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相关试卷

1、如图，已知抛物线 $x^{2} = y$ .点A $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}) ， B (\frac{3}{2} ， \frac{9}{4})$ ，抛物线上的点P（x，y） $(- \frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{3}{2})$ ，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求 $|P A| \cdot |P Q|$ 的最大值

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以AD为斜边的等腰直角三角形， $B C / / A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = A D = 2 D C = 2 C B = 2$ ， E为PD的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面PAB；

(2)、求直线CE与平面PAB间的距离.

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3、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 5, ∠ B A C = 60^{\circ}, B C, A C$ 边上的两条中线 $A M, B N$ 相交于点 $P$ ，则 $∠ M P N$ 的余弦值为.

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5、长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为．

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6、已知P是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点， $Q (m, 0)$ （ $m > 0$ ），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为 $Γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m = 2$ 时， $Γ$ 是抛物线 B、当 $0 < m < 2$ 时， $Γ$ 是离心率为 $\frac{m}{2}$ 的椭圆 C、当 $m > 2$ 时， $Γ$ 是离心率为 $\frac{m}{2}$ 的双曲线 D、若 $Γ$ 与圆O有公共点，则m的取值范围为 $(2, 6]$

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7、已知函数 $f (x) = \cos^{4} x - 2 \sin x \cos x - \sin^{4} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个极小值点 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}]$ 上递增 D、方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, 4 π)$ 上所有根的和为 $19 π$

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8、已知 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为15，则（）

A、 $n = 6$ B、展开式中，中间项的系数为 $C_{6}^{4}$ C、展开式中，奇数项的系数和为32 D、当 $x = 10$ 时， ${(1 + x)}^{n}$ 的末两位数字是61

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9、音量大小用声强级 $η$ （单位：dB）表示，声强级 $η$ 与声强I（单位： $W / m^{2}$ ）的关系是： $η = 10 \lg \frac{I}{I_{0}}$ ，其中 $I_{0}$ 指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1 $W / m^{2}$ ，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为 $[70, 80]$ （单位：dB），则下列选项中错误的是（）

A、 $I_{0} = 10^{- 12}$ （单位： $W / m^{2}$ ） B、学生早读期间读书的声强范围为 $[10^{- 5}, 10^{- 4}]$ （单位： $W / m^{2}$ ） C、如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D、如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍

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10、已知 $\tan α = - \frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $- \frac{3}{10}$

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11、以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（）

A、70 B、66 C、62 D、58

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12、学校开运动会，设 $A = {x | x$ 是参加100m跑的同学 $}$ ， $B = {x | x$ 是参加200m跑的同学 $}$ ， $C = {x | x$ 是参加400m跑的同学 $}$ ，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（）

A、 $A \cup B$ B、 $A \cap C$ C、 $A \cap B \cap C = \emptyset$ D、 $(A \cap B) \cup C = C$

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13、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 60 - 12 \sqrt{3}$ B、 $- 84$ C、 $- 72$ D、 $- 60$

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14、已知集合 $U = {x |x 是小于 9 的正整数}$ ， $A = {1, 3, 5}$ ，则 $∁_{U} A$ 中元素个数为（）

A、0 B、3 C、5 D、8

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15、已知函数 $f (x) = - m x + ln x + 1 ， g (x) = cos x + x sin x - 1 ．$

(1)、求 $g (x)$ 在区间 $[0, π]$ 的最大值和最小值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(3)、若 $m > \frac{1}{2}$ ，对任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, π]$ ，使得不等式 $f (x_{1}) - g (x_{2}) > 1$ 成立，试求实数m的取值范围．

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $4 f (x - 1) - 3 f (x - 2) \geq f (x) \geq 3 f (x - 1) - 2 f (x - 2)$ ，且 $f (1) = 1,$ $f (2) = 2$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (5) < 10$ B、 $f (5) > 50$ C、 $f (10) < 100$ D、 $f (10) > 500$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{a + sin x}{e^{x}}, a \in R, e$ 为自然对数的底数．

(1)、若函数 $f (x)$ 存在单调递增区间，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 0$ ，试讨论方程 $f (x) = \frac{cos x}{x}$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上解的个数；

(3)、求证：对任意的 $a \geq 0$ ， $x \in [- 1, 1]$ ，恒有 $e^{1 - 3 x} > 2 f^{'} (x)$ 成立．

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18、2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空，鹊桥二号中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为嫦娥四号，嫦娥六号等任务提供地月间中继通信．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为 $n$ 的样本进行调查，调查结果如下表：
学生群体
关注情况
合计
关注
不关注
大学生
$\frac{1}{2} n$
$\frac{7}{10} n$
高中生
合计
$\frac{3}{5} n$

(1)、完成上述列联表，若依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量 $n$ 的最小值；

(2)、该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知某同学答出三个问题的概率分别是 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，回答三个问题正确与否相互独立，则该同学选择哪种方案晋级的可能性更大？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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19、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos B = \frac{a - c}{2 c}$ .

(1)、求证： $B = 2 C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形且 $c = 1$ ，求a的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = - \frac{1}{a^{x} + 1} + \frac{x - 1}{a x}$ ，其中 $a$ 为常数，且 $a > 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上有唯一的零点．

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学生群体	关注情况		合计
学生群体	关注	不关注	合计
大学生	$\frac{1}{2} n$		$\frac{7}{10} n$
高中生
合计	$\frac{3}{5} n$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828