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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} + a ln (x + 1)$ ，下列正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 0)$ 对称 B、当 $a = 1$ 时， $\forall x \in (0, + \infty), f (x) > 0$ 恒成立 C、若函数 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上有两个不同的极值点，则 $a \in (0, \frac{1}{2})$ D、若函数 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上有两个零点，则 $a \in (- \infty, 0)$

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2、李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布， $X ~ N (μ_{1}, 6^{2})$ ， $Y ~ N (μ_{2}, 2^{2})$ ． X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（）
（参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ B、 $P (X \leq 38) < P (Y \leq 38)$ C、 $P (12 \leq X \leq 42) > P (28 \leq Y \leq 38)$ D、为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间

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3、已知函数 $f (x) = - \frac{x}{e^{x}}$ ，若 $0 < a < 1, 0 < b < 1$ 且满足 $a e^{a + 1} = b e^{b}$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b)$ B、 $f (a) < f (b)$ C、 $f (a) = f (b)$ D、 $f (a), f (b)$ 的大小关系不能确定

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4、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于 $- 1$ 的位置的概率为（）

A、 $\frac{5}{32}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5、为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 7.879) = 0.005$ ，下列结论不正确的是（）
锻炼
合计
不经常
经常
女生
15
5
20
男生
10
m
n
合计
25
25
50

A、 $m = 20$ B、若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为 $\frac{1}{2}$ C、变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 D、变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005

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6、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）

A、36 B、48 C、60 D、72

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7、 $(x - y) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、0 B、10 C、 $- 20$ D、20

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8、下列函数求导正确的是（）

A、 $y = π^{2}, y^{'} = 2 π$ B、 $y = {log}_{2} x, y^{'} = \frac{1}{x}$ C、 $y = e^{- 2 x}, y^{'} = - 2 e^{- 2 x}$ D、 $y = cos \frac{x}{3}, y^{'} = - sin \frac{x}{3}$

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9、已知两个等差数列 $2, 6, 10, \cdot \cdot \cdot, 190$ 及 $2, 8, 14, \cdot \cdot \cdot, 200$ ，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 $\{b_{n}\}$ ，则 $b_{5} =$ （）

A、45 B、50 C、54 D、60

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10、已知离散型随机变量 $X$ 的方差为1，则 $D (2 X - 1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $p$ 和 $1 - p$ （ $0 < p < 1$ ）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $q$ 和 $1 - q$ （ $0 < p < 1$ ）．假设发送信号0和1是等可能的．

(1)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为 $Z$ ，求 $Z$ 的数学期望 $E (Z)$ 和方差 $D (Z)$ ；

(2)、随机变量 $M$ 的分布列为 $P (M = m_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，记事件 $M = m_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）发生后给我们的信息量为 $X = - {log}_{4} p_{i}$ ，则称 $H (M) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {log}_{4} p_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）为 $M$ 的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为 $M_{1}$ ，求 $M_{1}$ 的信息熵 $H (M_{1})$ 的最大值；

(3)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，发送信号 $n$ 次，设 $X$ 为出现0的总次数， $Y$ 为第 $n$ 次出现1的次数（0或1次），记 $p (x_{1}, y_{1})$ 表示发送信号 $n$ 次，0恰好出现 $x_{1}$ 次且第 $n$ 次出现1的次数为 $y_{1}$ 的概率，如 $n = 4$ 时， $p (0, 1) = \frac{1}{16}$ ．对于随机变量 $X, Y$ ，记其合并熵为 $H (X, Y) = - [(\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0)) {log}_{4} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) {log}_{4} p (x_{i}, 1)]$ ，且 $\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) = 1$ ．证明：当 $n > 3$ 时， $H (X, Y) < \frac{n}{2} - \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

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12、树人中学篮球训练营有一项三人间的传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ， $n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$

(1)、写出 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值；

(2)、求 $p_{n + 1}$ 与 $P_{n}$ 的关系式 $(n \in N^{*})$ ，并求 $P_{n}$ ；

(3)、第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X，求X的期望．

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13、设 $C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ 被9除所得的余数为m，则 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中的常数项为．

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14、给出下列说法，其中正确的有（）

A、随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 60, D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 1.5) = 0.34$ ，则 $P (X < 0.5) = 0.34$ C、一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 4 x + 5$ ，若 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 30$ ，则 $\bar{y} = 25$ D、对于独立性检验，随机变量 $χ^{2}$ 的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

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15、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ ，则方程 $3 f (x) + x - 1 = 0$ 的根个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x, x \in [0, 2] \\ 2 f (x - 2), x \in (2, + \infty) \end{cases}$ ，则 $f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程为（）

A、 $8 x + y - 40 = 0$ B、 $2 x + y - 10 = 0$ C、 $2 x - y - 10 = 0$ D、 $2 x + y - 2 = 0$

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17、为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（）

A、老年男性志愿者人数为90 B、老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 C、青年女性志愿者人数为72 D、中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数

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18、定义二阶行列式 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ，则“ $|\begin{array}{l} x & 1 \\ 2 x & x \end{array}| > |x|$ ”是“ $x^{2} -$ $4 x > 0$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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19、两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{6}}{b_{5}}$ 的值等于．

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20、

(1)、若 $θ$ 为 $△ A B C$ 的一个内角，且关于x的方程 $5 x^{2} + x + m = 0$ 的两根为 $\sin θ$ ， $\cos θ$ ．求 $\tan θ$ 的值，并判断 $△ A B C$ 的形状．

(2)、是否存在角 $α$ 和 $β$ ，当 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, π)$ 时，方程组 $\{\begin{cases} \sin (2025 π - α) = \sqrt{2} \cos (\frac{2025 π}{2} - β) \\ \sqrt{3} \cos (2026 π - α) = - \sqrt{2} \cos (10001 π + β) \end{cases}$ 有解？若有解，则求出 $α$ 和 $β$ 的值；若无解，请说明理由．

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	锻炼		合计
	不经常	经常	合计
女生	15	5	20
男生	10	m	n
合计	25	25	50