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相关试卷

1、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $1 + \frac{tan B}{tan A} = \frac{2 c}{a}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D$ 为 $∠ A B C$ 的平分线且与 $A C$ 交于点 $D, B D = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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2、2024年底我国一家公司的 $APP$ 发布，引起全球轰动.某单位引入该 $APP$ ，并对员工进行了该 $APP$ 应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该 $APP$ 应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了 $100$ 名员工的成绩（单位：分），根据这 $100$ 名员工的成绩（成绩均在 $[50, 100]$ 之间），将样本数据分为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）.

(1)、求频率分布直方图中 $m$ 的值；

(2)、估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；

(3)、在样本中，从成绩在 $[50, 60)$ 和 $[60, 70)$ 内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在 $[60, 70)$ 内的概率.

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, \vec{D F} = 3 \vec{F B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{B D}, \vec{A F}$ ；

(2)、证明： $E, F, C$ 三点共线.

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4、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b = 4, B = \frac{π}{3}$ ，若 $△ A B C$ 外接圆的圆心为 $O$ ，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C})$ 的最大值为.

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5、在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为 $0.9, 0.5, 0.4$ ，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为.

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6、已知向量 $\vec{a} = (6, x), \vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, - 3), \vec{b} = (2, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{13}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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8、如图，某河流两边有 $A, B, C, D$ （在同一个平面内）四点，已知 $C, D$ 两个观察点在河的南岸，二者间的距离为 $10 m$ ，为了测量在河的北.岸 $A, B$ 两个目标点间的距离，某小组测得 $∠ A C B = 75^{\circ}, ∠ A C D = 120^{\circ}, ∠ A D C = 30^{\circ}, ∠ A D B = 45^{\circ}$ ，则 $A, B$ 两个目标点间的距离为（）

A、 $10 \sqrt{2} m$ B、 $5 \sqrt{15} m$ C、 $\frac{10 \sqrt{15}}{3}$ ， D、 $10 \sqrt{3} m$

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9、若一个圆锥的轴截面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，则该圆锥的体积为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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10、如图所示，一个水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $O^{'} A^{'} = \sqrt{3}, O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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11、把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理．比如“ $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ”；一方面问题视为从包含 $a$ 的 $n + 1$ 个不同的元素中取出 $m$ 个元素，共有 $C_{n + 1}^{m}$ 种方法；另一方面，还可以视为取出的 $m$ 个元素中，一类是不含有 $a$ ，共有 $C_{n}^{m}$ 种方法，一类是含有 $a$ ，共有 $C_{n}^{m - 1}$ 种方法，由分类加法计数原理有 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ． “算两次”原理在数学中有广泛的应用．

(1)、若函数 $f (x)$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $2 eln x \leq f (x) \leq x^{2}$ 恒成立，求 $f (\sqrt{e})$ 的值（e为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ）；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，角 $B$ 的内角平分线交 $A C$ 于 $D$ ，证明： $(c - a) cos \frac{B}{2} = b cos (A + \frac{B}{2})$ ；

(3)、当 $n \geq 3$ 时，求 $\sum_{k = 1}^{n} [1 + {(- 1)}^{k}] k^{2} C_{n}^{k}$ 的值．（结果用含 $n$ 的式子表示）

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12、为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织 $1000$ 名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔 $400$ 名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分 $150$ 分）整理后绘制成的频率分布直方图．

(1)、估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线；

(2)、从参加预赛的 $1000$ 名学生中随机抽取 $30$ 人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为 $X$ ，求 $E (X)$ ；

(3)、为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的 $600$ 名学生中推荐 $100$ 名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为 $0.1$ ，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为 $0.4$ ．在入围复赛的 $500$ 名学生中随机抽取 $1$ 名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率．

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13、在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ．若平面 $A B C$ 外的点 $P$ 和线段 $A C$ 上的点 $D$ ，满足 $P D = D A$ ， $P B = B A$ ，四面体 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ A P$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} cos 2 x - \frac{3}{2} sin 2 x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 2, f (A) = 1 - \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积．

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - b x^{2} + c x + 1$ ，若存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, b]$ 上有三个零点，则实数 $b$ 的取值范围为．

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16、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3})$ ，满足 $f (x + \frac{π}{2}) + f (x) = 0$ ，实数 $ω$ 可以为．（写出满足条件的一个 $ω$ 即可）

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17、某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为．

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18、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为4，四面体内部一点 $P$ （包含边界）到三个侧面 $A B C$ ， $A B D$ ， $A C D$ 的距离之比为 $1 : 1 : 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、正四面体 $A - B C D$ 内切球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、点 $P$ 可以为 $△ B C D$ 的重心 C、 $C D ⊥ B P$ D、 $△ P C D$ 面积的最小值为 $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

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19、设平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，记 $\vec{c} = t \vec{a} + (2 - t) \vec{b}$ ， $\vec{d} = t \vec{a} + (3 - t) \vec{b}$ ， $t \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在 $t$ ，使得向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直 B、 $|\vec{d}|$ 的最小值为3 C、若 $t = 1$ ，则向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{a}$ D、 $\vec{c} \cdot \vec{d}$ 的最小值为4

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20、设样本空间 $Ω = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{a, c\}$ ， $C = \{a, d\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A, B, C$ 两两互斥 B、事件 $A, B, C$ 两两独立 C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (A |C) = \frac{1}{2}$

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