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相关试卷

1、设 $A = \{x |x > 1\}, B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > - 1\}$ B、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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2、已知函数 $f (x) = a ln (x + 1) + x - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{2}, 7)$ 上有 $2$ 个零点，求 $a$ 的取值范围.

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3、设集合 $U = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 为实数集，其中 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ，对U的非空子集A，若满足：①若 $a_{i} \in A$ ，则 $a_{n + 1 - i} \in A$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”.

(1)、若 $U_{1} = \{1, 2, 3\}$ ， $U_{2} = \{1, 2, 3, 4\}$ ，直接写出 $U_{1}$ ， $U_{2}$ 的所有“平衡子集”；

(2)、若 $U = \{1, 2, 3, \dots, 2 n\} (n \in N^{*})$ ，
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用 $f (m)$ 表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数， $1 \leq m \leq 2 n$ ， $m \in N^{*}$ ，用 $g (n)$ 表示U的元素个数为n的子集个数，求 ${[f (1)]}^{2} + {[f (2)]}^{2} + \dots + {[f (2 n)]}^{2} - g (n)$ 的值，并说明理由.

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4、设函数 $f (x) = x - \ln (1 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) < \frac{2 x^{2} + x}{2 (1 + x)}$ ；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时，有 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + 1} < \ln (2 n + 1) - \ln 2$ .

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5、数列 $\{x_{n}\}$ 的首项 $x_{1} = \frac{e}{1 - e}$ ，且 $x_{n} < - 1$ ， $x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{2}}{2 x_{n} + 1}$ .

(1)、证明：数列 $\{\ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}\}$ 为等比数列；

(2)、设 $a_{n} = (17 - 2 n) \ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最大项.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x + m^{2}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m > 0$ 时， $f (x) \geq 2 m^{2}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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7、设 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{\frac{1}{2^{m} + 2^{n} + 2^{t}} | 0 \leq m < n < t ，且m ， n ， t \in Z\}$ 中所有的数都是从大到小排列成的数列，已知 $b_{k} = \frac{1}{2120}$ ，则 $k =$ .

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8、甲，乙，丙，丁，戊5名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{3} =$ .

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9、现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻的排法种数为种.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ ， $g (x) = e^{f (x)}$ ，则以下结论不正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{2025}) f (\frac{1}{2024}) \dots \dots f (1) \cdot f (2) \dots \dots f (2025) = 1$ B、 $g (\frac{1}{2025}) g (\frac{1}{2024}) \dots \dots g (1) \cdot g (2) \cdot g (2025) = 1$ C、若 $a f^{'} (a) = b f^{'} (b)$ ，且 $a \neq b$ ，则 $a b = 1$ D、若 $a g^{'} (a) g (b) = b g^{'} (b) g (a)$ ，且 $a \neq b$ ，则 $a b = 1$

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11、若 ${(x + 2)}^{n}$ 的展开式的各二项式系数之和为32，则（）

A、 $n = 5$ B、展开式中所有项的系数和为32 C、展开式中常数项为32 D、展开式中x的奇次项的系数和为121

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12、 $(2 x + \frac{y^{2}}{x}) {(x + y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = \frac{1}{3}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $λ \geq T_{n}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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14、在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（）个平面

A、56 B、70 C、210 D、336

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15、已知函数 $f (x) = \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点．

(1)、求证：平面AEG∥平面BDH；

(2)、求点A到平面BDH的距离．

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17、设集合 $\{2^{α} + 2^{β} ∣ 0 \leq α < β$ 且 $α, β \in Z\}$ 中所有的数从小到大排列构成数列 $\{a_{n}\}$ ，并将数列 $\{a_{n}\}$ 的各项依次按照上小下大，左小右大，第 $n$ 行共有 $n$ 项的原则，写成如下的数表．

(1)、写出该数表第4行各项的数；

(2)、求 $a_{50}$ ；

(3)、设 $a_{N}$ 位于数表的第 $n$ 行，若 $N > 200$ ，且该数列前 $N$ 项的和能被 $2^{n}$ 整除，求 $N$ 的最小值．

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18、已知函数 $f (x) = x^{α} - b x + b - 1$ ．

(1)、当 $α = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $α = 3$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 有三条过点 $(- 1, 0)$ 的切线，求 $b$ 的取值范围；

(3)、设 $p, q$ 为非负实数， $s, t$ 为正实数，若 $s + t = 1$ ，证明： $p^{s} q^{t} \leq p s + q t$ ．

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19、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, A, B$ 为 $C$ 上两点，线段AB中点的横坐标为 $- 1$ ，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $| A B | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、当AB不垂直 $x$ 轴时，设线段AB的中垂线与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，求 $|O P|$ ．

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20、如图，在直平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上．

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $B P D$ ，证明： $P C = P C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = B C, A A_{1} = 2 \sqrt{2}, ∠ B A D = 60^{°}$ ，直线 $A D_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，平面 $B P D$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，求 $C P$ ．

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