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相关试卷

1、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为3，则下列说法正确的是（）

A、勒洛四面体 $A B C D$ 表面上任意两点间距离的最大值大于3 B、勒洛四面体 $A B C D$ 被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、勒洛四面体 $A B C D$ 四个曲面交线长的和为 $6 π$ D、勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $3 - \frac{3 \sqrt{6}}{4}$

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2、对一列整数进行如下操作：输入第一个整数 $x_{1}$ ，只显示不计算，接着输入第二个整数 $x_{2}$ ，只显示 $| x_{1} - x_{2} |$ 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为 $p$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n$ ， $n \in N^{*}$ ，现把数列 $\{a_{n}\}$ 的前2025项随机地输入，则（）

A、 $p$ 的最小值为0 B、 $p$ 的最小值为1 C、 $p$ 的最大值为2025 D、 $p$ 的最大值为2024

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3、已知函数 $f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + (2 - a) x + 2 b$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点，则 $b$ 的取值范围是（0，1） B、当 $a = 2$ 且 $x \in (0, 1)$ 时， $f (\cos x) < f (\cos^{2} x)$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (1 - x) = 2 b - \frac{a}{2}$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $2 x_{0} + x_{1} = \frac{3}{2}$

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4、某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 $△ A B C$ ，已知 $E F = 3$ ， $\cos ∠ A C F = \frac{13}{14}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{441}{16}$ B、 $\frac{441 \sqrt{3}}{16}$ C、 $\frac{441}{8}$ D、 $\frac{441 \sqrt{3}}{8}$

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5、在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， P为 $△ A B C$ 所在平面内的一个动点，若 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、4 B、 $3 + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、6

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6、抛物线 $x = - 3 y^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{12}$ B、 $x = \frac{1}{12}$ C、 $x = \frac{3}{4}$ D、 $y = \frac{3}{4}$

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7、已知集合 $U = \{x |0 \leq x \leq 5, x \in N\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{1, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{0, 4\}$ D、 $\{3, 5\}$

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8、已知点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = |x + 1|, Q (4, 0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（　　）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} \ln (x + 1) + a x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > - \frac{1}{3}$ ， $f (x) \geq f (0)$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上存在零点，求 $a$ 的取值范围.

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10、若直线的一个方向向量为 $(3, \sqrt{3})$ ，则它的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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11、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， A、 $B$ 分别为椭圆 $Γ$ 的左、右顶点.过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $M$ 、 $N$ 两点；当 $k_{1}$ 变化时， $△ A B M$ 面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、当 $k_{1} = 1$ 时，求 $△ A M N$ 的面积；

(3)、如图，设 $M$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $P$ ，直线 $A P$ 、 $B N$ 交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $A B / / C D$ ， $A P = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = 2 A B = 2 P D = 2 A D = 4$ ，点E是棱 $P C$ 上靠近P端的三等分点.

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(3)、是否存在棱 $P A$ 上一点 $F$ ，使得平面 $B F C$ 与平面 $B F A$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ ？若存在，请指出此时点 $F$ 的位置.

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13、在平面直角坐标系中，已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y + 1 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$

(1)、若直线 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，直线 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若直线 $l_{2}$ ： $y = k x$ 与圆 $C$ 交于 $M 、 N$ 两点，且 $|O M| = 2 |O N|$ （ $O$ 为坐标原点），求实数 $k$ 的值.

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14、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数k的值.

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15、已知圆 $M$ ： ${(x + m)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 与圆 $N$ 关于直线 $l$ ： $x - y + 3 = 0$ 对称，且圆 $M$ 上任一点 $P$ 与圆 $N$ 上任一点 $Q$ 之间距离的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ ，则实数 $m$ 的值为．

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (a > \sqrt{6})$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若椭圆上的点P满足 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为．

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17、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，下列结论正确的是（）

A、平面 $C M N$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形是五边形 B、直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ D、 $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$

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18、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ B、直线 $A D_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $30^{\circ}$ C、二面角 $A_{1} - A C_{1} - D_{1}$ 的平面角为 $30^{\circ}$ D、点 $D_{1}$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P (2, 2)$ 在圆内 B、圆 $C$ 的圆心坐标为 $(1, 1)$ ，半径 $r$ 为 $2$ C、圆 $C$ 与 $y$ 轴交于点 $M 、 N$ ，则 $S_{△ C M N} = \sqrt{3}$ D、直线 $l$ ： $x + y + c = 0$ 与圆 $C$ 相切，则 $c = - 2 + 2 \sqrt{2}$

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20、已知椭圆的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P ､ Q$ 两点，且 $P Q ⊥ F_{1} Q$ ， $S_{△ Q F_{1} F_{2}} = 2 S_{△ P F_{1} F_{2}}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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