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相关试卷

1、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点F恰好是圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的圆心，过点F且倾斜角为 $45 °$ 的直线l与C交于不同的A，B两点，则 $|A B| =$ ．

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2、若函数 $f (x) = \frac{m cos x}{1 + e^{x}} - cos x$ 为奇函数，则实数m的值为．

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3、费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点 $P$ 为双曲线 $(F_{1}, F_{2}$ 为焦点）上一点，点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ .已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, O$ 为坐标原点，点 $P (3, \frac{\sqrt{5}}{2})$ 处的切线为直线 $l$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $M$ ，若 $|O M| = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4、如图l，在高为h的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = a$ ， $A B ⊥ A C$ ，现往该容器内灌进一些水，水深为 $h^{'}$ ，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 $A_{1} B_{1} C$ （如图2），则 $\frac{h^{'}}{h}$ =（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、已知两个等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的首项分别为1和2，且 $a_{10} + b_{10} = 30$ ，则数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前20项的和为（）

A、165 B、630 C、60 D、330

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6、已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 3)$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $m$ 为（）

A、-4 B、-3 C、4 D、3

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7、通过抛掷骰子产生随机数列 $\{a_{n}\}$ ，具体产生方式为：若第 $k (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ 次抛掷得到点数 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，则 $a_{k} = i$ ．记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, X_{n}$ 为 $S_{n}$ 除以4的余数．

(1)、若 $n = 2$ ，求 $S_{2} = 4$ 的概率；

(2)、若 $n = 2$ ，比较 $P (X_{2} = 0)$ 与 $P (X_{2} = 3)$ 的大小，说明理由；

(3)、若 $n = 20$ ，设 ${(x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})}^{20} = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{120} x^{120}$ ，试确定该展开式中各项系数与事件 $S_{n} = j (j \in N_{+}, j \leq 120)$ 的联系，并求 $X_{20} = 0$ 的概率．

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $P (4, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 上方），当 $l$ 的斜率为 $- \frac{1}{4}$ 时，点 $A$ 恰与椭圆的上顶点重合．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $M (1, 0)$ ，设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，设 $△ A M B$ 的外接圆圆心为 $E$ ，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ．
（ⅰ）求 $k_{1} + k_{2}$ 的值；
（ⅱ）求证： $M E ⊥ P D$ ．

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9、已知 $f (x) = x ln (x - 1) - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求a的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 有极大值m，求证： $m < - 4.$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ 成公差为2的等差数列．

(1)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求a的取值范围；

(2)、若 $7 sin A = 3 sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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11、三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1： $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C sin A = \frac{1}{2} \vec{A B} \cdot \vec{A C} tan A$ ；
性质2：对于 $△ A B C$ 内任意一点P，有 $\vec{A B} \cdot \vec{A P} + \vec{B C} \cdot \vec{B P} + \vec{C A} \cdot \vec{C P} = \vec{A B} \cdot \vec{A C} + \vec{B C} \cdot \vec{B A}$ $+ \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ ；
性质3： $△ A B C$ 内存在唯一一点P，使得 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ．这个点P称为 $△ A B C$ 的“勃罗卡点”，角α称为 $△ A B C$ 的“勃罗卡角”．
若 $△ A B C$ 的三边长分别为1，1， $\sqrt{3}$ ，根据以上性质，可以计算出 $△ A B C$ 的“勃罗卡角”的正切值为．

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 各项不为零，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，则 $a_{13} =$ ．

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13、已知集合 $A = \{x |ln x < 1\}$ ， $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为．

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14、已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的连续函数，满足 $\forall x, y \in R$ 有 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = 1$ ．则下列说法中正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的一个周期为6 D、 $(\frac{3}{2}, 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心

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15、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为6，点P为线段 $A_{1} B$ 上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（）

A、三棱锥 $P - C_{1} C D$ B、三棱锥 $P - B_{1} D_{1} D$ C、三棱锥 $P - D_{1} B_{1} C$ D、三棱锥 $P - D_{1} A C$

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16、现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩（单位：环）如下表所示：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
7
7
8
9
8
9
10
9
9
9
乙
8
9
7
8
10
7
10
10
7
10
依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是（）

A、甲的平均成绩高于乙的平均成绩 B、预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛 C、预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛 D、预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛

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17、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， P为双曲线C第一象限上一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线为l，过点O作 $P F_{2}$ 的平行线，分别与 $P F_{1}$ ， l交于M，N两点，若 $|M N| = \frac{2}{3} |P F_{2}|$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、20 B、12 C、24 D、10

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18、直线 $y = 2 x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于A，B两点， $|O A| = \sqrt{5}$ ，则 $|O B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，若 $a_{2} + 4 a_{4} = 4 a_{3}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x, x < 0 \\ 2^{x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则方程 $f (x) = 8$ 所有的根之和为（）

A、1 B、2 C、5 D、7

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次数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
甲	7	7	8	9	8	9	10	9	9	9
乙	8	9	7	8	10	7	10	10	7	10