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相关试卷

1、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，其右顶点为 $A_{1}$ ，上顶点为 $B_{1}, O$ 为坐标原点，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、设 $C_{1}$ 在点 $M$ 处的切线 $l$ ，其斜率为 $k_{1}, O M$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、过 $C_{1}$ 在第一象限的点 $P_{1}$ 作椭圆 $C_{1}$ 的切线，分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A_{2}, B_{2}$ ，且 $P_{1}$ 为线段 $A_{2} B_{2}$ 的中点，记以点 $O$ 为中心， $x$ 轴， $y$ 轴为对称轴，且过点 $A_{2}, B_{2}$ 的椭圆为 $C_{2}$ ，依此类推， $\dots$ ，过椭圆 $C_{n}$ 在第一象限的点 $P_{n}$ 作椭圆 $C_{n}$ 的切线，分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A_{n + 1}, B_{n + 1}$ ，且 $P_{n}$ 为线段 $A_{n + 1} B_{n + 1}$ 的中点，记以点 $O$ 为中心， $x$ 轴， $y$ 轴为对称轴，且过点 $A_{n + 1}, B_{n + 1}$ 的椭圆为 $C_{n + 1}$ ，由此得到一系列椭圆 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \dots, C_{n}, C_{n + 1}$ .
（i）求 $C_{n}$ 的方程；
（ii）过点 $(1, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C_{k}$ 分别交于 $Q_{k}, R_{k}$ ，求证： $\begin{array}{r} \frac{{|Q_{1} R_{1}|}^{2}}{{|Q_{2} R_{2}|}^{2}} + \frac{{|Q_{2} R_{2}|}^{2}}{{|Q_{3} R_{3}|}^{2}} + \dots + \frac{{|Q_{n} R_{n}|}^{2}}{{|Q_{n + 1} R_{n + 1}|}^{2}} > \frac{n - 1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}} \end{array}$ .
（附：若 $T (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点，则椭圆在点 $T$ 处的切线方程为： $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ）

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2、已知函数 $f (x) = \frac{a}{x + 1}$ 和 $g (x) = \frac{x + b}{2 x}$ 的图象在 $x = 1$ 处有相同的切线.

(1)、求实数 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、求函数 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的极值；

(3)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) < \frac{m ln x}{x - 1} < g (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值集合.

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3、在某游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器.该游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：
①每次祈愿获取五星角色的概率 $p_{0} = 0.006$ ；
②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；
③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立.
设随机变量 $X$ 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.

(1)、求 $P (X = k)$ 的解析式；

(2)、求 $X$ 的数学期望 $E X$ .
参考数据： ${0.994}^{90} \approx 0.592$

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4、如图四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, △ A C D$ 是边长为2的等边三角形，且 $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $\vec{C M} = \frac{1}{4} \vec{C P}$ ，求直线 $M B$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $- a cos A$ 是 $b cos C$ 与 $c cos B$ 的等差中项.

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图所示， $D$ 为平面上一点，与 $△ A B C$ 构成一个四边形 $A B D C$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ，若 $c = b = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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6、已知 $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面， $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.如果 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{m\}$ ，则符合条件的 $α$ 有个， $m$ 的所有可能取值构成的集合是.

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7、已知函数 $f (x) = - x^{3} + m x^{2} (m > 0), x \in [1, + \infty)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n), n \in N_{+}$ ，给出下列两个条件：①函数 $f (x)$ 是递减函数；②数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数 $f (x)$ 的解析式： $f (x) =$ .

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8、已知公式 $e^{i x} = cos x + isin x$ ，其中 $i$ 是虚数单位，根据此公式计算 $i \cdot e^{- \frac{π}{4} i}$ 的虚部是.

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9、已知点 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 的焦点，直线 $l$ 经过点 $F$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，与准线交于点 $D$ ，且 $B$ 为 $A D$ 中点，则下面说法正确的是（）

A、 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ B、直线 $l$ 的斜率是 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $|A B| = 9$ D、设原点为 $O$ ，则 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{26}{3}$

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10、下列命题正确的是（）

A、已知 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(3, - 4)$ 的残差为 $- 2.2$ B、数据 $4, 6, 7, 7, 8, 9, 14, 11, 15, 19$ 的 $75 %$ 分位数为11 C、已知随机变量 $X \sim B (7, 0.5), P (X = k)$ 最大，则 $k$ 的取值为3或4 D、对于随机事件 $A$ 与 $B, P (A) > 0, P (B) > 0$ ，若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

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11、设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝ $\{\begin{array}{l} a, a ⩽ b \\ b, a > b \end{array}$ ；a⊕b＝ $\{\begin{array}{l} b, a ⩽ b \\ a, a > b \end{array}$ ，若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则（）

A、mn≥4且p＋q≤4 B、m＋n≥4且pq≤4 C、mn≤4且p＋q≥4 D、m＋n≤4且pq≤4

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12、已知函数 $f (x) = sin ω x + a cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，且函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 为奇函数，则当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = f (x) - cos x$ 的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{c} = (m, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{c})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、3 C、4 D、7

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角是 $\frac{π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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15、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}, B = \{x |\frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > 0\}$ D、 $\{x ∣ x > 1\}$

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16、我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : \sqrt{7} : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足关系 $A + C = 2 B$ B、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、若 $∠ B$ 的角平分线与 $A C$ 交于D，则 $B D$ 的长为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ D、若O为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C}) = 26$

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17、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 8$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in [0, 2], f (x) \geq - 12$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知 $i$ 为虚数单位， $z_{1} 、 z_{2}$ 是实系数一元二次方程的两个虚根.

(1)、设 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足方程 $4 z_{1} + (1 - i) z_{2} = 9 - 5 i$ ，求 $z_{1} 、 z_{2}$ ；

(2)、设 $z_{1} = 1 + 2 i$ ，复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 所对的向量分别是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，若向量 $t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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19、某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以 $[160, 180)$ ， $[180, 200)$ ， $[200, 220)$ ， $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中
$x$ 的值；

(2)、求理科综合分数的中位数；

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20、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域为A，若集合A为有限集，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，存在 $x_{3} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则满足条件的集合A的个数为．

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