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相关试卷

1、对于任意的两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $λ \in R$ ，下列命题一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ B、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = λ$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$

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2、已知 $M$ 是边长为1的正 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的动点， $N$ 为 $A B$ 的中点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{M N}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{4}, - \frac{23}{64}]$ B、 $[- \frac{3}{4}, - \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{2}{5}, - \frac{1}{5}]$ D、 $[- \frac{3}{5}, - \frac{23}{64}]$

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3、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0° B、90° C、135° D、180°

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点，那么向量 $\frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A E}$ 等于（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{B E}$

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5、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(a, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ (　　)

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6、下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, 7)$

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7、如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是正三角形， $E, F, G$ 分别是侧棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ 上的点，且 $A E > C G > B F$ ，设直线 $C A, C B$ 与平面 $E F G$ 所成的角分别为 $α, β$ ，平面 $E F G$ 与底面 $A B C$ 所成的锐二面角为 $θ$ ，则（）

A、 $sin θ < sin α + sin β, cos θ \leq cos α + cos β$ B、 $sin θ \geq sin α + sin β, cos θ < cos α + cos β$ C、 $sin θ < sin α + sin β, cos θ > cos α + cos β$ D、 $sin θ \geq sin α + sin β, cos θ \geq cos α + cos β$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sin C = \frac{c}{3} \cos \frac{B}{2}$ ， $b = 3$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的面积范围.

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9、已知正 $△ A B C$ 的边长为1，中心为 $O$ ，过 $O$ 的动直线 $l$ 与边 $A B, A C$ 分别相交于点 $M 、 N, \vec{A M} = λ \vec{A B}, \vec{A N} = μ \vec{A C}, \vec{B D} = \vec{D C}$ ．

(1)、若 $\vec{A N} = 2 \vec{N C}$ ，求 $\vec{A D} \cdot \vec{B N}$ ．

(2)、求 $△ A M N$ 与 $△ A B C$ 的面积之比的最小值．

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10、已知角 $A$ 是 $△ A B C$ 的内角，若 $\overset{⃑}{a} = (\sqrt{3} \sin A, \cos A)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 1)$ .
(1)若 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，求角A的值；
(2)设 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ，当 $f (x)$ 取最大值时，求 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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11、已知复数 $z = \frac{1 - 2 m i}{1 + i}$ （ $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位）．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $|z|$ ；

(2)、设 $\bar{z}$ 为复数z的共轭复数，若 $\bar{z} - 3 z$ 不是纯虚数，求m的取值范围．

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12、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内点，满足 $x \overset{⃑}{O A} + y \overset{⃑}{O B} + z \overset{⃑}{O C} = 0$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心 C、若 $x = a$ ， $y = b$ ， $z = c$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心 D、若 $x = a$ ， $y = b$ ， $z = c$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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14、已知菱形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A O$ 的中点，若 $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{7}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为 $30^{\circ}, 45^{\circ}$ ，且A，B两点之间的距离为6 m，则树的高度为（）

A、 $(3 + 3 \sqrt{3})$ m B、 $(3 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ m C、 $(\frac{3}{2} + 3 \sqrt{3})$ m D、 $(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ m

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16、已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $|\overset{⇀}{a}| = 3$ ， $|\overset{⇀}{b}| = 1$ ，且 $(2 \overset{⇀}{a} - 9 \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ，则 $2 \overset{⇀}{a} - 9 \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角的余弦值为

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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17、已知复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ， $z (1 - i^{3}) = 1 - i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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18、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ ．

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x) \leq - 1$ ；

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19、为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在 $[0, 140]$ ，将得分数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， …， $[120, 140]$ 分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；

(3)、若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在 $[100, 120)$ 内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在 $[120, 140]$ 内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ P B C = 45 °$ ， $P A = \sqrt{2}$ ， $A B = B C = P B = 2$ ， $A D ⊥ B C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，点 $E$ 为 $P A$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $B E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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