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相关试卷

1、若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x} - 1$ 和 $y = e^{x - 1}$ 的公切线，则实数k的值是（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e$ C、0 D、1

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2、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数．当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，它们与正、余弦函数有许多类似性质．

(1)、判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性；

(2)、（ⅰ）证明 ${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$ ；
（ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；

(3)、若函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (cosh 2 x + a cosh x)$ 在 $R$ 上最大值为0，求实数 $a$ 的值．

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3、已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 4 x + 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上有且仅存一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{2} + x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值，及 $f (x)$ 取最小值时的 $x$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的最小正周期和单调递减区间．

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，点 $P (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ 在角 $α$ 的终边上.

(1)、求 $tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin α + 2 cos α}{2 sin α - cos α}$ 的值.

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6、已知正实数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 2$ ，则 $3 a + b$ 的最小值为．

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7、已知 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ， $α$ 为锐角，则 $cos α =$ ．

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8、若 $2^{x} > 1$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的以4为周期的函数，对任意整数 $k$ ，区间 $I_{k} = [4 k - 2, 4 k + 2]$ ．当 $x \in I_{0}$ 时， $f (x) = 2^{|x|} - 1$ ．集合 $M_{k} = {a | f (x) = a x$ 在 $I_{k}$ 上有两个不相等的实根 $}$ ，则（）

A、 $f (3) = 1$ B、 $(- 2, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 C、 $f (x) = f (4 - x)$ D、若 $k > 0$ ，则 $M_{k} = (0, \frac{3}{4 k + 2}]$

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10、下列运算正确的有（）

A、 $lg 3 + lg 4 = lg 7$ B、 ${log}_{2} 100 = 10 {log}_{2} 10$ C、 $4^{{log}_{4} 5} = 5$ D、 ${log}_{3} 4 \cdot {log}_{4} 3 = 1$

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11、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上单调递增的奇函数．若 $f (1 + m) + f (2 m - 4) > 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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12、如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（）

A、 $y = \frac{1}{x^{3}}$ B、 $y = \sqrt{|x|}$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = x^{\frac{2}{3}}$

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13、设 $a \in R$ ，则“ $a \geq 2$ ”是“ $a > 2$ ”的（）条件．

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分又非必要

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14、集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$ D、 $\emptyset$

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15、定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x₁ ， x₂∈R，都有f（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ） $\leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax²+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，其中自然对数的底数 $e \approx 2.718$ ，函数 $F (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $F (x) = f (x)$ ．

(1)、求 $F (x)$ 的解析式；

(2)、证明函数 $F (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调递增；

(3)、若 $a e^{2 x} - e^{x} + a \geq 0 (x \in [1, 2])$ 恒成立，求常数 $a$ 的取值范围．

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17、计算或化简．

(1)、化简： $\frac{\sqrt{a b \cdot \sqrt[3]{a b}}}{\sqrt[3]{a b \sqrt{a b}}} + \sqrt[4]{{(a - b)}^{4}} + \sqrt[3]{{(a - b)}^{3}} (0 < a < b)$ ；

(2)、计算： ${(\frac{25}{9})}^{\frac{1}{2}} + {0.1}^{- 2} + {(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}} - 3 π^{0}$ ；

(3)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} + 2}{x^{2} + x^{- 2} + 3}$ 的值．

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18、二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足下列三个条件：① $f (0) = - 1$ ；②对任 $x \in R$ ，均有 $f (x - 4) = f (2 - x)$ ；③函数 $f (x)$ 的图象与函数 $g (x) = x - 1$ 的图像有且只有一个公共点，若 $f (x - t) \leq g (x)$ 解集为 $[4, m] (m > 4)$ ，则 $m =$ ； $t =$ ．

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19、函数 $f (x) = \sqrt{9 - 3^{x + 1}}$ 的定义域是．

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20、函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2022) = 0$ B、直线 $x = - 5$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7, 7]$ 上有5个零点 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7, - 5]$ 上为减函数

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