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相关试卷

1、已知点 $A (2, 2)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ .
（1）若点 $P$ ､点 $Q$ 都为圆 $C$ 上的动点，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，求弦 $P Q$ 中点所形成的曲线 $G$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 过点 $B (3, 2)$ ，且被（1）中曲线 $G$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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2、在平面直角坐标系xOy中，若直线 $y = k (x - 3 \sqrt{3})$ 上存在一点P，圆x²＋（y－1）²＝1上存在一点Q，满足 $\vec{O P} = 3 \vec{O Q}$ ，则实数k的最小值为．

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3、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点P在C上，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或1 D、1或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (- 1 ， 0)$ 作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\frac{|A F|}{|B F|} = \frac{1}{3}$ ，则 $k =$ （　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）．

A、 $(- 3, 0)$ B、 $(- \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(- 3, \sqrt{3})$ D、 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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6、若函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 2}{2^{x}}$ .为奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 2$ D、无解

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ .若 $(t \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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8、已知实数a，b，则 $a > b$ 是 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知函数 $f (x) = \ln x + x - \frac{1}{x}$ ，若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10、对于一个递增正整数数列 $\{a_{n}\}$ ，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有交错数列的个数记为 $A_{n}$ ．例如，当 $n = 1$ 时，取自集合 $\{1\}$ 的交错数列只有1一种情况，则 $A_{1} = 1$ ；当 $n = 2$ 时，取自集合 $\{1, 2\}$ 的交错数列有1和1，2两种情况，则 $A_{2} = 2$ ．

(1)、求 $A_{3}$ 和 $A_{4}$ 的值；

(2)、证明：取自集合 $\{1, 2, \dots, n\} (n \geq 3)$ 的首项不为1的交错数列的个数为 $A_{n - 2}$ ；

(3)、记数列 $\{A_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使得 $S_{n} > 2025$ 成立的 $n$ 的最小值．

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11、如图1，已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线交 $x$ 轴于点 $D$ ，过点 $F$ 作倾斜角为 $θ$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第一象限）．当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $|O A| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、如图2，把 $△ A D F$ 沿 $D F$ 翻折为 $△ P D F$ ，使得二面角 $P - D F - B$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ．
①若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值；
②证明：三棱锥 $D - P B F$ 的体积为定值．

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12、近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
$2023$ 年 $12$ 月
$2024$ 年 $1$ 月
$2024$ 年 $2$ 月
$2024$ 年 $3$ 月
$2024$ 年 $4$ 月
月份代码 $x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
销量 $y /$ 千辆
$14$
$15$
$16$
$18$
$19$

(1)、若 $y$ 与 $x$ 线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在 $2025$ 年1月份的销量；

(2)、该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工 $100$ 人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润 $12$ 万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润 $18$ 万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{cos A} + \frac{b}{cos B} = \frac{c}{sin C}$ ．

(1)、证明： $cos A cos B = sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{c^{2}}{10 sin C}$ ，求 $cos C$ ．

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14、 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $A, C$ 两点在双曲线上且关于原点对称（点 $A$ 在第一象限），直线 $C F_{2}$ 与双曲线的另一个交点为点 $B$ ，若 $|A F_{1}| - |B F_{2}| = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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15、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $f (f (3)) =$ ．

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16、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，记 $\{x\} = x - [x]$ ，则对任意实数 $x, y$ ，有（）

A、 $\{- x\} = \{x\}$ B、 $\{2 x\} = 2 \{x\}$ C、 $\{x\} + \{y\} \leq \{x + y\}$ D、 $\{x\} - \{y\} \leq \{x - y\}$

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17、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

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18、若空间中四个不同的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，满足 $α_{1} ⊥ α_{2}, α_{2} ⊥ α_{3}, α_{3} ⊥ α_{4}$ ，则下面结论一定正确的是（）

A、 $α_{1} ⊥ α_{4}$ B、 $α_{1}$ $∥$ $α_{4}$ C、 $α_{1}, α_{4}$ 既不垂直也不平行 D、 $α_{1}, α_{4}$ 的位置关系不确定

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19、某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有（）

A、 $C_{20}^{4} C_{30}^{6} C_{50}^{20}$ B、 $C_{20}^{5} C_{30}^{10} C_{50}^{15}$ C、 $C_{20}^{6} C_{30}^{9} C_{50}^{15}$ D、 $C_{20}^{10} C_{30}^{10} C_{50}^{10}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} + 2 = a_{n} + 3 n + S_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求满足 $a_{n} > \frac{3 n + 5}{2}$ 的 $n$ 的最小值；

(3)、已知 $b_{n} = \frac{1}{6 a_{n} + 6 n - 20}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $- \frac{1}{2} \leq T_{n} < - \frac{1}{3}$ .

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时间	$2023$ 年 $12$ 月	$2024$ 年 $1$ 月	$2024$ 年 $2$ 月	$2024$ 年 $3$ 月	$2024$ 年 $4$ 月
月份代码 $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
销量 $y /$ 千辆	$14$	$15$	$16$	$18$	$19$