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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \frac{\sin 2 A}{1 + \cos 2 A} = \frac{\cos B - \cos C}{\sin C - \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是边BC上一点， $A D = D C = 2 B D, c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = 4, ∠ A C B = 90^{°}$ ．若 $Q$ 为侧面 $P A B$ 内的动点， $C Q = 2 \sqrt{2}$ ，当该三棱锥的体积最大时， $Q$ 的轨迹与 $A B, P B$ 所围成区域的面积为．

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3、有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为．

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 1, (\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的增函数，且 $f (x)$ 可导， $f (x - 1)$ 为奇函数，记函数 $g (x) = (x + 1) f (x),$ $f^{'} (x), g^{'} (x)$ 分别是 $f (x), g (x)$ 的导函数，则（）

A、 $g^{'} (- 1) = 0$ B、 $f^{'} (x - 1) = f^{'} (- x - 1)$ C、 $g^{'} (x - 1) = g^{'} (- x - 1)$ D、 $g (\ln 1.02) < g (- 1 - \sqrt{1.04})$

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6、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则（）

A、过A作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，若 $∠ A Q F = 60^{°}$ ，则 $| A Q | = 8$ B、若直线BO与 $l$ 交于点 $P$ ，则直线AP平行于 $x$ 轴 C、以线段BF为直径的圆上的点到 $l$ 的最小距离为1 D、以线段AB为直径的圆截 $y$ 轴所得弦长的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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7、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{13 π}{6}$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 2, 2]$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增 D、 $y = f (x + \frac{5 π}{12})$ 的图象关于原点对称

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8、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $E$ 的右支交于 $A, B$ 两点，若 $| A B | = |A F_{1}|, \cos ∠ B A F_{1} = \frac{7}{8}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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9、已知函数 $f (x) = a^{x} - \log_{a} (x + 1) (a > 1)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在单调递减区间，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, e]$ B、 $(1, e)$ C、 $[e, + \infty)$ D、 $(e, + \infty)$

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10、已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1：2：3，高为4，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{56 π}{3}$ C、 $40 π$ D、 $56 π$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - a) x + 2 a, x < 1, \\ x - \frac{1}{x}, x \geq 1. \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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12、某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（）

A、87.5 B、85 C、82.5 D、80

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{6} = 15 - a_{10}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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14、若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = |1+ \sqrt{3} i|$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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15、已知集合 $A = {1, 2, \sqrt{m}}, B = {1, m}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、0或2 C、1或2 D、0或1

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $B C$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，若 $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = λ \vec{A N}$ ，则 $λ =$ .

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17、一个底面边长为 $2 cm$ 的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为 $1 cm$ 的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了 $\frac{π}{2} cm$ .若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\sqrt{37} {πcm}^{2}$ B、 $6 {πcm}^{2}$ C、 $2 \sqrt{10} {πcm}^{2}$ D、 $2 \sqrt{37} {πcm}^{2}$

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18、“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动 $.$ 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.

(1)、某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 $B$ 、 $C$ 两类，抽到较易的 $B$ 类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的 $C$ 类并答对购物打七折优惠 $.$ 抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 $8$ 张完全相同的卡片，其中 $3$ 张写有 $A$ 字母， $3$ 张写有 $B$ 字母， $2$ 张写有 $C$ 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 $1$ 张卡片，若抽到写有 $A$ 的卡片，则再抽 $1$ 次，直至取到写有 $B$ 或 $C$ 卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有 $C$ 的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率.

(2)、小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到 $n$ 条灯谜 $($ 不妨设每条灯谜的适合度各不相同 $)$ 最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前 $k (1 \leq k < n)$ 条灯谜，自第 $k + 1$ 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条 $.$ 设 $k = t n$ ，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 $P$ .
（i）若 $n = 4, k = 2$ ，求 $P$ ；
（ii）当 $n$ 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 $P$ 的最大值及 $P$ 取最大值时 $t$ 的值.
（取 $\frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \dots + \frac{1}{n - 1} = ln \frac{n}{k}$ ）

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19、对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如 $\{2, 3, 5\}$ 的“交替和”是 $5 - 3 + 2 = 4, \{5\}$ 的“交替和”是5.

(1)、求集合 $\{1, 2, 3\}$ 的所有非空子集的交替和的总和；

(2)、已知集合 $T = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，求集合 $T$ 所有非空子集的元素和的总和；

(3)、已知集合 $M_{n} = {a_{k} |a_{k} = 5 - 2 k, k = 1, 2, \dots, n}$ ，其中 $n \in N^{*} ，$ 求集合 $M_{n}$ 所有非空子集的交替和的总和.

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20、某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段

， A ， B

两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对

15

至

45

岁的人群，按比例随机抽取了

300

份，进行了数据统计，具体情况如下表：

年龄 $＼$ 组别	$A$ 组统计结果		$B$ 组统计结果
年龄 $＼$ 组别	经常使用单车	偶尔使用单车	经常使用单车	偶尔使用单车
$[15 ， 25)$	$27$ 人	$13$ 人	$40$ 人	$20$ 人
$[25 ， 35)$	$23$ 人	$17$ 人	$35$ 人	$25$ 人
$[35 ， 45]$	$20$ 人	$20$ 人	$35$ 人	$25$ 人

(1)、先用分层抽样的方法从上述

300

人中按“年龄是否达到

35

岁”抽出一个容量为

60

人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到

35

岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.

$①$ 求这 $60$ 人中“年龄达到 $35$ 岁且偶尔使用单车”的人数；

$②$ 为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 $35$ 岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有 $3$ 份礼品赠送给其中 $3$ 人，每人 $1$ 份 $($ 其余人员仅赠送骑行优惠券 $) .$ 已知参加座谈会的人员中有且只有 $4$ 人来自 $A$ 组，求 $A$ 组这 $4$ 人中得到礼品的人数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、根据已有数据，完成下列2×2列联表(单位：人)，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为“经常使用共享单车与年龄（35岁）有关”？

	经常使用单车	偶尔使用单车	合计
未达到35岁
达到35岁
合计

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ，$ 其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (χ^{2} \geq χ_{α})$	0.050	0.010	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	10.828

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