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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角是 $\frac{π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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2、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}, B = \{x |\frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > 0\}$ D、 $\{x ∣ x > 1\}$

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3、我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : \sqrt{7} : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足关系 $A + C = 2 B$ B、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、若 $∠ B$ 的角平分线与 $A C$ 交于D，则 $B D$ 的长为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ D、若O为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C}) = 26$

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4、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 8$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in [0, 2], f (x) \geq - 12$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知 $i$ 为虚数单位， $z_{1} 、 z_{2}$ 是实系数一元二次方程的两个虚根.

(1)、设 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足方程 $4 z_{1} + (1 - i) z_{2} = 9 - 5 i$ ，求 $z_{1} 、 z_{2}$ ；

(2)、设 $z_{1} = 1 + 2 i$ ，复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 所对的向量分别是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，若向量 $t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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6、某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以 $[160, 180)$ ， $[180, 200)$ ， $[200, 220)$ ， $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中
$x$ 的值；

(2)、求理科综合分数的中位数；

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7、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域为A，若集合A为有限集，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，存在 $x_{3} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则满足条件的集合A的个数为．

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8、数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的方差为1，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{n} + 1$ 的方差为．

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9、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 3$ B、 $φ = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{12}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $y = - 2 \sin 3 x$ 的图象

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10、在棱长为 1 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则（）

A、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 B、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ C、直线 $M N ⊥$ 平面 $A D N$ D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ .

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为4的奇函数，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} x, 0 \leq x < 1 \\ - x + 2, 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 在 $(- 2, 2)$ 上的解集为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 2, - 1) \cup (0, 1)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, 2)$

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12、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为 $2 \sqrt{5}$ ，则该盆中最多能装的水的体积为（）

A、 $\frac{224 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{448}{3}$ C、 $224 \sqrt{5}$ D、448

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13、已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（）

A、这组数据的上四分位数为8 B、这组数据没有众数 C、这组数据的极差为5 D、这组数据的平均数为6

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15、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知向量 $\vec{m} = (\cos A, 1 + \sin A)$ ， $\vec{n} = (1 + \cos 2 B, - \sin 2 B)$ .

(1)、设单位向量 $\vec{j} = (0, 1)$ ，若 $\vec{m} - 2 \vec{j}$ 与 $\vec{n}$ 共线，且 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $A$ ；

(2)、当 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ 时：
（i）若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B$ ；
（ii）求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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16、定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .我们把数量 $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模，记作 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ，即 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ .

(1)、若向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，求 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ；

(2)、若平行四边形 $A B C D$ 的面积为4，求 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ ；

(3)、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值.

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17、如图所示， $△ A B C$ 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 点上.岛屿 $A$ 到补给站 $D$ 的距离为岛屿 $A$ 到 $B$ 的 $\frac{2}{5}$ ，岛屿 $A$ 和岛屿 $C$ 到补给站 $E$ 的距离相等，补给站 $F$ 在靠近岛屿 $C$ 的 $B C$ 的三等分点上.设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、如果 $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 20$ 海里，且 $C D ⊥ E F$ ，求岛屿 $C$ 到补给站 $D$ 的距离 $|\vec{C D}|$ 以及岛屿 $A$ 到 $B$ 的距离 $|\vec{A B}|$ .

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18、已知 $\vec{A B} = (- 1, 3)$ ， $\vec{B C} = (3, m)$ ， $\vec{C D} = (1, n)$ ，且 $\vec{A D} / / \vec{B C}$ .

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、在 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ 的条件下，取 $\vec{B C}$ 不垂直于 $\vec{C D}$ 的情形，求向量 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 的投影向量（结果用坐标表示）.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = 2 c - 2 a \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 2 b$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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20、四边形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别是 $A B, C D$ 的中点， $A B = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为.

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