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相关试卷

1、设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线 $A A_{1}$ 的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + π$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} + π$

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2、小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）

A、840mm，594mm B、840mm，588mm C、594mm，420mm D、588mm，420mm

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3、设平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线， $k, s \in R$ ，则“ $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $s \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线”是“ $s k = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、设 $F (c, 0)$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点．已知 $a, b, c$ 成等差数列，那么双曲线 $E$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5、设圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 5 = 0$ 的圆心为 $M$ ，直线 $y = - x + t$ 与该圆相交于两点 $A, B$ ．若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 4$ ，则实数 $t =$ （）

A、1 B、3或1 C、3 D、3或 $- 1$

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6、若 ${(x^{2} + 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{4} + a_{3} x^{6} + a_{4} x^{8}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} =$ （）

A、0 B、1 C、4 D、8

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7、设 $a = lg 2, b = lg 3$ ，则 $lg 15 =$ （）

A、 $(1 - a) b$ B、 $1 - a + b$ C、 $(1 + a) b$ D、 $1 + a - b$

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8、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x = 0\}$ ，集合 $B = \{x |x + 1 > 0\}$ ，那么（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \subseteq B$ C、 $B \subseteq A$ D、 $(∁_{R} A) \cap B \neq \emptyset$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x|, x \in P \\ - x^{2} + 2 x, x \in M \end{array}$ ，其中 $P$ ， $M$ 是非空数集且 $P \cap M = \emptyset$ .设 $f (P) = \{y |y = f (x), x \in P\}$ ， $f (M) = \{y |y = f (x), x \in M\}$ .
（1）若 $P = (- \infty, 0)$ ， $M = [0 ， 4]$ ，求 $f (P) \cup f (M)$ ；
（2）是否存在实数 $a > - 3$ ，使得 $P \cup M = [- 3, a]$ ，且 $f (P) \cup f (M) = [- 3 ， 2 a - 3]$ ？若存在，求出所有满足条件的 $a$ ；若不存在，说明理由；
（3）若 $P \cup M = R$ 且 $0 \in M$ ， $1 \in P$ ， $f (x)$ 单调递增，求集合 $P$ ， $M$ .

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10、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $\{a_{n}\}$ 的公比为2，若 $3 a_{3} + 4 = a_{5}$ ，则 $\frac{S_{6}}{a_{3}} =$ ．

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11、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 $X$ 的所有可能取值为1，2，…， $n (n \in N^{*})$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .

(1)、证明：当且仅当 $n = 1$ 时， $H (X) = 0$ ；

(2)、若 $n = 3$ ，且 $p_{k + 1} - p_{k} = p_{1} (k = 1, 2)$ ，比较 $H (X)$ 与1的大小；

(3)、重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为 $X$ ，求 $H (X)$ .

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12、为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄
次数
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
每周0～2次
70
55
36
59
每周3～4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10

(1)、若把年龄在 $[20, 40)$ 的锻炼者称为青年，年龄在 $[40, 60]$ 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；

(2)、从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 $[30, 40)$ 与 $[50, 60]$ 的人数分别为 $X, Y, ξ = |X - Y|$ ，求 $ξ$ 的分布列与期望；

(3)、已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
附：
$α$
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．

(1)、求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；

(2)、求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．

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14、 $A$ 、 $B$ 为 $y = 1 - x^{2}$ 上在 $y$ 轴两侧的点，过 $A$ 、 $B$ 的切线与 $x$ 轴围成面积的最小值为.

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15、已知随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = \frac{1}{2}$ ， $P (ξ > 3) = \frac{5}{6}$ ， $P (3 < ξ \leq 5) =$ .

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16、某同学用收集到的6组数据对 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线 $l_{1}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，样本相关系数为 $r_{1}$ ，决定系数为 $R_{1}^{2}$ ，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线 $l_{2}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，样本相关系数为 $r_{2}$ ，决定系数为 $R_{2}^{2}$ ，（其中决定系数 $R^{2}$ 是样本相关系数 $r$ 的平方，即 $R^{2} = r^{2}$ ，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（）

A、 ${\hat{b}}_{1} > 0$ B、 ${\hat{b}}_{2} < 0$ C、直线 $l_{1}$ 恰好过点C D、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$

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17、小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使 $P (X = 6)$ 最大的N值估计N的取值并计算 $E (X)$ .（若有多个N使 $P (X = 6)$ 最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（）

A、 $E (X) > 6$ B、 $E (X) < 6$ C、 $E (X) = 6$ D、 $E (X)$ 与6的大小无法确定

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18、已知点 $P$ 在曲线 $y = 2 x^{2} - \ln x$ 上，点 $Q$ 在 $y = 3 x - 4$ 直线上，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $d = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $d = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $d = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $d = \frac{\sqrt{13}}{13}$

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19、设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 与 $\frac{2}{3}$ ，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{10}{27}$ D、 $\frac{20}{27}$

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20、在 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中存在常数项，则正整数 $n$ 可以是

A、2017 B、2018 C、2019 D、2020

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年龄次数	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
每周0～2次	70	55	36	59
每周3～4次	25	40	44	31
每周5次及以上	5	5	20	10

$α$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828