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相关试卷

1、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 A B = 4$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ，三棱锥 $C_{1} - B C D$ 的体积是四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 体积的 $\frac{1}{15}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 4$ ，求平面 $A_{1} C_{1} D$ 与平面 $B_{1} C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin (B - C) + b \sin (A - C) = c \sin C$ ．

(1)、证明： $a^{2} + b^{2} = 3 c^{2}$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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3、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 3 x^{2} + (a - 3) x e^{x} + 2 (3 - a) e^{2 x}$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(2 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (2 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (2 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值是．

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4、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{3}}{x}$ 的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是，焦距是．

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5、已知二项式 ${(x - a)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为40，则实数 $a =$ ．

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6、空间直角坐标系中，满足条件 $\{(x, y, z) |0 \leq x \leq y \leq z \leq 1\}$ 的点构成一几何体，则该几何体（）

A、为正多面体 B、体积为 $\frac{1}{6}$ C、外接球体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ D、内切球表面积为 $(3 - 2 \sqrt{2}) π$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 2} \geq 2 a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 5$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 一定不是等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 一定不是递减数列 C、 $a_{2} \leq 3$ D、 $a_{4} \geq 7$

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8、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 周期为2，则（）

A、 $f (2 x) = f (2 x + 2)$ B、 $f (2 x) = f (- 2 x + 2)$ C、 $f (x) + f (2 - x) = 0$ D、 $f (x - 1) + f (x + 1) = 0$

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9、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (- 1, 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线交抛物线于第一象限内的 $A$ ， $B$ 两点，若 $|B F| = 2 |A F|$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，则函数 $y = |f (|x| - 1)|$ 的单调递增区间为（）

A、 $(1 - e, 0)$ ， $(e - 1, + \infty)$ B、 $(- e - 1, - 2)$ ， $(1, 2)$ ， $(e + 1, + \infty)$ C、 $(- e - 1, - 1)$ ， $(e + 1, + \infty)$ D、 $(- e - 1, - 2)$ ， $(- 2, - 1)$ ， $(e + 1, + \infty)$

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11、我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos 2 x)$ ，接收端参考信号抽象为向量 $\vec{b} = (1, \sin x)$ ，定义信号匹配度函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$

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12、已知复数 $z = cos \frac{π}{6} + isin \frac{π}{6}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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13、等比数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{3} = 1$ ， $b_{7} = 4$ ，则 $b_{5} =$ （）

A、2 B、 $\pm 2$ C、 $- 2$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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14、在平面直角坐标系中曲线 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 的长度为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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15、已知集合 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $M = \{x \in Z| x^{2} - 3 x < 0\}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 3\}$

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16、已知函数 $f (x) = e^{\sqrt{x}} - \frac{1}{2} a x, a \in R$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，
（ⅰ）求 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $\sqrt{x_{1} x_{2}} - x_{2} < \sqrt{(e - a) (e - a - 4)}$ ．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $P (- 2, 0)$ ，直线 $l$ 过点 $Q (1, 0)$ （直线 $l$ 不与 $x$ 轴重合），交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点．直线 $P A$ 交椭圆于另一点 $C$ ，直线 $P B$ 交椭圆于另一点 $D$ ，连接 $C D$ 交 $x$ 轴于 $T$ ．
（ⅰ）求 $\frac{k_{A B}}{k_{C D}}$ 的值；
（ⅱ）求点 $T$ 到直线 $l$ 距离的取值范围．

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D / /$ 平面 $P B C$ ， $P A = 1$ ， $A C = 2$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若点 $B$ 到平面 $A C P$ 的距离为1，求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值．

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c = 3$ ， $b = 6$ ， $\sqrt{3} sin A + cos A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、点 $D$ 在边 $B C$ 上，连接 $A D$ ，且 $B D : D C = 1 : 2$ ，记 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的内切圆半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，求 $r_{1} + r_{2}$ 的值．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 0$ ， $2 a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 3$ ．

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2 n + 1$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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