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相关试卷

1、对 $\forall x \in R$ ，设 $x^{2023} = a_{1} B_{x}^{1} + a_{2} B_{x}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{k} B_{x}^{k} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} B_{x}^{2023}$ ，其中 $B_{x}^{k} = x (x - 1) \cdot \cdot \cdot (x - k + 1)$ ， $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2023$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} = 2^{2033}$ C、 $\sum_{k = 2}^{2023} {(- 1)}^{k} k! a_{k} = 0$ D、 $\sum_{k = 2}^{2023} {(- 1)}^{k - 2} (k - 2)! a_{k} = 2022$

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2、满足方程 $C_{5}^{x} = C_{5}^{3}$ 的 $x$ 的值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x \sin (x + α)$ ， $α \in (0, 2 π)$ ，记 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上的 $3$ 个极值点为 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，且 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 单调递减

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4、设 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = \frac{11^{10}}{10^{11}}$ ， $c = \ln \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5、数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 为方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 的3个实数根，设 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ ，则 $- a (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ 为 $x^{2}$ 的系数， $a (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ 为 $x$ 的系数， $- a x_{1} x_{2} x_{3}$ 为常数项，于是有 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}$ ， $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ .实际上任意实系数 $n$ 次方程都有类似结论.设方程 ${(x - 1)}^{4} + {(x - 1)}^{3} - 7 {(x - 1)}^{2} + 5 = 0$ 的四个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 1$ B、 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 5$ C、 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 5$ D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 3$

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6、在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣 $a$ 分.若随机选择时得分的均值为0分，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为（）

A、24 B、18 C、12 D、9

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8、复数 ${(1 + i)}^{3}$ （i为虚数单位）的实部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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9、已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、现有语文读物5本，历史读物4本，地理读物3本，每本读物各不相同，从中任取1本，不同的取法共有（）

A、3种 B、12种 C、30种 D、60种

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11、设数列 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{2^{t} + 2^{s} | 0 \leq s < t$ 且 $s, t \in Z\}$ 中的数从小到大排列而成，即 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 9$ ， $a_{5} = 10$ ， …，现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表：
（1）写出这个三角形的第四行和第五行的数；
（2）求 $a_{100}$ ；
（3）设 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{2^{t} + 2^{s} + 2^{r} | 0 \leq s < t < r$ 且 $s, t, r \in Z\}$ 中的数从小到大排列而成，已知 $b_{k} = 1160$ ，求 $k$ 的值.

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12、已知常数 $a > 0,$ 在矩形ABCD中，AB=4，BC=4 $a$ ， O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 $\frac{B E}{B C} = \frac{C F}{C D} = \frac{D G}{D A}$ ， P为GE与OF的交点（如图）.

(1)、试求P的一个坐标，并计算出P的轨迹方程.

(2)、是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

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13、小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：

(1)、试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.

(2)、试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， D、E分别是 $C C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 的中点，点E在平面ABD上的射影是 $△ A B D$ 的重心 $G$ .
(Ⅰ)求 $A_{1} B$ 与平面ABD所成角的余弦值
(Ⅱ)求点 $A_{1}$ 到平面 $A E D$ 的距离

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15、记锐角 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $a sin B = \frac{c tan B}{1 + tan B}$ .

(1)、求 $sin A$ 的值.

(2)、若 $b = \sqrt{2}$ ，求 $a$ 边上的高的取值范围.

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16、已知 $c > 0.$ 设P：函数 $y = c^{x}$ 在R上单调递减.Q：不等式 $x + | x - 2 c | > 1$ 的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则 $c$ 的取值范围为.

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17、 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{9}$ 展开式中 $x^{9}$ 的系数是

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18、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，向右平移3个单位得到 $g (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值点为 $(- 2, - e^{- 2})$ B、当 $f (x) = k$ 有两解时， $- \frac{1}{e^{2}} < k < 0$ C、若 $b = g (\frac{2}{3})$ ， $c = g (\frac{- 1}{e^{2}})$ ，则 $c > b$ D、若 $f (x) = g (x)$ ，那么 $x < 0$ ，且有且仅有一解

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19、如图所示，在四个正方体中， $l$ 是正方体的一条体对角线，点 $M, N, P$ 分别为其所在棱的中点，能得出 $l ⊥$ 平面 $M N P$ 的图形为（）

A、 B、 C、 D、

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20、我们知道一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ 可以变形为 $a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程 $- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + a = 0$ ，则下列关于此一元三次方程的根的式子正确的是（）

A、 $x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ =2 B、 $x_{1} x_{2}$ + $x_{2} x_{3}$ + $x_{1} x_{3}$ = $\frac{3}{2}$ C、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ = $\frac{a}{2}$ D、 $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ + $x_{3}^{2}$ =7

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