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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln (x - 1) + x^{2} - 2 x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = - 8$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < - 2$ 时，试判断 $f (x)$ 的零点个数并证明．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\sqrt{3} a \sin B + b \cos ∠ B A C = b$ ， D为 $B C$ 边上的点，且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

(1)、求 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、若 $A D = \frac{15}{8}$ ， $a = 7$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、已知椭圆 $A : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $B : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 具有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且 $|O P| = \frac{1}{2} |F_{1} F_{2}|$ （O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $2 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为．

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4、已知 $\tan (α + \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ ．

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{2 n - 1} = 4 n^{2} - 2 a_{n} - 1$ ， $a_{1} = 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为．

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6、设定义在R上的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，记 $g (x)$ 的导函数为 $g^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) + g^{'} (x) = 4$ ， $f (x - 1) - g^{'} (3 - x) = 4$ ，若 $g (x)$ 为奇函数，则下列结论一定成立的有（）．

A、 $f (2) + f (4) = 8$ B、 $f (2025) = 4$ C、 $\sum_{n = 1}^{2025} f (n) = 8100$ D、 $g^{'} (4) = 0$

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7、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} + z_{2} = 4$ ， $z_{1} \cdot z_{2} = 8$ ，则（）．

A、 $|z_{1}| \cdot |z_{2}| = 8$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = 4$ C、 $|z_{1}| + |z_{2}| = 4$ D、 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = 1$

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8、已知 $A (1, 6)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (3, 4)$ ， $D (4, 2)$ ， $E (5, 4)$ ， 5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定 $E (5, 4)$ 为“离群点”，故将其去掉，将数据 $E (5, 4)$ 去掉后，下列说法正确的有（）．

A、样本相关系数r变大 B、残差平方和变小 C、决定系数 $R^{2}$ 变大 D、若经验回归直线过点 $(3.5, 2.8)$ ，则其经验回归方程为 $\hat{y} = - 1.2 x + 7$

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9、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x} - a$ ，若 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (- x) + f (x - |a - 1|) \leq 0$ 恒成立，则 $a$ 的值不可能是（）．

A、 $- 2025$ B、 $2025$ C、 $e^{2}$ D、3

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10、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，点P满足 $|P A| = \sqrt{3} |P B|$ ，当 $∠ P A B$ 取到最大值时， $△ P A B$ 的面积为（）．

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 在区间 $(0, m)$ 上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（）．

A、 $\frac{7 π}{6}$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12、一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（）．

A、 $2 π$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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13、一组数据1，3，7，9， $m (m > 0)$ 的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（）．

A、 $[5, 7]$ B、 $[5, 15]$ C、 $[7, 15]$ D、 $[5, 20]$

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14、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} \cdot a_{5} = 49$ ， $a_{4} + a_{6} = 70$ ，则 $a_{8} =$ （）．

A、 $- 567$ B、567 C、451 D、699

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \frac{1}{2})$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）．

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x \leq 0\}$ ， $B = [- 1, 1]$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[- 2, 1]$ C、 $\emptyset$ D、 $\{- 1, 0\}$

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17、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，称 $\{Δ a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ .对正整数 $k (k \geq 2)$ ，称 $\{Δ^{k} a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的 $k$ 阶差分数列，其中 $Δ^{k} a_{n} = Δ (Δ^{k - 1} a_{n}) = Δ^{k - 1} a_{n + 1} - Δ^{k - 1} a_{n}$ 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $\{Δ a_{n + 1} - a_{n} - 2^{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的二阶差分数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{2} (n^{2} - n + 2), \{x_{n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列，对 $\forall n \in N^{*}$ ，是否都有 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} C_{n}^{i} = a_{n}$ 成立？并说明理由；（其中 $C_{n}^{i}$ 为组合数）

(3)、对于（2）中的数列 $\{x_{n}\}$ ，令 $y_{n} = \frac{t^{x_{n}} + t^{- x_{n}}}{2}$ ，其中 $\frac{1}{2} < t < 2$ .证明： $\sum_{i = 1}^{n} y_{i} < 2^{n} - 2^{- \frac{n}{2}}$ .

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .不过原点的直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，记直线 $M A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $M B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $l$ 的斜率 $k$ 为定值；

(3)、求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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19、某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号
数学
物理
1
144
95
2
130
90
3
124
79
4
120
85
5
110
69
6
107
82
7
103
80
8
102
62
9
100
67
10
98
75
11
98
68
12
95
77
13
94
59
14
92
65
15
90
57
16
88
58
17
85
70
18
85
55
19
80
52
20
75
54

(1)、数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.
（i）完成如下列联表；
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀

不优秀

合计

（ii）依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？

(2)、从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩
130
110
100
85
75
物理成绩
90
69
67
70
54
如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.
（i）求样本相关系数 $r$ ；
（ii）建立物理成绩 $y$ 关于数学成绩 $x$ 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} .$ .
（2）经验回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ；. $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} .$
（3） $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2, M$ 为 $B B_{1}$ 中点，点 $N$ 在棱 $A_{1} B_{1}$ 上， $A_{1} N = 2 N B_{1}$ .

(1)、证明： $M C$ $∥$ 平面 $N A C_{1}$ ；

(2)、求锐二面角 $M - A C_{1} - N$ 的余弦值.

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表1：
序号	数学	物理
1	144	95
2	130	90
3	124	79
4	120	85
5	110	69
6	107	82
7	103	80
8	102	62
9	100	67
10	98	75
11	98	68
12	95	77
13	94	59
14	92	65
15	90	57
16	88	58
17	85	70
18	85	55
19	80	52
20	75	54

数学成绩	物理成绩		合计
数学成绩	优秀	不优秀	合计
优秀
不优秀
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828