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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} (x + b) e^{x}$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $b > - 3$ B、 $b > 0$ C、 $b < - 3$ D、 $b < 0$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项及公差都不为0的等差数列，若 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则“ $a_{1}, a_{2,} a_{5}$ 成等比数列”是“ $\{\frac{S_{n}}{n^{2}}\}$ 为常数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知 $\frac{sin (α + β)}{sin (α - β)} = 2, cos α sin β = \frac{1}{6}$ ，则 $sin α cos β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4、如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在 $0, 1, 2$ 中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（）

A、172 B、204 C、352 D、364

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5、已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、通过抛掷骰子产生随机数列 $\{a_{n}\}$ ，具体产生方式为：若第 $k (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ 次抛掷得到的点数 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，则 $a_{k} = i$ .记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，记 $S_{n}$ 除以4的余数为 $X_{n}$

(1)、若 $n = 2$ ，求 $P (S_{2} = 4)$ 和 $P (X_{2} = 0)$

(2)、甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人（裁判）投一个骰子2次，若 $X_{2}$ 为0则甲在本局胜出，若 $X_{2}$ 为1则乙在本局胜出，若 $X_{2}$ 为2则丙在本局胜出，若 $X_{2}$ 为3则丁在本局胜出，比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛.比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因.

(3)、若 $n = 20$ ，设 ${(x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})}^{20} = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{120} x^{120}$ ，试确定该展开式中各项系数与事件 $S_{20} = j (j \in N_{+} ， j \leq 120)$ 的联系，并求 $X_{20} = 0$ 的概率.

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7、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$

(1)、令 $h (x) = f^{'} (x), h (x) \leq (e^{x} + \frac{1}{2}) \cdot x$ 对 $\forall x \in [- \frac{3}{2}, 0]$ 恒成立，求 $a$ 的最大值.

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $a$ 的范围，并证明： $x_{1} + x_{2} < 2 \ln \frac{1}{a}$

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2, (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 $\{d_{n}\}$ 中是否存在3项 $d_{m}, d_{k}, d_{p}$ （其中 $m, k, p$ 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由.

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9、为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
平均每天户外体育锻炼的时间（分钟）
$[0, 10)$
$[10, 20)$
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
总人数
10
18
22
25
20
5
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在 $[0, 40)$ 分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在 $[40, 60]$ 分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．

(1)、请根据上述表格中的统计数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？
户外体育锻炼不达标
户外体育缎练达标
合计
男
女
10
55
合计

(2)、从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

(3)、将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：（ $χ^{2}$ 独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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10、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0), F_{1}, F_{2}$ 为该椭圆的左、右两个焦点， $P$ 为该椭圆上的动点，椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}, △ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆的方程.

(2)、已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点， $M (1, 0)$ ，在直线 $x = 2$ 上是否存在一点 $N$ ，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点 $N$ 的坐标，若不存在，说明理由.

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11、在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 内部的概率为.

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12、已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极大值，则 $f (x)$ 的单增区间为.

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13、已知直线 $y = - x + 2$ 分别与函数 $y = e^{x}$ 和 $y = \ln x$ 的图象交于点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} < 2$ C、 $\frac{\ln x_{1}}{x_{1}} + x_{2} \ln x_{2} < 0$ D、 $\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3}} < x_{1} x_{2} < \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}}$

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14、设 $0 < p < 1$ ，已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表，则下列结论正确的是（）
$ξ$
0
1
2
P
$p - p^{2}$
$p^{2}$
$1 - p$

A、 $P (ξ = 0) < P (ξ = 2)$ B、 $P (ξ = 2)$ 的值最大 C、 $E (ξ)$ 随着p的增大而增大 D、当 $p = \frac{1}{2}$ 时， $D (ξ) = \frac{11}{16}$

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15、则下列说法正确的是（）

A、用0，1，2，3，4可组成没有重复数字的3位偶数有30个. B、若二项展开式 ${(2 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{5} x^{5}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} (i a_{i}) = 405$ C、样本相关系数 $r$ 为正数，越接近于1，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强 D、用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好

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16、已知函数 $g (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ ，当 $m \leq 2$ 时，则（）

A、 $g (x)$ 有两个极值点 B、 $g (x)$ 有极大值 C、 $g (x)$ 可以是负数 D、 $g (x)$ 一定是正数

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17、某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是 $\frac{2}{3}$ ，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为 $\frac{3}{5}$ ；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为 $\frac{2}{3}$ ．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（）

A、 $\frac{9}{29}$ B、 $\frac{12}{29}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{2}{5}$

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18、小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析， $X_{1} ~ N (60, 10^{2}), X_{2} ~ N (40, 10^{2})$ ， $X_{3} ~ N (40, 15^{2}), X_{4} ~ N (30, 40^{2})$ ，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（）
$P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

A、步行 B、骑自行车 C、乘坐公汽 D、自己开车

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19、 $(x + 2 y) {(x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为（）

A、5 B、-5 C、15 D、-15

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20、设曲线 $y = \ln (a x), (a > 0)$ 在 $x = a$ 处的切线与 $x + 2 y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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平均每天户外体育锻炼的时间（分钟）	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
总人数	10	18	22	25	20	5

	户外体育锻炼不达标	户外体育缎练达标	合计
男
女		10	55
合计

$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$ξ$	0	1	2
P	$p - p^{2}$	$p^{2}$	$1 - p$