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相关试卷

1、关于复数 $z$ 及其共轭复数 $\bar{z}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $| z |^{2} = z^{2}$ B、 $| z |^{2} = | \bar{z} |^{2}$ C、 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ D、 $z - \bar{z}$ 一定是纯虚数

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2、2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得 $∠ D A B = 45 °$ ， $∠ A B D = 60 °$ ， $A B = 63$ 米，在点A处测得碑顶C的仰角为30°，则纪念碑高CD约为（）（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

A、27米 B、33米 C、39米 D、40米

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3、将半径为2，圆心角为 $π$ 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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4、复数 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{9} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、 $- 1$ D、1

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5、已知 $\vec{e}$ 是单位向量， $|\vec{a}| = 6$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 方向上的投影向量是 $- 3 \vec{e}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6、某中学高一、高二、高三年级的学生分别为900人、950人、1000人，为了解不同年级学生身体素质情况，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了40人，则其他年级应该抽取的学生人数为（）

A、36 B、38 C、74 D、114

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7、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 a + c = 2 b \cos C$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $A C = 6 \sqrt{7}$ ，点D是线段AC上的一点，且 $∠ A B D = ∠ C B D$ ， $B D = 4$ ．求 $△ A B C$ 的周长．

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x + 1) = f (3 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称 B、 $f (x) = f (x + 4)$ C、当 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x)$ 的值域是 $[- 5, 0]$ D、当 $x \in [10, 12]$ 时， $f (x) = 2^{12 - x} - x + 11$

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9、如图，设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{O M} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序实数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O M}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标，记作 $\vec{O M} = (x, y)$ .在此坐标系 $O x y$ 中，若 $\vec{O A} = (3, 0), \vec{O B} = (0, 2), \vec{O P} = (3, 2)$ ， $E, F$ 分别是 $O B, B P$ 的中点， $A E, A F$ 分别与 $O P$ 交于 $R, T$ 两点.

(1)、求： $| \vec{O P} |$ ；

(2)、求 $\vec{O R}, \vec{O T}$ 的坐标；

(3)、若点M在线段 $A F$ 上运动，设 $\vec{O M} = (x, y)$ ，求 $x y$ 的最大值.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求 $P B$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值；

(3)、设平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ，求二面角 $B - l - C$ 的大小．

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11、 $B M I$ （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是： $B M I = \frac{体重 (单位 : kg)}{身高^{2} (单位 {: m}^{2})}$ ．中国成人的 $B M I$ 数值参考标准为： $B M I < 18.5$ 为偏瘦； $18.5 \leq B M I < 24$ 为正常； $24 \leq B M I < 28$ 为偏胖； $B M I \geq 28$ 为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的 $B M I$ 值，整理得到如下的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；

(2)、估计该公司员工的 $B M I$ 值的众数，中位数；

(3)、已知样本中60名男员工 $B M I$ 值的平均数为 $u_{1} = 22.4$ ，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工 $B M I$ 值的平均数 $μ_{2}$ ．

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12、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且满足 $\sqrt{3} b \cos A - a \sin B = 0$ .

(1)、求A；

(2)、若 $b = 2, S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求a.

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13、在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．

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14、已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为.

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15、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是．

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16、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $\cos A = - \frac{1}{4}, c = 3, \sin A = 2 \sin B$ ，则（）

A、 $b = 2$ B、 $\sin B = \frac{\sqrt{15}}{8}$ C、 $\sin A + \sin B = 2 \sin C$ D、 $S_{△ A B C} = \frac{3}{2} \sqrt{15}$

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17、已知 $\vec{a} = (\cos α, \sin α), \vec{b} = (\cos β, \sin β)$ ，则正确的选项是（）

A、 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都是单位向量 B、若 $α = β + π$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $α = β + \frac{π}{2}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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18、下列命题为真命题的是（）

A、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 为纯虚数，则 $a = 0, b \neq 0$ B、复数 $2 - i$ 在复平面内对应的点在第二象限 C、若i为虚数单位，n为正整数，则 $i^{4 n + 3} = i$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}| = 1$ ，则 $|z_{1} - z_{2}|$ 的最大值是2

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19、如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（）

A、 $1 : 3$ B、 $1 : 4$ C、 $1 : 5$ D、 $1 : 6$

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20、在半径为r的 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为2，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、与r有关

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