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1、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知向量 $\vec{m} = (\cos A, 1 + \sin A)$ ， $\vec{n} = (1 + \cos 2 B, - \sin 2 B)$ .

(1)、设单位向量 $\vec{j} = (0, 1)$ ，若 $\vec{m} - 2 \vec{j}$ 与 $\vec{n}$ 共线，且 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $A$ ；

(2)、当 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ 时：
（i）若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B$ ；
（ii）求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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2、定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .我们把数量 $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模，记作 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ，即 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ .

(1)、若向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，求 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ；

(2)、若平行四边形 $A B C D$ 的面积为4，求 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ ；

(3)、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值.

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3、如图所示， $△ A B C$ 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 点上.岛屿 $A$ 到补给站 $D$ 的距离为岛屿 $A$ 到 $B$ 的 $\frac{2}{5}$ ，岛屿 $A$ 和岛屿 $C$ 到补给站 $E$ 的距离相等，补给站 $F$ 在靠近岛屿 $C$ 的 $B C$ 的三等分点上.设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、如果 $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 20$ 海里，且 $C D ⊥ E F$ ，求岛屿 $C$ 到补给站 $D$ 的距离 $|\vec{C D}|$ 以及岛屿 $A$ 到 $B$ 的距离 $|\vec{A B}|$ .

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4、已知 $\vec{A B} = (- 1, 3)$ ， $\vec{B C} = (3, m)$ ， $\vec{C D} = (1, n)$ ，且 $\vec{A D} / / \vec{B C}$ .

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、在 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ 的条件下，取 $\vec{B C}$ 不垂直于 $\vec{C D}$ 的情形，求向量 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 的投影向量（结果用坐标表示）.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = 2 c - 2 a \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 2 b$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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6、四边形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别是 $A B, C D$ 的中点， $A B = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为.

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7、正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $∠ D M F$ 的余弦值为.

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8、下列说法中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、已知点 $O$ 是平面上的一个定点，并且 $A$ ， $B$ ， $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in (0, + \infty))$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的内心 C、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 与 $△ A O B$ 的面积之比为 $\frac{3}{5}$

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9、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $a > b$ B、 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ C、若 $\sin A < \sin C$ ，则 $\cos A < \cos C$ D、 $\sin A + \sin B + \sin C > \cos A + \cos B + \cos C$

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10、点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，以下说法正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = (\vec{O C} + \vec{O A}) \cdot \vec{C A} = 0$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心 D、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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11、平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\vec{a} = (4, 0)$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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12、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 3, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 2)$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 夹角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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14、 $\tan 150 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、边长为 $2$ 的正三角形的直观图的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、已知事件A，B满足 $0 < P (A) < 1, P (B) > 0$ 且 $P (B| A) = P (B) = 0.5$ ，则一定有（）

A、 $P (\bar{B}) = 0.5$ B、 $P (A B) = 0.5$ C、 $A, B$ 相互独立 D、 $P (A| B) = P (A)$

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17、若 ${(\ln x - m x - n - 1)}_{\max} = 0 (m > 0)$ ，则 $m n$ 的最大值为（）

A、 $e^{3}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 3}$

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18、人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了 $A$ ， $B$ 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ .为测试AI软件的识别能力，计划采用以下两种测试方案.
方案一：将100首音乐随机分配给 $A$ ， $B$ 两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌， $A$ ， $B$ 两组分别识别2次，如果识别的正确次数之和不小于3，那么称该次测试通过.

(1)、若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐首数之和占总数的 $\frac{3}{5}$ ；在正确识别的音乐中 $A$ 组占 $\frac{2}{3}$ ；在错误识别的音乐中 $B$ 组占 $\frac{1}{2}$ .
（ⅰ）请根据以上数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联？
单位：首
软件类型
识别音乐是否正确
合计
正确
错误
$A$ 组的AI软件

$B$ 组的AI软件

合计

100
（ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，将频率视为概率，求方案二在一次测试中通过的概率.

(2)、研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设 $P_{1} + P_{2} = \frac{4}{3}$ ，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的均值为16？并求此时 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数， $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = \frac{2}{5}$

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在定义域 $(- 2, 2)$ 上的单调性（不用证明），并解不等式 $f (x - x^{2}) + f (x) < 0$ .

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20、4名男生和3名女生站成一排．

(1)、甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

(2)、甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？

(3)、甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？

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软件类型	识别音乐是否正确		合计
软件类型	正确	错误	合计
$A$ 组的AI软件
$B$ 组的AI软件
合计			100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828