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相关试卷

1、 $i$ 是虚数单位，则 $|1 + i| =$ ．

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2、已知 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是 $2 : 5$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式的常数项；

(3)、求展开式中系数绝对值最大的项.

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3、某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有种（用数字作答）

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4、函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x + a}$ ，若 $f^{'} (1) = \frac{1}{3}$ ，则 $a =$ .

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5、若函数 $f (x)$ 在定义域内给定区间 $[a, b]$ 上存在 $x_{0} (a \leq x_{0} \leq b)$ ，使得 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的平均值点．若函数 $y = \frac{x^{2}}{e^{x}} - m$ 在 $x \in [0, 3]$ 上有两个不同的平均值点，则 $m$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{5}{e^{3}}$ B、 $\frac{7}{e^{3}}$ C、 $\frac{9}{e^{3}}$ D、 $\frac{11}{e^{3}}$

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6、目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限 $ξ$ （单位：年）服从正态分布， $P (ξ > 10) = 0.8$ ， $P (ξ < 30) = 0.8$ ，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7、今天是星期四，经过 $8^{100}$ 天后是星期（）

A、三 B、四 C、五 D、六

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8、函数 $f (x) = 2 x^{2} - a \ln x + 7$ 的单调递减区间是 $(0, 2)$ ，则 $a =$ （）

A、 $16$ B、 $6$ C、 $4$ D、 $2$

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9、下列说法正确的是（）

A、数据 $8, 6, 4, 11, 3, 7, 9, 10$ 的上四分位数为9 B、若 $0 < P (C) < 1$ ， $0 < P (D) < 1$ ，且 $P (\bar{D}) = 1 - P (D |C)$ ，则 $C, D$ 相互独立 C、根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.4 x + a$ ，若其中一个散点坐标为 $(- a, 5.4)$ ，则 $a = 9$ D、将两个具有相关关系的变量 $x, y$ 的一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ 调整为 $(x_{1}, y_{1} + 3)$ ， $(x_{2}, y_{2} + 3)$ ， …， $(x_{n}, y_{n} + 3)$ ，决定系数 $R^{2}$ 不变
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ）

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10、为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为 $y$ 米，宽为 $x$ 米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为 $(4 x + y + 5)$ 米，宽为1米的矩形的面积.

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数；

(2)、若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？

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11、 $\sin 1215 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、设 $A$ 是直线 $P Q$ 外一点，点 $M$ 在直线 $P Q$ 上（点 $M$ 与点 $P$ 、 $Q$ 任一点均不重合），我们称如下操作为“由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点 $M$ 在线段 $P Q$ 上，记 $(P, Q; M) = \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ ；若点 $M$ 在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = - \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ $.$ 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上.

(1)、若 $D$ 是 $B C$ 的中点，由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算，求 $(B, C; D)$ 的值；

(2)、若 $A = 60^{\circ}$ ， $a = 4$ ， $A B ⊥ A D$ ，由 $A$ 点对 $B C$ 施以视角运算， $(B, C; D) = - 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $A = 120^{\circ}$ ， $A D = 4$ $，$ 由 $A$ 点对 $B C$ 施以视角运算， $(B, C; D) = \frac{c}{b}$ $，$ 求 $b + 4 c$ 的最小值.

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $\frac{3 b sin C}{sin B + sin C - sin A}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{21}$ ， $b = 4$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，且交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $A D$ ．

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14、已知过球面上 $A, B, C$ 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $A B = B C = 1, A C = \sqrt{3}$ ，则球的体积是.

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15、已知复数 $z = i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2025}$ ，则 $\bar{z} =$ ．

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (t + 2, 3 - t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ .

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17、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 为锐角，则 $b^{2} + c^{2} > a^{2}$ B、若 $A$ 为锐角，则 $b^{2} + c^{2} < a^{2}$ C、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$

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18、（多选题）下列四个命题中，真命题是（）

A、若 $a, b$ 是两条直线， $α, β$ 是两个平面，且 $a \subset α, b \subset β$ ，则 $a, b$ 是异面直线. B、两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. C、若直线 $m, n$ 相交， $α$ 是平面且 $m / / α$ ，则直线 $n$ 不在平面 $α$ 内. D、若 $α$ 是平面，直线 $l_{1} \subset α$ ，直线 $l_{2} / / α$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ .

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19、若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知 $z = \frac{a}{1 - 2 i} + b i$ （ $a$ ， $b \in R$ ）为“理想复数”，则

A、 $a - 5 b = 0$ B、 $3 a - 5 b = 0$ C、 $3 a + 5 b = 0$ D、 $a + 5 b = 0$

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20、已知 $△ A B C$ ，内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是 $a, b, c, a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}, B = 60 °$ ，则 $A$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ 或 $135 °$ D、 $30 °$ 或 $150 °$

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