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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln x - x + a$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，证明：当 $x \geq 1$ 时， $f (x) + x \leq (x - 1) e^{x - a} + 1$ ．

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2、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A B$ $∥$ $C D, A B = A D = P D = 2, C D = 4, E$ 为 $P C$ 边上一点，且 $E C = 2 P E$ ．

(1)、证明： $P A$ $∥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值．

(3)、求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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3、近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中 $x$ 为年份代号， $y$ （单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
新增新能源汽车 $y /$ 万辆
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8

(1)、计算样本相关系数 $r$ ，判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，当 $|r| \in [0.75, 1]$ 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据： $\sqrt{43.6} \approx 6.603$ .参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x, r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} = 3 b c sin A$ ，则 $\frac{{(b + c)}^{2}}{b c}$ 的取值范围为.

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5、已知集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ，若集合 $M$ 满足 $A$ ⫋ $M \subseteq B$ ，则这样的集合 $M$ 共有个.

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若 $\forall x \in R, y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x y) - f (x) f (y)$ ，且 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) + f (- 1) = 0$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别是 $A, B, M$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点（不与 $A, B$ 重合），则（）

A、 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长与点 $M$ 的位置无关 C、 $|M F_{1}|$ 的取值范围为 $(1, 2)$ D、直线 $M A$ 与直线 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$

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8、 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中（）

A、前三项系数之和为112 B、二项式系数最大的项是第3项 C、常数项为240 D、所有项的系数之和为1

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9、已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为 $35 π$ ，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（）

A、 $\frac{125}{148}$ B、 $\frac{127}{148}$ C、 $\frac{127}{125}$ D、 $\frac{148}{125}$

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10、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ 与 $y$ 轴相切于 $A$ 点，过 $A$ 点的直线 $l$ 交圆 $M$ 于另一点 $B$ ，点 $F (0, 3), O$ 为坐标原点，若 $\frac{|A O|}{|A F|} = \frac{|B O|}{|B F|}$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x - 2 y + 4 = 0$ B、 $2 x - y + 2 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $3 x - 2 y + 4 = 0$

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11、若函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在区间 $(1, 2)$ 上有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(e, e^{2})$ D、 $(e^{2}, + \infty)$

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12、正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当 $n (n \in N^{*})$ 很大时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \approx ln n + γ$ ，其中 $γ$ 称为欧拉-马歇罗尼常数， $γ \approx 0.577215664901 \dots$ .若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{1200}]$ 的值为（）（参考数据： $ln 2 \approx 0.69, ln 3 \approx 1.10, ln 10 \approx 2.30$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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13、将函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称，则 $ω$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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14、设函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x (x - a)}$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 4), \vec{b} = (2, x)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、8 B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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16、已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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17、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n}$ 是 $S_{n}$ 和8的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{12} \leq T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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18、已知函数 $f (x) = \tan (π x - \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、1是 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x)$ 的定义域为 $\{x |x \neq k + \frac{π}{6}, k \in Z\}$ C、 $f (- \frac{1}{4}) < f (\frac{1}{4})$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{1}{6}, 0)$ 对称

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19、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 、 $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 2$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 4$ ， $C C_{2} = 6$ ．

(1)、求证： $B_{2} C_{2} // A_{2} D_{2}$ ；

(2)、求三棱锥 $A - A_{2} C_{2} D_{2}$ 的体积；

(3)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 大小为 $\frac{5 π}{6}$ 时，求线段 $B_{2} P$ 的长．

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20、已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 110$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 1) (a_{n} + 1)}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 前n项和 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4	5
新增新能源汽车 $y /$ 万辆	1.2	1.8	2.5	3.2	3.8