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相关试卷

1、如图，在棱长均为2的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{°}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $B D_{1}$ 长为 $2 \sqrt{3}$ B、异面直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $A_{1} C ⊥ B_{1} D_{1}$ D、 $A A_{1} ⊥ B D$

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2、为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知 $A C = 40 m$ ， $B C = 40 \sqrt{3} m$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ M C N = 30 °$ .

(1)、若 $A M = 20 m$ 时，求护栏的长度（△MNC的周长）；

(2)、当 $∠ A C M$ 为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{a}{\sqrt{3} \cos A} = \frac{c}{\sin C}$ .
（1）求角A的大小；
（2）若 $a = 6$ ， $b + c = 9$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π) ， \sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（1）求 $\sin (\frac{π}{4} + α)$ 的值；
（2）求 $\cos (\frac{5 π}{6} - 2 α)$ 的值.

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5、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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6、 $\sin 50^{°} (1 + \sqrt{3} \tan 10^{°}) =$ .（用数字作答）.

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7、已知角 $α$ 是第一象限角，且 $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\tan 2 α$ 的值为．

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8、关于函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{12})$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值是3 B、若方程 $f (x) - m = 0$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 有两个不相等的实根，则 $m \in [\sqrt{3} - 1, 1)$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $A$ 为锐角且 $f (A) = - 1$ ，角 $A$ 的对边 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $A$ 为锐角且 $f (A) = - 1$ ， $△ A B C$ 面积为 $4 \sqrt{3}$ ，边 $B C$ 的中点为 $M$ ，则中线 $A M$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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9、下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{a} = (- 2, 3)$ ， $\vec{b} = (\frac{2}{3}, - 1)$ 可以作为平面内所有向量的一组基底 B、已知 $\vec{a} = (3, 5)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，则 $\vec{c} = (4, 4)$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 D、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $90 °$

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10、黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为 $2 sin 18 °$ ，则 $\frac{sin 42^{\circ} + m}{cos 42^{\circ}}$ 的近似值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{3}$

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11、下列命题正确的是（）

A、以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B、以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

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12、如图，三个相同的正方形相接，则 $α + β$ 的大小为（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{1}{3} π$ C、 $\frac{2}{3} π$ D、 $\frac{1}{4} π$

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + |a x^{2} + (a - 2) x - 2|$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a > 0$ ，不等式 $f (x) \geq x + 2 - 2 a$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求 $a$ 的最大值；

(3)、若 $a < 0$ ，存在 $m$ ， $n > 0$ ，使得 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上单调递增且在 $[m, n]$ 上的值域为 $[4 m, 4 n]$ ，求 $a$ 的取值范围.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .请在以下三个条件中任选一个进行解答（若选多个条件分别解答，则按第一个解答过程给分）：
① $a (tan A + tan B) = 2 c tan A$ ；② $b sin A = a cos (B - \frac{π}{6})$ ；③ $(a - c) sin B = b sin (B - C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $cos A cos C = - \frac{1}{4}$ ，
（ⅰ）求 $△ A B C$ 的面积；
（ⅱ）若 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 边上的两点，且 $B D$ 为 $∠ A B C$ 的角平分线， $B E$ 为 $A C$ 边上的中线，求 $\frac{B D}{B E}$ 的值.

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15、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 垂直于 $⊙ O$ 所在的平面， $C$ 是圆周上不同于 $A$ ， $B$ 的任意一点.

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $∠ P B A = 45 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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16、已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 在 $\vec{e_{1}}$ 上的投影向量（结果用 $\vec{e_{1}}$ 表示）；

(2)、若 $|λ \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}| \geq 1$ 对 $\forall λ \in R$ 恒成立，求 $θ$ 的取值范围.

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17、某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图.

(1)、求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间 $[2.5, 3.5)$ 的男生人数；

(2)、估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）.

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18、设实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则原方程可以变形为 $a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，展开得 $a_{2} x^{2} - a_{2} (x_{1} + x_{2}) x + a_{2} x_{1} x_{2} = 0$ ，由此，我们可以得到 $x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{2}}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{a_{0}}{a_{2}}$ .类比上述方法，如果实系数一元三次方程 $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq 0)$ 有三个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，我们也可以得到类似的结论.已知关于 $x$ 的方程 $x^{3} - \frac{3}{4} x + c = 0$ $(c \in R)$ 有三个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} x_{3}$ 的取值范围为.

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19、已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为.

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = lg x$ ，则 $f (5) - f (- 2) =$ .

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