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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 与椭圆C有且仅有两个公共点．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得 $\vec{R P} \cdot \vec{R Q}$ 为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $a x - b y + a - b = 0$ ，求a，b；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围.

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3、随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表：
回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．

(1)、测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；

(2)、现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{°}, A B = A C = 2, A A_{1} = 4$ ，点 $A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

(2)、求二面角 $C - A_{1} B - B_{1}$ 的正弦值.

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5、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边，且 $3 a cos C + c = 3 b$ ．

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $a = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，证明： $△ A B C$ 是等腰三角形．

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6、已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为．

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7、“新高考”后，普通高考考试科目实行“ $3 + 1 + 2$ ”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（）

A、B与C相互独立 B、 $P (A ∣ D) = \frac{3}{5}$ C、 $P (B ∣ D) = \frac{1}{5}$ D、 $P (B + D) = \frac{11}{12}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 3^{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 7$ B、 $\{S_{n}\}$ 是递增数列 C、 $\{a_{n} + 3^{n}\}$ 是等差数列 D、 $a_{10} = 2^{20} - 3^{10}$

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9、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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10、某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（）

A、960种 B、836种 C、816种 D、720种

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11、内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（）

A、3h B、4h C、5h D、6h

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12、已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 $\{a_{n}\}$ ，且 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、910 B、900 C、890 D、880

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13、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{6}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{5} x$ B、 $y = \pm \sqrt{6} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{6} x$

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14、已知复数 $z$ 的模为 $\sqrt{10}$ ，实部为 $2$ ，则 $z =$ （）

A、 $\sqrt{6} + 2 i$ B、 $\sqrt{6} \pm 2 i$ C、 $2 + \sqrt{6} i$ D、 $2 \pm \sqrt{6} i$

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3, \vec{b} = (\sqrt{3}, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3 \sqrt{3}}{4}, - \frac{9}{4})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\sqrt{3}, 3)$

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, A B = B C = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ， $P, Q$ 分别为 $A C, A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1}$ ∥平面 $P B C_{1}$ ；

(2)、设平面 $P B C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的交线为 $l$ ，求二面角 $P - l - A$ 的正切值；

(3)、在线段 $C Q$ 上是否存在点 $M$ ，使直线 $A M$ 与平面 $B_{1} C Q$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $C M$ 的长度；若不存在，说明理由.

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17、甲､乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛；规则如下：对抗赛分为若干局；每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束.假定甲代表队每局比赛获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ；且各局比赛结果互不影响.

(1)、求经过3局比赛，对抗赛结束的概率；

(2)、求甲代表队赢得对抗赛的概率.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B ⊥ P A, C D ⊥ P D$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $D C = 2 A B, E, F$ 分别为 $B D, P D$ 的中点，求证：平面 $P B C$ $/ /$ 平面 $A E F$ .

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19、每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本数据的平均值 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(3)、已知落在 $[40, 60)$ 样本数据的平均值是53，方差是4；落在 $[60, 80)$ 样本数据的平均值是68，方差是9.求落在 $[40, 80)$ 样本数据的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ .

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20、抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字 $1, 2, 3, 4$ 的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为 $x$ ，黄色骰子与地面接触的面上的数字为 $y$ ，

(1)、求“ $x y$ 为偶数”的概率；

(2)、求“ $|x - y| \leq 1$ ”的概率.

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问题中没有语法错误	500	100