 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$ 或 $20$

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7、某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位： $cm$ ） $A : x < 155$ ， $B : 155 \leq x < 160$ ， $C : 160 \leq x < 165$ ， $D : 165 \leq x < 170$ ， $E : x \geq 170$ ，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）

A、身高在 $155 \leq x < 160$ 区间的男生比女生多 $3$ 人 B、B组中男生和女生占比相同 C、超过一半的男生身高在 $165 cm$ 以上 D、女生身高在 $E$ 组的人数有 $2$ 人

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8、已知 $z$ 轴上一点 $M$ 到点 $A (1, 0, 2)$ 与点 $B (1, - 3, 1)$ 距离相等，则点 $M$ 的竖坐标为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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9、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、1

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10、据统计，2023年12月成都市某区域一周 $A Q I$ 指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）

A、45 B、50 C、51 D、53

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11、随机将 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ；B组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $ξ = a_{2} - a_{1}, η = b_{2} - b_{1}$
（1）当 $n = 3$ 时，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；
（2）令C表示事件 $ξ$ 与 $η$ 的取值恰好相等，求事件C发生的概率 $p (c)$ ；
（3）对（2）中的事件C， $\bar{c}$ 表示C的对立事件，判断 $p (c)$ 和 $p (\bar{c})$ 的大小关系，并说明理由．

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12、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $A (0, 1)$ ，右顶点为 $B (2, 0)$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + t (- \sqrt{2} < t < 1)$ 与椭圆 $Γ$ 相交于点 $C$ 、 $D$ （ $A B C D$ 构成凸四边形） $．$

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、设直线 $A D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、用含 $t$ 的代数式表示凸四边形 $A B C D$ 的面积 $S (t)$ ，并求 $S (t)$ 的最大值 $．$

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13、已知函数 $f (x) = x (x - 2) (x - a)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 对称，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x = a$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的值；

(3)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的极值点，且满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = \frac{b + a cos C}{1 - cos A}$ ．

(1)、证明： $c = 2 b$ ；

(2)、当角 $B$ 最大时，求角 $A$ 的大小．

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15、一个等比数列有3项，如果把第2项加上4，那么得到的数列等差数列；如果再把这个等差数列的第3项加上32，那么得到的数列又成等比数列，求原来的等比数列.

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，过 $A$ 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 $M$ ，延长 $A M$ 交另一条渐近线于 $N$ ，若 $\vec{M N} = 2 \vec{A M}$ ，则双曲线的渐近线方程为．

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17、已知定义在 $R$ 上的连续函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + e^{x}}$ ，设 $g (x) = f (1 - 2 x)$ ，则 $g^{'} (1) =$ $．$

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18、设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，已知函数 $f (x) = \ln x - \sqrt{a x + b}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有唯一的极值点 B、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $a \in (0, \frac{2}{e})$
C、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} > 2$ D、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} < 2$

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19、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{15} < 0$ ， $\frac{a_{7}}{a_{8}} < - 1$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $|a_{7}| < |a_{8}|$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 7$ D、使 $S_{n} > 0$ 成立的最大整数 $n$ 为13

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20、已知某地社交媒体用户的日活跃时长 $X$ （单位：小时）服从正态分布 $N (2.4, {0.7}^{2})$ ，则（）

A、 $E (X) = 2.4$ ， $D (X) = 0.7$ B、若 $P (X \leq 1) = P (X \geq b)$ ，则 $b = 3.8$ C、 $P (X \leq 0.3) + P (X \geq 4.5) < P (0.3 < X < 4.5)$ D、 $P (|X - 2| \leq 0.7) \geq P (|X - 3| \leq 0.7)$

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