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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln (a x) + (a - 1) x - e^{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) < - 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、由四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $D_{1} - A_{1} D C_{1}$ 后得到如图所示的几何体，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 4, B D = 2, O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $B_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B_{1} O$ $/ /$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；

(2)、若二面角 $O - A_{1} C_{1} - D$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求平面 $A_{1} D C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的大小.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (cos C + 1) = c (2 - cos B)$ .

(1)、证明： $a + b = 2 c$ ；

(2)、若 $c = 5, cos C = \frac{9}{16}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 3) = 0.66$ ，则 $P (X < 1) =$ .

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5、某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度 $h$ （单位：m）与时间 $t$ （单位：s）存在函数关系 $h (t) = - 2 t^{2} + 6 t + 9$ ，则该小球在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为m/s.

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6、已知曲线 $C : y |y| = 4 x |x| + 4$ ，则（）

A、曲线 $C$ 在第一象限为双曲线的一部分 B、曲线 $C$ 的图象关于原点对称 C、直线 $y = 2 x$ 与曲线 $C$ 没有交点 D、存在过原点的直线与曲线 $C$ 有三个交点

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7、关于二项式 ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{3}$ 的展开式，下列说法正确的有（）

A、有3项 B、常数项为3 C、所有项的二项式系数和为8 D、所有项的系数和为0

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8、已知 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 8$ ，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ，则 ${(x_{1} + x_{2} - 2)}^{2} + {(y_{1} + y_{2})}^{2}$ 的最大值为（）

A、9 B、12 C、36 D、48

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9、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = \frac{1}{2}, 8 S_{6} = 7 S_{3}$ ，若 $λ \geq S_{n}$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10、若 $f (x) = \ln (x^{2} + 1) - \frac{1}{| x |}$ ，设 $a = f (- 3), b = f (\ln 2), c = f (2^{0.3})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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11、若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（）

A、6 B、12 C、18 D、36

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12、已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a // b$ B、若 $a // b ， a // α$ ，则 $b // α$ C、若 $a // α ， b // α ， c ⊥ a$ ，且 $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ D、若 $β ⊥ α ， γ ⊥ α$ ，且 $β \cap γ = a$ ，则 $a ⊥ α$

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13、“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， ……， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；

(2)、活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为 $\frac{22}{25}$ ，求n的值.

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14、已知向量 $\vec{m} = (sin x, sin (π - x))$ ， $\vec{n} = (2 \sqrt{3} sin x, 2 cos x)$ ，设 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (x_{0} - \frac{π}{6}) = \frac{14}{25}$ ， $x_{0} \in [\frac{3 π}{4}, π]$ ，求 $sin 2 x_{0}$ 的值.

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15、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{1}$ 的半径是2，母线 $P C = 2$ ，圆 $O_{2}$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积最大值为．

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16、若 $- 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位）为方程 $x^{2} + m x + n = 0$ （ $m, n \in R$ ）的一个根，则 $n =$ .

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17、已知向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是．

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18、如图，在多面体 $E F - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为3的正方形， $E F ∥ A B$ ， E到平面ABCD的距离为3， $E F = \sqrt{6}$ ， $E A = E D = F B = F C$ .若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $19 π$ B、 $20 π$ C、 $21 π$ D、 $22 π$

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19、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是AB、BC的中点，将 $△ A E D$ 、 $△ C F D$ 分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.

(1)、求证： $E F ⊥ P B$ ；

(2)、点M是PD上一点，若直线MF与平面 $P E F$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $M - E F - D$ 的余弦值.

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20、在① $b (1 + \cos A) = \sqrt{3} a \sin B$ ， ② $\sqrt{3} b \cos \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ， ③ $a \sin C = c \cos (A - \frac{π}{6})$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.
$△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）.

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $D$ 是BC上一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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