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相关试卷

1、已知正四棱锥 $O - A B C D$ 的底面边长为 $\sqrt{6}$ ，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $O C$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $60 ^{\circ}$ B、若点 $P$ 为正四棱锥 $O - A B C D$ 外接球的球心，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为4 C、若点 $M$ 在底面内（包含边界）运动， $N$ 为 $O D$ 中点，则当 $M N / /$ 平面 $O B C$ 时，点 $M$ 的轨迹长度为 $\sqrt{6}$ D、若以点 $O$ 为球心， $\sqrt{3}$ 为半径的球 $O$ 的球面与正四棱锥 $O - A B C D$ 的棱 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ， $O D$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，则多面体 $A B C D - E F G H$ 的体积为 $\frac{21}{4}$

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2、氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量 $N$ 随时间 $t$ （单位：年）的衰变规律满足关系式 $N = N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{12.43}}$ ，其中 $N_{0}$ 表示氚原有的质量，则（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.301$ ）

A、样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为 $12.43$ 年； B、经过 $24.86$ 年后，样本中的氚元素会全部消失； C、经过 $62.15$ 年后，样本中的氚元素变为原来的 $\frac{1}{32}$ ； D、若 $x$ 年后，样本中氚元素的含量为 $0.4 N_{0}$ ，则 $x > 17$ .

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3、下列说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件，则 $P (A) + P (B) = 1$ ； B、数据36，28，22，24，22，78的第80百分位数为36； C、用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{51}$ ； D、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的平均数为2，则 $3 x_{1} + 2 ， 3 x_{2} + 2 ， \dots ， 3 x_{n} + 2$ 的平均数为8.

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1 + x) + f (1 - x) = f (x)$ ， $f (0) = 2$ ，则 $f (2022) + f (2024) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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5、抛掷一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记事件 $A =$ “ $n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上”， $B =$ “ $n$ 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）

A、当 $n = 2$ 时， $P (A + B) = \frac{3}{4}$ B、当 $n = 2$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立 C、当 $n = 3$ 时， $P (A B) = \frac{3}{8}$ D、当 $n = 3$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立

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6、已知 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{6}$ ，则 $sin (α - \frac{π}{4}) + sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $- \frac{2}{9}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，平面 $A B_{1} C$ 与平面 $D D_{1} C_{1} C$ 的交线为 $l$ ，则（）

A、 $l // A_{1} D$ B、 $l // B_{1} D$ C、 $l // C_{1} D$ D、 $l // D_{1} C$

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8、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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9、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = |\sqrt{3} + i|$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、集合 $M = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ， $N = {x | l n x \leq 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[- 3, e]$ C、 $(- \infty, - 3]$ D、 $(0, e]$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 1$ ．

(1)、若 $f (x) = A cos ω x (0 < ω < π)$ ，求A与 $ω$ ；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 是偶函数；

(3)、证明函数 $f (x)$ 是周期函数；

(4)、若 $f (x)$ 的周期为T，在 $[0, \frac{T}{2}]$ 上是减函数，记 $f (x)$ 的正的零点从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ，证明 $f (x)$ 在区间 $[0, 2024 T]$ 上有4048个零点，且 $x_{2} - x_{1} = x_{3} - x_{2} = \dots = x_{4048} - x_{4047}$ ．

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12、如图，已知 $A B$ 为圆O的直径，D为线段 $A B$ 上一点，且 $A D = \frac{1}{3} D B = 1$ ， $C$ 为圆O上一点，且 $B C = \sqrt{3} A C$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P D = D B$ ．

(1)、求 $C D$ ；

(2)、求证： $P A ⊥ C D$ ；

(3)、求三棱锥 $B - P O C$ 的体积．

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13、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 2 a x - a$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，且 $a + e^{x} + \ln (x + 1) \geq 0$ 对任意的 $x \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围是．

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14、已知函数 $f (x) = \lg (\frac{2}{x - 1} + a)$ ， $a \in R$ ．
(1)若函数 $f (x)$ 是奇函数，求实数 $a$ 的值；
(2)在(1)的条件下，判断函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = \lg 2^{x}$ 的图象公共点个数，并说明理由；
(3)当 $x \in [1, 2)$ 时，函数 $y = f (2^{x})$ 的图象始终在函数 $y = \lg (4 - 2^{x})$ 的图象上方，求实数 $a$ 的取值范围．

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15、如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D = 6 \sqrt{2}$ ， $\tan A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\cos ∠ A D B = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $\cos ∠ B D C$ 的值；

(2)、求 $B C$ 的长．

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16、如图，直角三角形 $P Q R$ 的三个顶点分别在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 上，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ， $Q R = 2$ ， $∠ P Q R = \frac{π}{2}$ ，则 $A B$ 长度的最大值为

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17、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = |\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}| = 1$ ，则 $|\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}| =$ .

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18、四边形ABCD是复平面内的平行四边形， $A, B, C$ 三点对应的复数分别是 $1 + 3 i$ ， $2 - i$ ， $- 3 + i$ ，则点D对应的复数为．

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19、给出以下命题正确命题的选项为（）

A、要得到 $y = \cos 2 x$ 的图象，只需将 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 图象沿 $x$ 轴方向向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、函数 $y = \sin (x + \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{6} - x)$ 的最大值为2 C、定义运算 $\otimes : a \otimes b = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，则 $f (x) = \sin x$ 且 $g (x) = \cos x (x \in R)$ ，设 $F (x) = f (x) \otimes g (x)$ ，则 $F (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ D、函数 $f (x) = - 4 \sin^{2} x + 4 \cos x + 1 - a$ ，当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 等时 $f (x) = 0$ 恒有解，则 $a$ 的范围是 $[- 4, 5]$

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20、下列说法中正确的有（）

A、设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，那么它的体积为 $\sqrt{3}$ B、用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4} a^{2}$ C、三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D、已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

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