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相关试卷

1、 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ .若在区间 $(- 2, 6]$ 内关于x的方程 $f (x) - \log_{a} (x + 2) = 0 (a > 1)$ 至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[\sqrt[3]{4}, 2)$ D、 $(1, \sqrt[3]{4})$

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2、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ．若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{M B}$ ，点 $N$ 为 $A B$ 中点，则 $\vec{D M} \cdot (\vec{D A} + \vec{D N}) =$ （）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $24$ D、 $30$

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3、已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（）

A、 $64 \sqrt{6} π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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4、 $2018$ 年 $9$ 月 $24$ 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 $89$ 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在 $1859$ 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数大约可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{\ln x}$ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计 $10000$ 以内的素数个数为（）（素数即质数， $\lg e \approx 0.43$ ，计算结果取整数）

A、 $1079$ B、 $1075$ C、 $434$ D、 $2500$

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5、在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $\frac{7 π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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6、i是虚数单位，若复数 $z = \frac{i^{6} + 2 i}{1 + i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

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7、用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为 $75 \sqrt{3} m^{2}$ 的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底 $A D$ ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成 $60 °$ ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．

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8、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 B、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 C、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 D、若各项为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $1 \leq a_{n} \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列

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9、若a，b，l是空间中三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（）

A、若 $a // β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = l$ ，则 $a // l$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $a ⊥ l$ ，则 $a ⊥ β$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a // b$ ，则 $α // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a ⊥ b$

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10、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 1, 2)$ ， $B (- 1, 2, 2)$ ， $C (- 3, 1, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、若 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 互相垂直，求 $λ$ 的值；

(2)、求点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离．

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11、已知 $A (1, 3, 2)$ ， $B (- 1, 4, 1)$ ， $C (5, y, z)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $2 y - z =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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12、折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A， $B$ 间的圆弧长为 $l_{1}$ ， $C$ ， $D$ 间的圆弧长为 $l_{2} = \frac{1}{2} l_{1}$ ，当弦长 $A B$ 为 $d = 2 \sqrt{3}$ ，圆弧所对的圆心角为 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，则扇面字画部分的面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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13、定义：如果函数 $f (x)$ 在定义域内，存在极大值 $f (x_{1})$ 和极小值 $f (x_{2})$ ，且存在一个常数 $k$ ，使 $f (x_{1}) - f (x_{2}) =$ $k (x_{1} - x_{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为极值可差比函数，常数 $k$ 称为该函数的极值差比系数.已知函数 $f (x) = x -$ $\frac{1}{x} - a ln x$

(1)、当 $a = \frac{5}{2}$ 时，求 $k$ ；

(2)、是否存在 $a$ 使 $f (x)$ 的极值差比系数为 $2 - a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、若 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$ ，求 $f (x)$ 的极值差比系数的取值范围.

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，定义椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 的“伴随点”为 $N (\frac{x_{0}}{a}, \frac{y_{0}}{b})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 的“伴随点” $N$ 的轨迹方程；

(2)、如果椭圆 $C$ 上的点 $(1, \frac{3}{2})$ 的“伴随点”为 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2 b})$ ，对于椭圆 $C$ 上的任意点 $M$ 及它的“伴随点” $N$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 2, b = \sqrt{3}$ 时，直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点 $O$ ，求 $△ O A B$ 的面积.

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15、已知不等式 $e^{(1 - a) x} > a x + ln x$ 在区间 $(0, e^{2}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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16、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为.

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17、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（）

A、从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为 $ξ$ ，则数学期望 $E (ξ) = \frac{3}{2}$ B、每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为 $η$ ，则 $D (η) = \frac{9}{8}$ C、从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有 $X$ 种，则数学期望 $E (X) = \frac{17}{8}$ D、每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为 $Y$ ，则数学期望 $E (Y) = \frac{3}{5}$

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18、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导数，且 $f (x) + g^{'} (x) = 5$ ， $f (x - 1) + g^{'} (5 - x) = 5$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $\sum_{k = 1}^{15} f (k) =$ （）

A、80 B、75 C、70 D、65

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19、已知 $f (x) = \ln x - \frac{x - 1}{x + 1}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $y = 0$ C、 $3 x - 2 y - 3 = 0$ D、 $x -2 y - e =0$

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20、在边长为 $1$ 的正三角形 $A B C$ 中， $|\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{B C}|$ 的值为

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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