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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{1 - \sin A}{\cos A} = \frac{\sin B}{\cos B}$ ．

(1)、求 $A + 2 B$ 的值；

(2)、若 $a^{2} + 2 c^{2} \geq λ b^{2}$ ，求 $λ$ 的最大值．

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2、已知 $f (x) = \sqrt{3} \cos 2 x + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + x) \sin (π - x)$ ， $x \in R$ ，
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = - \sqrt{3}$ ， $a = 4$ ，求 $B C$ 边上的高的最大值．

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3、某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.

(1)、已知制作这种油罐的材料单价为1.5万元/m² ，则制作一个油罐所需费用为多少万元？

(2)、已知该油罐的储油量为0.95吨/m³ ，则一个油罐可储存多少吨油？

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4、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是120，E为 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.

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5、已知 $\vec{e}$ 为单位向量， $|\vec{a}| = 6$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量是.

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = b \cos C + c cos B$ B、若 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，且 $2 \cos A \sin B = \sin C$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形 C、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、在 $△ A B C$ 中， $a = 1, b = x, ∠ A = 30^{\circ}$ ，则使 $△ A B C$ 有两解的 $x$ 的范围是 $(1, 2)$

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7、先将函数 $f (x) = \sin x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图像，则关于函数 $g (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递增 B、图像关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称 C、在 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、最小正周期为π，图像关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称

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8、已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i}$ 的虚部为 $\frac{3}{2}$ B、复数 $z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若复数z满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$

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9、已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是 $\sqrt{6}$ ，则这个正三棱锥的侧面积为（）

A、27 B、 $9 \sqrt{3}$ C、9 $\sqrt{6}$ D、 $9 \sqrt{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $3 \vec{E D} = 2 \vec{A D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{5}{6} \vec{A C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b}{2 a}, a^{2} - 3 a = b^{2} - 3, c = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $E, F$ 为边 $A B$ 上的动点（不包括端点），且满足 $C E ⊥ C F$ ，求 $△ C E F$ 的面积的取值范围．

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12、已知i为虚数单位， $i^{3} + i^{5} =$ ．

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13、如图，在单位圆 $O$ 中，向量 $\vec{O B}, \vec{O C}, \vec{A O}$ 是（）

A、有相同起点的向量 B、单位向量 C、模相等的向量 D、相等的向量

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14、已知 $2 \sin (2 θ - \frac{π}{2}) = 1 + \sin 2 θ$ ，则 $\tan θ$ 的所有取值之和为（）

A、－5 B、－6 C、－3 D、2

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15、在 $△ A B C$ 中，三角形三条边上的高之比为 $2 : 3 : 4$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 3 c$ ，且 $c = \frac{1}{3} b$ ，则角 $A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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17、已知 $cos α = - \frac{7}{9}, α \in (π, \frac{3}{2} π)$ ，则 $cos \frac{α}{2} =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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18、复数 $i (2 - 3 i) =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $- 3 + 2 i$

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19、设函数 $f^{'} (x)$ 是定义在 $(0 ， π)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数，有 $f^{'} (x) \cos x - f (x) \sin x > 0$ ，若 $a = 0 ， b = \frac{1}{2} f (\frac{π}{3})$ ， $c = - \frac{\sqrt{2}}{2} f (\frac{3 π}{4})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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20、在① $\sin A \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin^{2} A + \sin^{2} C - \sin^{2} B)$ ；② $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{\sin C}{\sqrt{3} \sin A \cos B}$ ；③设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 \sqrt{3} S + 3 (b^{2} - a^{2}) = 3 c^{2}$ .这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________，且 $b = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $a + c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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