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相关试卷

1、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D ⊥$ 平面ABCD，点E为SC中点， $S D = A D$ ，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知正六边形ABCDEF的边长为1，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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3、下列各组数据中方差最大的一组是（）

A、5，5，5，5，5 B、4，4，5，6，6 C、3，4，5，6，7 D、2，2，5，8，8

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4、已知a，b为空间中不重合的直线， $α, β, γ$ 为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b, b \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ B、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ γ, b ⊥ γ$ ，则 $a / / b$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (λ, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $λ$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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6、若复数 $z = i (2 - i)$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、-i D、2i

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7、已知圆 $C_{1}$ 圆心为原点，且与直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 相切，直线l过点 $M (1, 2)$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若直线l被圆 $C_{1}$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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8、已知椭圆 $E : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $E$ 过点 $(1, 0)$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，证明： $| D M |^{2} + | D N |^{2}$ 为定值．

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9、如图所示， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A E F B$ 为矩形， $B C$ $∥$ $A D, B A ⊥ A D, A E = A D = 2 A B = 2 B C = 4$ .

(1)、求证： $C F$ $∥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $C D F$ 与平面 $A E F B$ 所成角的正弦值.

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10、数据 $(x_{i}, y_{i})$ $(i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成一个样本，其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{x} - 3$ ，其中 $\bar{x} = 8.2$ ，剔除一个异常点 $(1, 7)$ 后，得到新的回归直线必过点．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} + a_{n} = f (n)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $a_{1} = 2$ ， $f (n) = 4 n + 2$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $a_{1} = 1$ ， $f (n) = 2 n - 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 C、若 $a_{1} = 1$ ， $f (n) = 4$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 D、若 $a_{1} = 2$ ， $f (n) = 3 \cdot 2^{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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12、已知随机变量 $X ~ B (n, \frac{2}{3}), Y ~ N (4, σ^{2})$ ，且 $P (- 1 \leq Y \leq 4) + P (Y > n) = 0.5$ ，则 $E (X) =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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13、某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有 $95 %$ 的把握但没有 $99 %$ 的把握认为高血压与高盐饮食有关，则 $χ^{2}$ 的观测值不可能为（）
附： $P (χ^{2} \geq 3.841) = 0.05, P (χ^{2} \geq 6.635) = 0.01, P (χ^{2} \geq 7.879) = 0.005$ .

A、3.622 B、4.502 C、5.921 D、6.634

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{7} = 12$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、30 B、40 C、60 D、120

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15、抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, - 2)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(2, 0)$

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $A$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）若 $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $P F_{1}$ 与圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 交于点 $B$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上方.是否存在点 $P$ ，使得 $△ P B F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积之比为3：5？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，说明理由.

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17、2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3

(1)、若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到红色外观的模型，事件 $B$ 为小明取到棕色内饰的模型，求 $P (B)$ 和 $P (B |A)$ ，并判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立.

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望.

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18、深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价 $x$ （单位：元）与销量 $y$ （单位：百件）的对应数据，如下表所示：
$x$
12
12.5
13
13.5
14
$y$
14
13
11
9
8

(1)、求该纪念品定价的平均值 $\bar{x}$ 和销量的平均值 $\bar{y}$ .

(2)、计算 $x$ 与 $y$ 的相关系数 $r$ ；判断能否用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，并说明理由.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 8$ ， $\sqrt{\frac{64}{65}} \approx 0.992$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .若 $|r| > 0.75$ ，则 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强.

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19、（1）解方程： $C_{9}^{x} = C_{9}^{2 x - 3}$ （ $x \in N$ ）.
（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？

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20、某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有种排法（数字作答）

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3

$x$	12	12.5	13	13.5	14
$y$	14	13	11	9	8