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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， $\cos 2 B + \cos 2 C - \cos 2 A = 1 - \sin B \sin C$ .

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ；
（i）若 $θ = 45 °$ ，求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 S$ ；
（ii）若 $b = c$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，求 $P A$ 的值.

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2、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = A B = 1$ ， $D B = D C = \sqrt{2}$ .把 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，使得二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $θ$ ， M，N分别是 $B D$ 和 $B C$ 中点.

(1)、求证：平面 $B C D ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、若 $θ = 60 °$ ，求点 $M$ 到平面 $A N D$ 的距离；

(3)、若二面角 $A - N D - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{19}}{19}$ ，求 $\cos θ$ .

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3、已知 $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，D是 $A C$ 上靠近A的三等分点，点E在边 $B C$ 上.

(1)、用 $\vec{B A}$ 、 $\vec{B C}$ 表示 $\vec{B D}$ ；

(2)、若 $B E = 4$ ，求 $\vec{A E} \cdot \vec{A B}$ 的值；

(3)、设 $A E$ 与 $B D$ 交于点 $P$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{B C}$ ，求 $|\vec{A P}|$ .

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x$ .

(1)、当 $x \in [0, π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 $f (A) = 2$ ， $a = 4$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = A B = 4$ ， D是 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C_{1} ∥$ 平面 $B_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值.

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6、如图，P为 $△ A B C$ 的内心， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{5}$ ， $△ B P C$ 、 $△ A P C$ 、 $△ A P B$ 的面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ 、 $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{P A} + S_{B} \cdot \vec{P B} + S_{C} \cdot \vec{P C} = \vec{0}$ .若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y$ 的最大值为.

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7、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M，N分别为棱 $B B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交 $B_{1} C_{1}$ 于E点，且 $B_{1} E = 2$ ，则 $B_{1} C_{1} =$ .

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8、在复数范围内，方程 $4 x^{2} + 9 = 0$ 的解 $x =$ .

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9、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为底面 $A B C D$ 内一动点，则下列说法正确的是（）

A、当P为正方形 $A B C D$ 的中心时，三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 外接球的表面积为 $11 π$ B、当P在线段 $B D$ 上时， $|A P| + |P B_{1}|$ 的最小值为4 C、满足直线 $P C_{1}$ 与上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角为60°的点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、当P为 $C D$ 中点时，过A，P， $C_{1}$ 三点作正方体的截面Ω，Q为截面Ω上一点，则线段 $B Q$ 长度的取值范围为 $[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 2 \sqrt{2}]$

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = \frac{π}{2}$ B、若函数 $y = f (a x) (a > 0)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增，则 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{2}{3}$ ，则 $\cos [\frac{π}{4} (x_{2} - x_{1})] = \frac{1}{3}$

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11、若 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $2 \vec{a}$

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12、任意复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 可以写成 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中r是复数z的模， $θ$ 是复数z的辐角（以x轴的非负半轴为始边，向量 $\vec{O Z}$ 所在射线为终边的角），我们称 $r (\cos θ + i \sin θ)$ 为复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 的三角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即 $z^{n} = r^{n} (\cos n θ + isin n θ)$ ， $(n \in Z)$ .已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ ，则 $z, z^{2}, z^{3}, \cdot \cdot \cdot, z^{2025}$ 中不同的数的个数为（）

A、6 B、12 C、24 D、36

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13、已知 $\frac{1 - \cos 2 θ + \sin 2 θ}{1 + \cos 2 θ + \sin 2 θ} = 3$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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14、已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（）

A、 $9 \sqrt{3} π$ B、 $10 \sqrt{3} π$ C、 $15 π$ D、 $18 π$

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15、将函数 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ C、 $f (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{24})$ D、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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16、已知复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m - 3) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|1 + z|$ 为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{19}$

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17、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是同一平面内两个不共线的向量，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $b = 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$

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18、下列函数中，最小正周期为 $π$ 的奇函数是（）

A、 $y = 2 \sin x$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = \sin \frac{x}{2}$ D、 $y = |\sin x|$

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19、复数 $(2 - i) i$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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20、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) + \ln 2 \cdot f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x}}$ ， $f (1) = \frac{1}{6}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 只有最大值，没有最小值 B、 $f (x)$ 只有最小值，没有最大值 C、 $f (x)$ 有两个零点 D、 $f (x)$ 只有一个极值点

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