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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 c^{2} + a^{2}}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $△ A B C$ 三个内角中最小的角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、若函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} + a$ （ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ）的图象上存在关于原点对称的点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$

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3、关于 ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{14}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、第 $7$ 项的二项式系数最大 B、当 $x = 1$ 时， ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{14}$ 被 $3$ 除的余数为 $2$ C、展开式中存在常数项 D、展开式中存在连续三项的系数成等差数列

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4、一个袋子中装有除颜色外完全相同的 $6$ 个红球和 $4$ 个白球，从中一次性随机摸出 $3$ 个球，用 $X$ 表示这 $3$ 个球中白球的个数，则下列概率中等于 $\frac{C_{10}^{3} - C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}$ 的是（）

A、 $P (X = 1)$ B、 $P (X \leq 1)$ C、 $P (X \geq 1)$ D、 $P (X = 3)$

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5、已知直线 $y = a (x - 1)$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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6、若 $tan θ = 2$ ，则复数 $z = 2 sin θ + icos θ$ （ $i$ 为虚数单位）的模为（）

A、 $\frac{17}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{85}}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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7、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = P (X \geq 2)$ ，则（）

A、 $σ = 2$ B、 $σ^{2} = 2$ C、 $μ = 0$ D、 $μ = 1$

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8、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$

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9、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边为 $a, b, c$ ，点 $M$ 是 $△ A B C$ 的内心，若 $a = 2, \sqrt{3} b \cos A = a \sin B$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、延长 $A M$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、求 $A M$ 的取值范围．

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10、如图，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为棱AB上的动点（不含端点），点 $H$ 为 $D^{'} E$ 上一点，直线DH交平面 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 于点 $M$ .

(1)、求证 $D^{'} M / /$ 平面 $A^{'} D E$ ；

(2)、若 $D^{'} E ⊥ D H$ ，
（i）求证 $D^{'} E ⊥$ 平面 $A^{'} M D$ ；
（ii）当 $A E$ 为何值时，直线 $A^{'} H$ 与平面 $D^{'} D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{5}$ .

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11、为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档）， $20 %$ 的用户缴费在第二档， $5 %$ 的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： $kW \cdot h$ ），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、请估计月均用电量第一档的范围；

(3)、用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在 $[200, 300]$ 的概率．

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12、在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 1, D, E$ 分别是 $A B$ 和 $B C$ 的中点， $\vec{A C} = 3 \vec{A F}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{D F}$ ，并求 $| \vec{D F} |$ ；

(2)、求向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{D F}$ 的夹角的余弦值．

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13、正四棱台的上下底面边长分别为 $2$ 和 $4$ ，侧棱长为 $4$ .

(1)、求它的表面积；

(2)、求它的体积.

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14、有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为．

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15、已知集合 $U = \{1, 2\}$ ， A，B是U的子集，且 $A \cup B = U$ ，则 $A \cap B = \emptyset$ 的概率为.

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16、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边为a，b，c，若 $\sin A = \frac{4}{5}, \sin C = \frac{12}{13}, a = 1$ ，则 $c =$ ．

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17、某电商平台决定对会员进行满意度调查.该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本.经计算得女性样本的满意度平均数为9，方差为2，男性样本的满意度平均数为8，方差为1，则（）

A、男性会员的样本容量为40 B、每位会员被抽到的概率为 $\frac{1}{25}$ C、估计该平台会员的满意度平均数为 $8.75$ D、估计该平台会员满意度的方差为 $\frac{31}{16}$

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18、已知复数 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则下列说法正确的是（）

A、在复平面内z对应的点位于第四象限 B、 $z + \bar{z} = - 2 \sqrt{3} i$ C、 $| \bar{z} | = 2$ D、 $\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$

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19、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱 $B B_{1}, C C_{1}, A B, A C$ 的中点，点 $M$ 为线段EF上的动点，直线AM与平面 $A_{1} G H$ 交于点 $N$ ，则点 $N$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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20、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（）

A、事件乙和事件丙互斥 B、事件丙和事件丁互为对立 C、事件甲与事件丙相互独立 D、事件乙与事件丁相互独立

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