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相关试卷

1、下列选项中正确的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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2、设函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， |φ| ＜ \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则f（0）＝

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3、已知一个袋子中有x个红球，y个黑球， $(x, y \in N^{*}, y \geq 2)$ ，这些球除颜色外完全相同.

(1)、当 $x = 1$ ， $y = 2$ 时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.
①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率；
②若规定甲乙摸球次数的总和达到 $2 n (n \in N^{*})$ 时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求 $E (X)$ .

(2)、将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, x + y$ 的盒子中，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k (k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, x + y)$ 的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数， $E (X)$ 是X的数学期望，求证：当 $x > y$ 时， $E (X) < \frac{1}{2 (y - 1)}$ .

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4、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - 3 ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求不等式 $f (x) \geq 2 {(x - 1)}^{2} + \frac{5}{2}$ 的解集．

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5、甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为.

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6、若 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z} - 1} =$ .

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7、已知 $l$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 的切线，且 $l$ 交圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、4

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8、已知 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x)$ 不是常函数，则命题“ $f (x)$ 是周期函数”是“ $f^{'} (x)$ 是周期函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（）

A、12 B、9 C、6 D、15

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10、已知 $\sin (α - β) = n$ ， $\tan α = 3 \tan β$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $- 2 n$ B、 $- \frac{n}{2}$ C、 $\frac{n}{2}$ D、 $2 n$

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11、在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2} x)}^{n}$ 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{6}$ 的系数是（）

A、 $\frac{45}{4}$ B、 $- \frac{35}{8}$ C、 $\frac{35}{8}$ D、7

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12、已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 18$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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13、牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $x = r$ 是函数 $y = f (x)$ 的零点，即 $f (r) = 0$ ．选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L$ ， $L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ，若 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则直线 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{2}$ ，重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列 $\{x_{n}\}$ ： $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ，也称为牛顿数列，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - x_{n - 1}| < ε$ 时，则 $x_{n}$ 为近似解．

(1)、设 $f (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ ，当 $x_{0} = - 1$ 时，试用牛顿法求方程 $f (x) = 0$ 满足精确度 $ε = 0.5$ 的近似解（保留两位小数）；

(2)、设 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ 的两个零点分别为 $α, β (α < β)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x)$ 的牛顿数列，若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = ln \frac{x_{n} - α}{x_{n} - β} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 2, x_{n} > β$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(3)、设 $f (x) = x + ln x$ ，若 $x_{n + 1} = g (x_{n}), h (x) = - (x + 1) g (x) - ln x + e^{x} - e^{- x}$ ，函数 $h (x)$ 的最小值为 $m$ ，证明： $m < \sqrt{e} - \frac{3}{4}$ ．

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14、为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下：
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
1
2
3
4
5
销售额W
4
9
14
18
$m (m > 0)$

(1)、当 $m = 20$ 时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）；

(2)、根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为 $W = \hat{b} x - 1.3$ ，销售额W的方差为52.4，求 $\hat{b}$ 的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差；

(3)、收集更多变量 $W$ 和 $x$ 的成对样本数据，由一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} W = b x + a + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{array}$ 得到经验回归模型 $W = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ 与 $D (e) = σ^{2}$ 的假设（直接写出结果）．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，参考数据： $\sqrt{1720} \approx 41.5$ ．

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15、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明： $f (x) \geq 2 - \frac{2}{a}$ ．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < \frac{9}{5}$ ，求满足条件的最大整数 $n$ ．

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17、一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．

(1)、若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率；

(2)、若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望．

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18、甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的两个人．第一次传球由甲手中传出，第n次传球后，球在甲手中的概率记为 $p (n)$ ，请写出 $p (n + 1)$ 与 $p (n)$ 关系式．

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19、计算： $A_{5}^{3} - A_{4}^{2} =$ ．

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20、我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（）

A、第6行从左到右第4个数是20 B、第2022行的第1011个数最大 C、210在杨辉三角中共出现了6次 D、记第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} a_{i} = 3^{n}$

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超市	A	B	C	D	E
广告支出x	1	2	3	4	5
销售额W	4	9	14	18	$m (m > 0)$