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相关试卷

1、甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，输的概率为 $1 - p$ ，每局比赛的结果是独立的．

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求甲最终获胜的概率；

(2)、为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 $- 2$ 分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3}, ∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $E$ 为 $B C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = 6$ ，求直线 $A_{1} B$ 与平面 $D B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, c^{2} = a^{2} + b^{2} - a b, cos 2 B = sin C$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为．
人
题号
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×
×
√
√
2
×
√
×
√
√
√
3
√
×
×
√
×
×
4
√
×
×
×
√
×
5
×
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11

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5、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} a_{3} = 9, a_{2} + a_{4} = 9$ ，则 $a_{4} =$ ．

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6、 ${(2 x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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7、已知 $O (0, 0), A (a, 0), B (a, 1), C (0, 1), D (0, - 1)$ ，其中 $a \neq 0$ ．点 $M, N$ 分别满足 $\vec{A M} = λ \vec{A B}, \vec{O N} = (1 - λ) \vec{O A}$ ，其中 $0 < λ < 1$ ，直线 $C M$ 与直线 $D N$ 交于点 $P$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $C M$ 与直线 $D N$ 斜率乘积为 $- \frac{1}{a^{2}}$ B、当 $a = - 1$ 时，存在点 $P$ ，使得 $|D P| = 2$ C、当 $a = 2$ 时， $△ P A C$ 面积最大值为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、若存在 $λ$ ，使得 $|D P| > 2$ ，则 $a \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$

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8、已知函数 $f (x) = sin x + sin 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、存在 $t \in R$ ，使得 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = t$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的最大值为 $2$

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9、一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ ．其中 $x_{i} > 1895$ ， $\sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5}$ ， $\sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + \hat{a_{1}}$ ，残差为 $\hat{e_{i}}$ ．对样本数据进行处理： ${x^{'}}_{i} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $({x^{'}}_{i}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + \hat{a_{2}}$ ，其残差为 ${\hat{u}}_{i}$ 、 $\hat{e_{i}}$ ， ${\hat{u}}_{i}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} ~ N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} ~ N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 $\hat{a_{1}} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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10、如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为 $6.5$ ，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 $r$ 的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则 $r =$ （）

A、 $1.5$ B、2 C、3 D、 $3.25$

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11、已知曲线 $y = e^{x - 1}$ 与曲线 $y = a ln x + a (a > 0)$ 只有一个公共点，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、e D、 $e^{2}$

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12、已知双曲线 $E$ 的中心为原点，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线夹角为 $60 °$ ，且点 $(1, 1)$ 在 $E$ 上，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或2

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13、已知函数 $f (x)$ 的周期为 $2$ ，且在 $(0, 1)$ 上单调递增，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = sinπ x$ B、 $f (x) = |sin \frac{π}{2} x|$ C、 $f (x) = cos 2 π x$ D、 $f (x) = tanπ x$

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14、已知 $\frac{sin (α + β)}{sin (α - β)} = 3$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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16、已知 $z = \frac{1 + 2 i}{2 - i}$ （i为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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17、集合 $M = \{x |\sqrt{x} < 2\}, N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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18、甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的 $A$ 类问题以及难度系数较高的 $B$ 类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，甲遇到 $A$ 类问题时回答正确的概率为 $\frac{1}{2}$ ，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到 $B$ 类问题时回答正确的概率为 $\frac{1}{4}$ ，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立．

(1)、当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望．

(2)、设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为 $G (n)$ ．
（ⅰ）证明： $\{G (n + 1) - \frac{1}{2} G (n)\}$ 为等比数列．
（ⅱ）求 $G (n)$ 的最大值以及对应n的值．

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，交于点P．点O为坐标原点，当 $△ O A B$ 为正三角形时，其面积为 $48 \sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线 $A B$ 经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线 $A B$ 的距离的最小值．

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20、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，P为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S B ∥$ 平面 $P A C$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ．

(2)、求直线 $S B$ 到平面 $P A C$ 的距离．

(3)、请判断在平面 $P A C$ 上是否存在一点E，使得 $△ E S B$ 是以 $S B$ 为底边， $\frac{2 π}{3}$ 为顶角的等腰三角形．若存在，请求出点E的轨迹；若不存在，请说明理由．

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人题号	赵	钱	孙	李	周	吴
1	√	√	×	×	√	√
2	×	√	×	√	√	√
3	√	×	×	√	×	×
4	√	×	×	×	√	×
5	×	×	√	√	√	√
得分	14	11	14	14	11