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相关试卷

1、函数 $y = sin 2 x$ 与 $y = sin \frac{x}{2}$ 的图象在区间 $[- 2 π, 2 π]$ 上的交点个数为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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2、已知数列 $\{{log}_{2} a_{n} + 1\}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为（）

A、 $2^{10} - 1$ B、 $\frac{4^{10} - 1}{3}$ C、 $2^{11} - 2$ D、 $\frac{2^{21} - 2}{3}$

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3、若 $sin α = cos α + \frac{3}{5}$ ，则 $tan α + \frac{1}{tan α} =$ （）

A、 $\frac{8}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、 $\frac{25}{16}$

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4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的起点和终点均在格点上，则向量 $\vec{b} + \vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{a}, x \geq 0, \\ a^{x}, x < 0, \end{matrix}$ 且 $f (16) = 2$ ，则 $f (- 1) =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ . B、 $\frac{1}{4}$ . C、2. D、4.

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6、若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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7、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = {x ∣ x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1\}$

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8、已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为 $\frac{1}{2}$ ，传球给其他队员的概率均为 $\frac{1}{6}$ ；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是 $\frac{1}{4}$ .开始进攻时，球在乙手中.

(1)、求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；

(2)、经过 $n$ 次传球后，球回到乙手中的概率；

(3)、记经过 $n$ 次传球后，球到甲的手中的概率为 $P_{n}$ ，求证：满足 $P_{n} > \frac{6}{25}$ 的 $n$ 的个数不少于满足 $P_{n} < \frac{6}{25}$ 的 $n$ 的个数.

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9、函数 $f (x) = x ln x - a {(ln x)}^{2} - x + m a$ ，其中 $a > 0$ ， $m \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a = \frac{1}{2 e}$ ，函数 $f (x)$ 有且只有一个零点，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $a > \frac{1}{e}$ ， $A = {m| f (a) < 0}$ ， $B = {m| f (1) < 0}$ ，求证： $B \subseteq A$ .

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $P B D$ ， $P A = P D$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点， $D E = A E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = B D = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C E$ 所成的锐二面角的余弦值.

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = x$ ，过点 $M (3, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支于 $D$ 、 $E$ 两点，点 $A, F$ 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且 $F$ 到渐近线的距离为1， $△ A D E$ 为直角三角形.

(1)、求双曲线的方程；

(2)、求 $△ A D E$ 的面积 $S$ .

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12、为了研究大气污染物 ${PM}_{2.5}$ 浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下：
${PM}_{2.5}$ 浓度（单位： $μ g / m^{3}$ ）
汽车流量（单位：千辆/24小时）
合计
$(0.5, 1.4]$
$(1.4, 2]$
$(0, 75]$
8
2
10
$(75, 150]$
1
13
14
合计
9
15
24

(1)、判断是否有 $99 %$ 的把握认为 ${PM}_{2.5}$ 浓度与汽车流量有关？

(2)、对于随机事件 $α$ ， $β$ ，若 $r_{α, β} = P (α| β) - P (α) > 0$ ，则认为事件 $β$ 对事件 $α$ 发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记 $A$ 为“ ${PM}_{2.5}$ 浓度超过 $75 μ g / m^{3}$ ”， $B$ 为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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13、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $C_{2} : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，点 $A$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的交点， $B$ 是 $C_{1}$ 的左顶点，直线 $A B$ 交 $C_{2}$ 于点 $D$ ，若点 $D$ 恰为线段 $A B$ 的中点，则 $p^{2}$ 的值为.

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14、老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为 $X$ ，则 $E (X) =$ .

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15、已知复数 $z = \frac{i - 2}{2 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为.

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2$ ， $g (x) = k x + k (k \in R)$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点（1，2）处的切线方程为 $y = 9 x - 7$ B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a, a + 4)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围为(－3，0) C、若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有三个交点 $(x_{i}, y_{i})$ ， $i = 1, 2, 3$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 必成等差数列 D、存在曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有三个交点 $(x_{i}, y_{i})$ ， $i = 1, 2, 3$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等比数列

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17、已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，在等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} = a_{5}$ ，则（）

A、 $S_{n} = n^{2}$ B、数列 $\{{log}_{2} b_{n}\}$ 是等差数列 C、数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{2 n}{2 n + 1}$ D、数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $(n - 1) 3^{n + 1} + 3$

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18、已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为 $X$ ；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为 $Y$ .下列说法中，正确的有（）

A、 $p (X \geq 1) = \frac{65}{81}$ B、 $p (X = i) < p (Y = i)$ ，其中 $i = 0, 1, 2, 3$ C、 $E (X) = E (Y)$ D、 $D (X) > D (Y)$

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19、已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2$ ， $A B = B C = A C = 3$ ，则该三棱锥的外接球表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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20、现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（）有种？

A、20 B、38 C、70 D、74

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${PM}_{2.5}$ 浓度（单位： $μ g / m^{3}$ ）	汽车流量（单位：千辆/24小时）		合计
${PM}_{2.5}$ 浓度（单位： $μ g / m^{3}$ ）	$(0.5, 1.4]$	$(1.4, 2]$	合计
$(0, 75]$	8	2	10
$(75, 150]$	1	13	14
合计	9	15	24

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828