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相关试卷

1、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 同时满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、将函数 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到的函数的表达式为（）

A、 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $y = cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ C、 $y = sin (2 x + \frac{7 π}{12})$ D、 $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{11 π}{24})$

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3、已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，则“ $∠ B A C$ 为锐角”是“ $S < 1$ ”（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、直线 $l : x \cos θ + y \sin θ = 2 + \cos θ$ 与圆 $O : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、相切 D、无法确定

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5、已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {k ∣ - 3 \leq k \leq 3, k \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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6、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < a + 1}, B = \{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 < 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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7、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (2^{x}) > 1$ 的解集；

(2)、若 $a = 1$ ，当 $x \in [2, 3]$ 时， $F (x) = f (2^{x}) + \log_{2} (2^{x} + 1)$ ，求函数 $y = F (x)$ 的最小值；

(3)、当 $a \neq 3$ 且 $a \neq 4$ 时，关于x的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围.

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8、给定正整数 $n \geq 3$ ，考虑集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有排列 $π = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，对每个 $1 \leq i \leq n - 1$ ，定义： $d_{i} = min \{|a_{i} - a_{j}|, j > i\}$ ，并规定 $d_{n} = 0$ .记 $S_{m}$ 为所有排列中 $\sum_{i = 1}^{m} d_{i}$ 的最大值.

(1)、对于排列 $π = (1, 3, 2, 4)$ ，计算 $\sum_{i = 1}^{4} d_{i}$ ，再直接写出 $S_{3}$ 和 $S_{4}$ 的值，并分别给出一个满足 $\sum_{i = 1}^{3} d_{i} = S_{3}$ 的排列和一个满足 $\sum_{i = 1}^{4} d_{i} = S_{4}$ 的排列；

(2)、对任意整数 $k \geq 3$ ，证明： $S_{2 k} \geq k - 1 + S_{k} + S_{k + 1}$ ；

(3)、证明： $S_{2049} \geq 13312$ .

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9、已知函数 $f (x) = x - a ln (1 + x)$ ， $a \in R .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上存在零点 $x_{0},$
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) > f^{'} (x_{0})$ .

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $A C = P C$ ， $∠ A C P = 120 °$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D P}$ ，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心.

(1)、证明： $G D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $B G D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求二面角 $P - A B - C$ 的平面角的正切值.

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11、双曲线 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线的左支、右支分别交于点 $A, B$ ，当直线 $l$ 与 $y$ 轴垂直时， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C^{'}$ 的方程；

(2)、点 $C (12, 0)$ 满足 $C B ∥ O A$ ，其中 $O$ 是坐标原点，求四边形 $O A B C$ 的面积.

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12、某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率 $\frac{7}{8}$ ，色准检测通过率 $\frac{4}{5}$ .产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X.

(1)、求单件产品为合格品的概率；

(2)、求X的分布列及数学期望；

(3)、已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至 $\frac{9}{10}$ ，但每件成本增加1元.是否值得改进？

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13、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形，三棱锥 $P - A B D$ 为正四面体，则三棱锥 $P - A B D$ 与三棱锥 $P - B C D$ 的外接球半径之比为.

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14、若 $tan θ = 2$ ，则 $\frac{cos θ (1 - sin 2 θ)}{sin (θ - \frac{π}{4})} =$ .

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = S_{5} = 5$ ，则公差 $d =$ .

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16、在平面直角坐标系 $O x y$ 中，动点 $P$ 在直线 $l : y = x$ 上的射影为点 $Q$ ，且 $|O P| + |P Q| = 1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于原点 $O$ 对称 B、点 $Q$ 的轨迹长度为1 C、 $\frac{1}{2} \leq |O P| \leq 1$ D、曲线 $C$ 围成的封闭区域的面积小于2

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17、设函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}, a \neq 0$ ，则（）

A、当 $a = 3$ 时， $f (x)$ 有极大值4 B、当 $a = 3$ 时， $f (x + 3) \geq f (x)$ C、当 $a > 1$ 时， $f (a^{2} + a) > f (2 a + 1)$ D、当 $a < - 1$ 时， $f (a^{2} + a) > f (2 a + 1)$

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18、有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（）

A、数据A的平均数小于数据B的平均数 B、数据A的方差小于数据B的方差 C、数据A的极差小于数据B的极差 D、数据A的中位数小于数据B的中位数

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19、狄利克雷函数 $D (x)$ 定义为： $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ ，以下选项中正确的是（）

A、不存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) = D (a - x)$ 恒成立 B、存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) + D (a - x) = 1$ 恒成立 C、对任意 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $D (x_{1}) D (x_{2}) = D (x_{1} + x_{2})$ D、函数图象上存在三点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 是直角三角形

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20、已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A F| + 4 |B F| = 9$ ，则 $p$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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