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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $P A = 1$ 且 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，点 $N$ 为棱 $P C$ 上一动点，且 $C N = λ C P (0 < λ < 1)$ .若直线 $M N$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，则 $λ$ 的值为.在 $A, M, B, P, N, C 6$ 个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为.

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2、若某正四棱台的上､下底面的边长分别为2和4，侧棱长为 $3 \sqrt{2}$ ，则其体积为.

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3、已知数据 $- 1, 2, 4, x, 7, 8$ 的众数为4，则其标准差为.

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4、已知 $D, E, F$ 是边长为2的等边三角形 $A B C$ 相应边的中点，分别沿着 $D E, E F, D F$ 把 $△ B D E, △ C E F, △ A D F$ 向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面 $D E F$ 垂直，再顺次连接 $A, B, C$ ，得到多面体 $A B C - D E F$ ，则（）

A、多面体中直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ B、多面体中直线 $B E$ 与平面 $A D F$ 所成的角为 $60^{\circ}$ C、多面体的体积为 $\frac{9}{32}$ D、多面体外接球的表面积为 $\frac{5 π}{3}$

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5、已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 满足 $x_{i + 1} = x_{i} + 2 (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则去掉 $x_{3}$ 后的新数据与原数据相比（）

A、平均数不变 B、中位数不变 C、方差不变 D、极差不变

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6、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的有（）

A、若 $m$ $//$ $n, m$ $//$ $β$ ，则 $n$ $//$ $β$ B、若 $α$ $//$ $β, m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $m$ $//$ $n$ C、若 $m ⊥ n, m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m$ $//$ $β, n$ $//$ $β, m \subset α, n \subset α$ ，则 $α$ $//$ $β$

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7、先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（）

A、甲与乙互斥 B、乙与丙互斥 C、甲与乙独立 D、乙与丙独立

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8、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法得到的水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} C^{'} = O^{'} A^{'} = 2 O^{'} B^{'} = 1$ .以 $B C$ 为轴，将 $△ A B C$ 旋转一周得到的几何体的表面积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $(2 + 2 \sqrt{2}) π$ C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $(2 + 4 \sqrt{2}) π$

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9、若 $a, b$ 是异面直线，则下列结论一定正确的是（）

A、存在与 $a, b$ 都平行的直线 B、存在与 $a, b$ 都垂直的平面 C、存在过 $a$ 且与 $b$ 垂直的平面 D、存在过 $a$ 且与 $b$ 平行的平面

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10、袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球､3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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12、某公司 $A, B, C$ 三个部门的员工数量之比为 $a : 3 : 4$ ，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从 $B$ 部门抽取员工6名，则从 $A$ 部门抽取员工的数量为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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13、给定一组数据： $10, 12, 15, 16, 18, 20, 21$ ，则其 $75 %$ 分位数为（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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14、已知事件A与事件 $B$ 互为对立事件，且 $P (A) = 0.4$ ，则 $P (B) =$ （）

A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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15、如图，已知多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C, ∠ A B C = 120 °, A_{1} A = 4, C_{1} C = 1, A B = B C = B_{1} B = 2$ ．
（Ⅰ）求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（Ⅱ）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成角的正弦值．

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16、用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{|f^{″} (x)|}{{(1 + {[f^{'} (x)]}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

(1)、求曲线 $f (x) = \ln x$ 在 $(1, 0)$ 的曲率；

(2)、已知函数 $g (x) = \cos x + 1$ $(x \in R)$ ，求 $g (x)$ 曲率的平方的最大值；

(3)、函数 $h (x) = (x - 2) e^{x} + (\frac{3 + m}{2} - \frac{x}{3} - \ln x) x^{2}$ ，若 $h (x)$ 在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.

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17、如图，在四面体ABCD中， $D A, D B, D C$ 两两垂直， $D A = D B = D C = 2, M$ 是线段AD的中点， $P$ 是线段BM的中点，点 $Q$ 在线段AC上，且 $A C = 4 Q C$ .

(1)、求证： $P Q //$ 平面BCD；

(2)、若点G在平面ABC内，且 $D G ⊥$ 平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，点 $P (t, 0)$ .

(1)、若 $t = 3$ ， $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、若点 $Q (x, y)$ 是双曲线 $C$ 上任意一点，当且仅当 $Q$ 为双曲线的顶点时， $| P Q |$ 取得最小值，求实数 $t$ 的取值范围．

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19、某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.2
0.5
0.3
球队胜率
0.5
0.6
0.8

(1)、当甲出场比赛时，求球队赢球的概率；

(2)、当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；

(3)、如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置?请说明安排理由.

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20、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ ，若 $b_{n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，抽去数列 $\{b_{n}\}$ 的第3项、第6项、第9项、 $\dots$ 、第 $3 n$ 项、 $\dots$ ，余下的项的顺序不变，构成一个新数列 $\{c_{n}\}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前100项的和为．

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场上位置	边锋	前卫	中场
出场率	0.2	0.5	0.3
球队胜率	0.5	0.6	0.8