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相关试卷

1、半正多面体（ $s e m i r e g u l a r s o l i d$ ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（）

A、 $M Q ⊥$ 平面 $A E M H$ B、异面直线 $B C$ 和 $E A$ 所成角为60° C、该二十四等边体的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ D、该二十四等边体外接球的表面积为 $16 π$

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2、油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆，圆心到伞柄底端距离为 $\sqrt{2}$ ，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为 $60^{\circ}$ ），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3 \sqrt{3} - 5}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据 $y$ （单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x + \hat{a}$ ，其中自变量 $x$ 指的是 $1 \sim 6$ 月的编号，其中部分数据如表所示：
时间
1月
2月
3月
4月
5月
6月
编号 $x$
1
2
3
4
5
6
$y$ 百亿元
$y_{1}$
$y_{2}$
$y_{3}$
11.1
$y_{5}$
$y_{6}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} y_{i}^{2} = 796, \sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 70$ .则下列说法不正确的是（）

A、经验回归直线经过点 $(3.5, 11)$ B、 $\hat{a} = 9.6$ C、根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元 D、相应于点 $(x_{4}, y_{4})$ 的残差为0.1

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4、菱形 $A B C D$ 中， $A C = 2, B D = 4$ ，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 3, 2]$

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5、一组数据按从小到大的顺序排列为 $1, 4, m, 12, 14, 21$ ，若该组数据的中位数是极差的 $\frac{2}{5}$ ，则该组数据的第 $45$ 百分位数是（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $12$

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6、“ $a = 1$ ”是“函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a}{2^{x} + 1}$ 为奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知集合 $A = {1, - 1}$ ， $B = {1, 0, - 1}$ ，则集合 $C = {a - b | a \in A, b \in B}$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 $30 min$ 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： $cm$ ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 0.212$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{16} {(i - 8.5)}^{2}} \approx 18.439$ ， $\sum_{i = 1}^{16} (x_{i} - \bar{x}) (i - 8.5) = - 2.78$ 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i = 1, 2, ..., 16$ .

(1)、求 $(x_{i}, i) (i = 1, 2, ..., 16)$ 的相关系数 $r$ ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 $|r| < 0.25$ ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；

(2)、一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\bar{x} - 3 s, \bar{x} + 3 s)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）请利用已经学过的方差公式： $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 来证明方差第二公式 $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ .
（iii）在 $(\bar{x} - 3 s, \bar{x} + 3 s)$ 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）
附：样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, ..., n)$ 的相关系数 $\hat{r} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{0.008} \approx 0.09$ .

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9、如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠ABC= $\frac{π}{3}$ ， ∠B₁BD= $\frac{π}{6}$ ， $∠ B_{1} B A = ∠ B_{1} B C,$ $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2, B_{1} B = 3$
（1）求证：直线AC⊥平面BDB₁；
（2）求直线A₁B₁与平面ACC₁所成角的正弦值.

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10、已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, - 1)$ .
(1)若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，求 $\frac{\sin^{3} θ + \cos^{3} θ}{\sin θ - \cos θ}$ 的值；
(2)若 $|\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}| = 2$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin (θ + \frac{π}{4})$ 的值.

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \tan x, x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{3}] \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}) \\ - \frac{6 \sqrt{3}}{π} x + 3 \sqrt{3}, x \in (\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}] \end{cases}$ 若 $f (x)$ 在区间D上的最大值存在，记该最大值为 $K \{D\}$ ，则满足等式 $K {[0, a)} = 3 \cdot K {[a, 2 a]}$ 的实数a的取值集合是.

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12、已知某圆台的体积为 $(18 + 6 \sqrt{2}) π$ ，其上底面和下底面的面积分别为 $3 π$ ， $6 π$ ，且该圆台两个底面的圆周都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为.

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13、若 $\sin (α + β) = \frac{1}{3}, \tan α = 3 \tan β$ ，则 $\sin (α - β) =$ ．

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14、设正数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为1 B、 ${log}_{2} (x^{2} + y^{2})$ 的最小值为 $- 1$ C、 $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x y}$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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15、下列命题中，真命题是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $e^{x_{0}} \leq 0$ B、 $\sin^{2} x + \frac{2}{\sin x} \geq 3 (x \neq k π, k \in Z)$ C、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{2 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，则m的值为 $- 1$ D、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分不必要条件

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16、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，AD＝2， $A B = B C = C D = 1$ ， $A D // B C$ ，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，则直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $1$

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17、平面内有向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{c}| + 2 |\vec{b} - \vec{c}|$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) (0 < ω < 6, | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{6}, 2)$ 和 $(\frac{2 π}{3}, - 2)$ .若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有唯一零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）.

A、 $(- 1, 1] \cup [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ B、 $\{- 1\} \cup [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $\{- 2\} \cup (- 1, 1]$

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19、已知甲袋中有4个白球､ $x$ 个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则 $x =$ （）

A、2 B、4 C、6或2 D、8或4

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20、下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
衣服裤子类
鞋类
帽子围巾类
其他类
营业收入占比
$91.10 %$
$3.98 %$
$3.62 %$
$1.30 %$
净利润占比
$94.80 %$
$- 0.68 %$
$3.62 %$
$2.26 %$
下列判断中不正确的是（）

A、该公司2021年度鞋类销售亏损 B、该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供 C、该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同 D、清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低

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时间	1月	2月	3月	4月	5月	6月
编号 $x$	1	2	3	4	5	6
$y$ 百亿元	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	11.1	$y_{5}$	$y_{6}$

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

	衣服裤子类	鞋类	帽子围巾类	其他类
营业收入占比	$91.10 %$	$3.98 %$	$3.62 %$	$1.30 %$
净利润占比	$94.80 %$	$- 0.68 %$	$3.62 %$	$2.26 %$