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相关试卷

1、在四面体 $A B C D$ 中， $A B = a, C D = b$ ，记四面体 $A B C D$ 的内切球半径为 $r$ ．分别过点 $A, B, C, D$ 向其对面作垂线，垂足分别为 $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ ．

(1)、是否存在四个面都是直角三角形的四面体 $A B C D$ ？（不用说明理由）

(2)、若垂足 $H_{1}$ 恰为正三角形 $△ B C D$ 的中心，证明： $r = \frac{b \sqrt{3 a^{2} - b^{2}}}{3 \sqrt{4 a^{2} - b^{2}} + \sqrt{3 b}}$ ；

(3)、已知 $a + b = 2024$ ，证明： $r < 253$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $α = ∠ B A D$ ， $β = ∠ D A C$ ．

(1)、证明： $\frac{B D}{D C} = \frac{A B \cdot \sin α}{A C \cdot \sin β}$ ；

(2)、若D为靠近B的三等分点， $A B = 2 \sqrt{7}$ ， $A C = 2$ ， $β = 90 °$ ， $∠ B A C$ 为钝角，求 $S_{△ A C D}$ ．

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3、如图，在四边形ABCD中， $∠ B = 120^{°}, A B = 2, A D = 3$ ，且 $\vec{B C} = k \vec{A D}, \vec{A B} \cdot \vec{B C} = 1$ ，若P，Q为线段AD上的两个动点，且 $| P Q | = 1$ .

(1)、当 $P$ 为AD的中点时，求CP的长度；

(2)、求 $\vec{C P} \cdot \vec{C Q}$ 的最小值.

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4、镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且 $A B = B C = 40$ 米，则云台阁的高度为米.

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5、若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等，且该球体的表面积为 $S_{1}$ ，体积为 $V_{1}$ ，该圆锥的侧面积为 $S_{2}$ ，体积为 $V_{2}$ ，若 $\frac{2 S_{1}}{S_{2}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$ ，则该球体半径与该圆锥母线的比值为．

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6、若函数 $f (x) = |\sin (ω x + φ)| (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 后，得到的函数图象与 $f (x)$ 的图象重合，则 $ω$ 的最小值为．

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7、如图一，矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B = 2$ ， $A M ⊥ B D$ 交对角线 $B D$ 于点 $O$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ．现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ A^{'} B D$ 的位置，如图二，点 $N$ 为棱 $A^{'} D$ 的中点，则下面结论正确的是（）

A、存在某个位置使得 $C N //$ 平面 $A^{'} O M$ B、在翻折过程中，恒有 $B D ⊥ A^{'} M$ C、若二面角 $A^{'} - B D - C$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A^{'} C = \frac{\sqrt{65}}{5}$ D、若 $A^{'}$ 在平面 $B C D$ 上的射影落在 $△ B C D$ 内部，则 $V_{A^{'} - B C D} \in (\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{2 \sqrt{5}}{15})$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (λ, 1)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ = \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ = 2$ C、若 $λ < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 D、当 $λ = 1$ 时，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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9、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，且 $\vec{C F} = λ \vec{C D}$ ， $\vec{C E} = μ \vec{C B}$ ，若 $\vec{A C} = \frac{3}{7} \vec{A F} + \frac{6}{7} \vec{A E}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $1$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $2$

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10、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边，且 $\sin A = 2 \sin B$ ， $2 a \cos C + b = 0$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、命题“ $\exists x \in [1, 2]$ ， $x^{3} + 2 x - a > 0$ ”为假命题的一个必要不充分条件是（）

A、 $a \geq 11$ B、 $a \leq 11$ C、 $a \geq 12$ D、 $a \leq 12$

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12、某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前 $200$ 名学生分布的扇形图（如图）和前 $200$ 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（）

A、成绩前 $200$ 名的学生中，高一人数比高二人数多 $30$ 人 B、成绩前 $100$ 名的学生中，高一人数不超过 $50$ 人 C、成绩前 $50$ 名的学生中，高三人数不超过 $32$ 人 D、成绩第 $51$ 名到第 $100$ 名的学生中，高二人数比高一人数多

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13、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则下列数字特征一定为0的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、极差

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14、已知在 $△ A B C$ 中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ ，记 $△ A B C$ 的面积为S．

(1)、请利用所学过的相关知识证明： $S = \frac{1}{2} |(x_{1} - x_{3}) (y_{2} - y_{3}) - (x_{2} - x_{3}) (y_{1} - y_{3})|$ ；

(2)、已知O为坐标原点，曲线 $f (x) = x^{3} - 3 x + λ$ 在点 $P (m, f (m)) (m \neq 0)$ 处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在 $m \in [1, 2]$ ，使得 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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15、已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F到顶点的距离为1.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且 $\vec{A F} = μ \vec{F B}$ ， $μ \in [4, 9]$ ，求直线l在x轴上的截距的取值范围.

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16、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $a \sin A - c \sin C = (a - b) \sin B$ ．

(1)、求内角C；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， M、N分别是BC、 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} M$ ；

(2)、求平面 $A B_{1} M$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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18、现代科技日新月异，电子产品更是更新换代迅速，某手机开发公司推出一款新手机，为了解某地区消费者对新手机的满意度，从中随机调查了150名消费者，得到如下数据：
满意
不满意
男
60
40
女
40
10

(1)、能否有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关；

(2)、若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用 $ξ$ 表示不满意的人数，求 $ξ$ 的分布列与数学期望．
参考数据：
$α$
0.150
0.100
0.050
0.025
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
（ $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

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19、 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, m)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} ln x_{2} - x_{2} ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} > - 1$ ，则实数m的取值范围为.

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20、已知O为坐标原点，F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，若C上存在一点P，使得 $△ F O P$ 为等边三角形，则椭圆C的离心率为.

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	满意	不满意
男	60	40
女	40	10

$α$	0.150	0.100	0.050	0.025
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024