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相关试卷

1、已知 $\tan (α - \frac{π}{6}) = 2$ ， $\tan (α + β) = - 3$ ，则 $\tan (β + \frac{π}{6}) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N_{+}$ ），则 $a_{2020} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- 1$ D、2

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3、记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} = 2$ ， $a_{2} - a_{5} a_{4} = 8 a_{6}$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、180 B、 $- 180$ C、162 D、 $- 162$

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4、已知数列 $\sqrt{2}$ ， $2$ ， $2 \sqrt{2}$ ， $4$ ， …，则 $16 \sqrt{2}$ 是这个数列的

A、第8项 B、第9项 C、第10项 D、第11项

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5、设 $a < b < 0$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $\frac{a + b}{b} < 1$

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6、定义：若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点 $M$ 和 $N$ 关于 $x$ 轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系．

(1)、判断函数 $f (x) = e^{x} - 2$ 和 $g (x) = x$ 是否具有 $C$ 关系；

(2)、若函数 $f (x) = x e^{x}$ 和 $g (x) = - k \sin x$ （ $k > 0$ ）在区间 $(0, π)$ 上具有 $C$ 关系，求实数 $k$ 的取值范围．

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7、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B C D_{1}$ 均为菱形， $∠ A B C = A_{1} B C = 60^{\circ}, cos ∠ A_{1} A B = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} B C D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - D D_{1} - C_{1}$ 的正弦值.

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8、已知函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 9 (a \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} = - 2 x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最值.

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9、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 5$ ， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，则 $B D_{1}$ 的长为.

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10、已知函数 $f (x) = 13 - 8 x + \sqrt{2} x^{2}$ ，且 $f^{'} (a) = 4$ ，则实数 $a$ 的值.

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11、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1)$ ， $μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、平面 $P A C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ B、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $A_{1} - P B C_{1}$ 的体积为定值 C、当 $μ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B P ⊥ P C_{1}$ D、当 $λ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} ⊥$ 平面 $P C D$

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12、已知定义域为 $[- 3, 5]$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 有极小值 $f (2)$ C、 $f (x)$ 有2个极值点 D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最大值

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13、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R， $f (0) = 0$ 且 $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x^{2} + 4 x - 5) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ C、 $(- 5 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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14、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + b}{x} (x > 0)$ 取得最小值 $2 e$ ，则 $a + b =$ （）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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15、曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 在点 $(- 1, \frac{3}{2})$ 处切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3π}{4}$ D、 $- \frac{π}{4}$

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16、设集合 $A = \{1, q, q^{2}, \dots, q^{n - 1}\}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $q \geq 2$ 且 $q \in N^{*}$ ，将A中每个子集的元素和按照不减的顺序排列（空集 $\emptyset$ 的元素和记为0），可以得到一组整数 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， …， $b_{2^{n}}$ 其对应的子集分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …， $B_{2^{n}}$ ，并定义 $b_{i} = S_{B_{i}}$ （ $S_{B_{i}}$ 表示 $B_{i}$ 中元素的和， $1 \leq i \leq 2^{n}$ .

(1)、若 $q = 2$ .
①求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ ；
②证明： $\{b_{n}\}$ 是等差数列.

(2)、若 $q \geq 3$ 且 $S_{B_{i}} \leq S_{B_{j}}$ ，证明： $S_{B_{j}} + (q - 2) S_{B_{i} \cap B_{j}} \geq (q - 1) S_{B_{i}}$ .

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17、已知函数 $f (x) = \log_{a} x (a > 1)$ ， $g (x) = x^{b} (0 < b \leq 1)$ .

(1)、直接判断 $\log_{2} 3$ 与 $\sqrt[3]{3}$ 的大小关系；

(2)、若 $\forall 1 < a \leq e$ ，函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有且仅有两个交点，求b的取值范围；

(3)、若 $a = 2$ ， $b = \frac{1}{2}$ ，求出函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的交点个数.

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18、甲，乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球3次，进一球积2分；方式二，投三分球2次，进一球积3分.甲和乙投进两分球的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，投进三分球的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，且两人投篮互不影响.先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜.已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式.

(1)、试判断甲，乙两人会分别优先选择何种投篮方式；

(2)、现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率.

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $∠ B A C$ 为锐角，动点D在 $△ A B C$ 的边AC上， $P A = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面PAB.

(2)、当点P到直线BD的距离为 $\sqrt{3}$ 时，求PD与平面ABC所成的角.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(\sin A + \sin B) (b - a) = c (\sin B - \sin C)$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若BC边上的高为3，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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