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相关试卷

1、下列命题中说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (n, p)$ ，若 $D (X) = 20, E (X) = 30$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ \leq 0) = \frac{1}{2} - p$ D、某人在9次射击中，击中目标的次数为X，且X~B $(9, 0.8)$ ，则他最有可能命中7或8次

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2、甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．若前两局中乙队以2：0领先，则（）

A、甲队获胜的概率为 $\frac{8}{27}$ B、乙队以3：0获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ C、乙队以3：1获胜的概率为 $\frac{1}{9}$ D、乙队以3：2获胜的概率为 $\frac{4}{9}$

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3、在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得 $∠ B E F = 15^{°}$ ，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得 $∠ F M N = 15^{°}$ 依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第 $n$ 个正方形的边长为 $a_{n}$ （其中第1个正方形的边长为 $a_{1} = A B$ ，第2个正方形的边长为 $a_{2} = E F, \dots \dots$ )，第 $n$ 个直角三角形（阴影部分）的面积为 $S_{n}$ (其中第1个直角三角形AEH的面积为 $S_{1}$ ，第2个直角三角形EQM的面积为 $S_{2}, \dots \dots$ ， )则下列结论错误的是（）

A、 $a_{2} = \sqrt{6}$ B、 $S_{1} = \frac{3}{4}$ C、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 取值范围是 $[9, 27)$ D、数列 $\{S_{n}\}$ 是公比为 $\frac{3}{4}$ 的等比数列

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4、函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\ln (x^{2} + 1)}$ 的大致图像是（）．

A、 B、 C、 D、

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5、已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
$- 1$
0
1
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$
设 $Y = 2 X + 1$ ，则 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6、 ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2} y^{3}$ 的系数为（）

A、 $- 10$ B、10 C、 $- 40$ D、40

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7、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = \frac{16}{3}$ 时，如果函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = k$ 有三个交点，求实数k的取值范围

(2)、当 $a = 4$ 时，试比较 $f (x)$ 与2的大小．

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8、图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A P = A B, E$ 为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；

(2)、求平面 $P A E$ 与平面 $P B C$ 所成二面角的余弦值.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 6 x + 2$ 在 $x = 2$ 处取得极值．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 4, 3]$ 上的最小值和最大值．

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10、为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{5}{6}$ ， $\frac{2}{3}$ ，且三个项目是否成功相互独立．

(1)、求恰有两个项目成功的概率；

(2)、求至少有一个项目成功的概率．

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11、若关于x的不等式 $a x e^{x} - x - \ln x \geq 0$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数a的最小值是．

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12、若函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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13、下列说法正确的是（）

A、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} < sin x_{1} - sin x_{2}$ B、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} > sin x_{1} - sin x_{2}$ C、若 $e < x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} ln x_{1} < x_{1} ln x_{2}$ D、若 $e < x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} ln x_{1} > x_{1} ln x_{2}$

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14、如图是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $y = f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值

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15、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - \ln x$ 在区间 $(\frac{1}{3}, 2)$ 内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）

A、 $(9, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 9)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4})$

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16、如图，已知 $A B$ 是圆柱下底面圆的直径，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A, B$ 的动点， $C D$ ， $B E$ 是圆柱的两条母线．

(1)、求证： $A C D ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 3$ ，圆柱的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，求平面 $A D E$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值．

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17、已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $|P O| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明）；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数m的取值范围．

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19、如图，在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ D C$ ， $A D = D C = 2$ ， $A B = 4$ ，现将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折成直二面角 $P - A C - B$ .

(1)、证明： $C B ⊥$ 面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{1} = 10$ ，公差 $d > 0$ ，且22， $a_{3} + 8$ ， $a_{4} + 6$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2^{n}$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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$X$	$- 1$	0	1
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$