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相关试卷

1、为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第 $m$ 天跳绳，则他第 $(m + 1)$ 天跳绳的概率为 $\frac{1}{4}$ ，第 $(m + 2)$ 天跳绳的概率为 $\frac{3}{4}$ ，设他第 $n$ 天跳绳的概率为 $P_{n} (1 \leq n \leq 30, n \in N)$ .

(1)、求 $P_{3}$ ；

(2)、证明 $\{P_{n} - P_{n - 1}\}$ 为等比数列；

(3)、若 $X$ ， $Y$ 都是离散型随机变量，则 $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ ， $E (X \cdot Y) = E (X) \cdot E (Y)$ .记小华前 $n$ 天跳绳的天数为 $X$ ，求 $E (X)$ .

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2、已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x}}{x}$ ， $g (x) = ln (x + 2)$ .

(1)、若 $h (x) = \frac{1}{2} x^{2} - g (x)$ ，求 $h (x)$ 的极小值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 1$ 时，证明： $x f (x) > g (x)$ .

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3、某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球，3个黄球，2个蓝球；第二个盒子中有5个红球，3个黄球，2个蓝球；第三个盒子中有3个红球，4个黄球，3个蓝球.

(1)、如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率；

(2)、已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率；

(3)、顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列以及均值.

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4、已知 $S_{n}$ 是正项递增等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 4$ ， $S_{3} = 14$ ，记 $T_{n}$ 是正项递增数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $2 T_{n} = b_{n}^{2} + b_{n} - 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $P_{n}$ ，若实数 $t P_{n} \leq (n^{2} + 16) \cdot 2^{n}$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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5、某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来 $x$ （ $x = 1, 2, 3, 4, 5$ ）年的增长数据 $y$ （万吨），如下表所示：
$x$
1
2
3
4
5
$y$
26
37
50
64
93

(1)、经探究 $x$ 与 $y$ 之间具有相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、为了检验 $M$ ， $N$ 两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在 $A$ ， $B$ 两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区
用M设备
用 $N$ 设备
A
30
20
B
15
35
根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为增收情况与使用 $M$ ， $N$ 两种不同设备有关?
参考公式：① $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）.
参考数据：
$α$
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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6、若函数 $f (x) = a e^{2 x} - (2 + 3 a) e^{x} + 3 x$ 在 $(1, 2)$ 上存在单调递减区间，则 $a$ 的取值范围为.

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7、 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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8、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则该函数图象在点 $(\frac{1}{e}, - e)$ 处的切线方程为.

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9、自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ），记 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、 $S_{20} + 1 = a_{21}$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n}$ C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{30} = a_{31} - 1$ D、若 $T_{n} = a_{2023} \cdot a_{2024}$ ，则 $n = 2023$

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10、记随机事件 $A, B$ 的对立事件分别为 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A |B) = 1$ B、若 $P (B |A) = P (B)$ ，则事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (B |A) + P (\bar{B} |A) = P (A)$ D、若 $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{B} |\bar{A}) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A) = \frac{1}{2}$

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11、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 2$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- 3, 3)$ B、 $x = - 3$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 没有最大值也没有最小值 D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在区间 $[0, 6]$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(- 16, 2]$

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12、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} - 2 x + 5$ ，若 $f (4 a^{2}) + f (a - 1) > 6$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{3}{4})$ B、 $(- \infty, - \frac{7}{2}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \frac{7}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{4}, + \infty)$

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13、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 2$ ， $S_{6} = 12$ ，记 $T_{n}$ 为 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $T_{8} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{116}{45}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{232}{5}$

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14、从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（）

A、540 B、180 C、360 D、1080

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15、某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）

A、 $\frac{20}{27}$ B、 $\frac{12}{27}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{4}{27}$

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16、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
2
$P$
0.3
$4 a$
$3 a$
若离散型随机变量 $Y = 3 X - 2$ ，则 $Y$ 的方差 $D (Y) =$ （）

A、0.6 B、5.4 C、1 D、3.4

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17、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 8$ ，则 ${log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{5} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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18、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = 0.4$ ，则 $P (2 \leq ξ \leq 3) =$ （）

A、0.6 B、0.2 C、0.1 D、0.4

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19、若 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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20、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} c = b (sin A + \sqrt{3} cos A)$ ， $cos (\frac{π}{3} - A) sin (\frac{π}{6} + A) = \frac{3}{4}$ ，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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$α$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	1	2	3	4	5
$y$	26	37	50	64	93

地区	用M设备	用 $N$ 设备
A	30	20
B	15	35

$X$	0	1	2
$P$	0.3	$4 a$	$3 a$