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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = |{log}_{2} x|$ .若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $3 x_{1} + x_{2}$ 的取值范围是．

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2、在平面直角坐标系中，若一条直线与一条圆锥曲线相交于 $A$ ， $B$ 两点，且满足 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} = {|A B|}^{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则称该圆锥曲线关于此直线是“和谐”的，该直线称为圆锥曲线的“和谐线”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和直线 $l : y = k x + m$ （其中 $k \neq 0$ ），直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、当 $m = 0$ 时，求直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长 $|A B|$ （用 $k$ 表示）；

(2)、若直线 $l$ 是椭圆 $C$ 的“和谐线”，求 $k$ 与 $m$ 的关系式；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ A O B$ 面积 $S$ 的取值范围.

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3、已知抛物线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = m x + 2$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 左侧），给定点 $A (- 1, 1)$ 、 $B (2, 4)$ 在抛物线上．

(1)、用 $m$ 表示 $x_{P} + x_{Q}$ ；

(2)、若 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $Q$ 四点共圆，求实数 $m$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，求过 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $Q$ 四点的圆的方程．

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4、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ A B C$ ， $△ A D C$ 均为等腰直角三角形，斜边分别为 $B C$ ， $A C$ ，且 $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $N$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $D N //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $N B D$ 的夹角的余弦值．

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5、已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| = 10 - |P F_{2}|$

(1)、指出动点 $P$ 的轨迹是什么曲线，并写出它的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作直线 $l$ 与曲线交于 $P$ ， $Q$ 两点， $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $P Q$ 的斜率为 $- \frac{4}{3}$ ，求经过 $P$ ， $Q$ 且以坐标轴为对称轴的双曲线的标准方程，若不存在，说明理由.

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $P$ 为棱 $A A_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 表示 $\vec{M C_{1}}$ ；

(2)、证明： $M$ 、 $P$ 、 $C_{1}$ 、 $B$ 四点共面.

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7、已知双曲线 $m x^{2} - y^{2} = 1$ ，过点 $P (1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线相交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 为弦 $A B$ 中点，则正整数 $m$ 的最小值为.

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8、已知直线 $l : y = k x - 1$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若弦 $A B$ 的长度为4，则实数 $k$ 的值为.

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9、在空间直角坐标系中，点 $P (1, 3, 3)$ 关于平面 $x O z$ 对称的点的坐标为.

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10、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 5$ ， $A D = 3$ ，点 $P$ 在底面四边形 $A B C D$ 内（含边界）运动，且满足 $B D_{1} ⊥ B_{1} P$ ，点 $M$ 是线段 $B_{1} P$ 的中点，则下列选项中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹是线段，其长度为 $\frac{3 \sqrt{34}}{5}$ B、三棱锥 $M - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为定值 C、直线 $D_{1} M$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为1 D、存在点 $M$ ，使得 $M$ 到 $A D$ 的距离为 $\frac{5}{2}$

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11、已知直线 $l : (m - 2) x + (m + 1) y - 3 m + 1 = 0$ ，则下列选项中正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$ B、若直线 $l$ 与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 平行，则 $m = 0$ C、若直线 $l$ 不经过第二象限，则 $- 1 < m \leq \frac{1}{3}$ D、原点到直线 $l$ 的距离可能为2

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12、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (0, 1, - 1)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - 2$ C、向量 $\vec{a} - \vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的模长为 $\frac{5}{3}$ D、若 $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ ，则 $x = \pm 2$

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13、已知球 $O$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球，点 $M$ 为球 $O$ 表面上一动点，且满足 $B M / /$ 面 $A D_{1} C$ ，则 $M A_{1}^{2} + M B^{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{14}{3}$ B、2 C、6 D、 $\frac{8}{3}$

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14、已知点 $P$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上运动，圆 $C^{'}$ 的圆心为椭圆的右焦点 $F$ ，半径 $r = \sqrt{3}$ ，点 $Q$ 在圆 $C^{'}$ 上，则 $|P Q|$ 的取值范围是（）

A、 $[2 - \sqrt{3}, 6 + \sqrt{3}]$ B、 $[0, 8]$ C、 $[2 - \sqrt{3}, 8]$ D、 $[1, 7]$

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15、椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4 - m^{2}} = 1$ 的离心率可能是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、过圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 外一点 $P (0, 4)$ 作圆的两条切线，切点为 $A$ 、 $B$ ，则 $△ A B P$ 的外接圆半径是（）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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17、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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18、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 2, 2)$ ，点 $A (1, 0, 1)$ 在平面内，则点 $B (2, 1, 3)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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19、双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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20、直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$ 的倾斜角是（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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