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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{n}{x}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有唯一零点；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ ．
（i）数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明： $2 (\sqrt{n + 1} - 1) < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq \frac{n + 1 + ln n}{2}$ ．

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2、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立.

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元．记 $n (n \geq 10)$ 局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ 的最大值．

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的正弦值．

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4、设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ ，其中 $a < b < c$ ．若 $f (1 + x) f (2 - x) \leq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + b + c =$ ．

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5、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ ．

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6、已知点 $A$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上， $\vec{A B} = (2, 0)$ ，则原点 $O$ 与 $B$ 的最短距离为．

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义： ${‖A B‖}_{n} = {({|x_{1} - x_{2}|}^{n} + {|y_{1} - y_{2}|}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ ．若 $s, t \in N^{*}$ ，且 $s < t$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A, B$ 关于x轴对称，则 ${‖A B‖}_{s} = {‖A B‖}_{t}$ B、若 $A, B$ 关于直线 $y = x$ 对称，则 ${‖A B‖}_{s} \geq {‖A B‖}_{t}$ C、若 ${‖O A‖}_{s} = 2 {‖O B‖}_{s}$ ，则 ${‖O A‖}_{t} = 2 {‖O B‖}_{t}$ D、若 $P = \{M |{||A M||}_{s} \leq 1\}$ ， $Q = \{M {|||A M||}_{t} \leq 1\}$ ，则 $P \subseteq Q$

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8、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x) \geq g (x)$ （当且仅当 $x = 0$ 时，等号成立），则下列结论可能正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \leq g (0)$ B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \geq g (0)$ C、 $\forall x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) \leq f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$ D、 $\exists x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) < f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x \geq 2 \\ k x, x < 2 \end{array}$ 有最大值，则 $k$ 的最大值为（）

A、 $\frac{ln 2}{4}$ B、 $\frac{ln 2}{2}$ C、 $\frac{1}{2 e}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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10、已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11、已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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12、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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13、已知 $A (4, 0)$ 和 $P (2, \sqrt{2})$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 切于点 $P$ .

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $△ A B P$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $l$ 的方程.

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14、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点 $D$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $30 °$

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15、九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件 $A = “ a + b \geq 9$ ”，则 $P (A)$ 的值为.
$a$
$d$
$f$
$b$
5
$g$
$c$
$e$
$h$

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16、设 $2024^{a} = 2025, b = {log}_{2023} 2026, 2022^{c} = 2026$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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17、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\}, B = \{x ∣ x^{2} - x \leq 0\}$ ，若 $B \cap A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[0, 1]$ D、 $(1, + \infty)$

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18、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{2}{x + 1} + \frac{8}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、17 B、16 C、15 D、14

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19、已知随机变量 $ξ$ 的取值为非负整数，其分布列为：
$ξ$
0
1
2
…
n
P
$p_{0}$
$p_{1}$
$p_{2}$
…
$p_{n}$
其中 $p_{i} \in [0, 1]$ ，且 $\sum_{i = 0}^{n} p_{i} = 1$ ．由 $ξ$ 生成的函数为 $f (x) = \sum_{i = 0}^{n} p_{i} x^{i}$ ， $D (ξ) = \sum_{i = 0}^{n} {(i - E (ξ))}^{2} \cdot p_{i}$ ．

(1)、若 $ξ$ 生成的函数为 $f (x) = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} x + \frac{2}{5} x^{3} + \frac{3}{10} x^{5}$ ，当 $ξ$ 为奇数时，求 $P (ξ)$ 的值；

(2)、在盒①中有1个红球，在盒②中有2个蓝球和4个绿球，随机选盒取出1个球，选择盒①的概率为 $\frac{1}{7}$ ．已知随机变量 $ξ$ 生成的函数为 $f (x) = \sum_{i = 0}^{3} p_{i} x^{i}$ ，其中 $p_{i} (i = 1, 2, 3)$ 分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率．证明： $D (ξ) = f^{″} (1) + f^{'} (1) - {[f^{'} (1)]}^{2}$ ，并计算 $D (ξ)$ 的值；（ $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ）

(3)、已知三个自然数的和为9，用 $ξ$ 表示这三个数中最小的数，此时由 $ξ$ 生成的函数记为 $t (x)$ ，令 $g (x) = t^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的极小值点．

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20、如图1，在平面多边形 $A P B C D$ 中， $△ A P B$ 为直角三角形， $∠ D A B = \frac{2 π}{3}$ ， $A D ∥ B C$ ， $2 P A = 2 A B = 2 B C = A D$ ．如图2，现将 $△ A P B$ 沿轴 $A B$ 向上翻折到图中的 $△ A P^{'} B$ 处，此时 $P^{'} C ⊥ C D$ ， $2 P^{'} M = M D$ ．

(1)、证明： $C D ⊥ P^{'} A$ ；

(2)、证明： $P^{'} B / /$ 平面 $M A C$ ；

(3)、求平面 $M A C$ 与平面 $P^{'} A B$ 夹角的余弦值．

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P	$p_{0}$	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{n}$