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相关试卷

1、某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 2 x^{2} + 33, 0 \leq x \leq 2 \\ 50 - \frac{18}{x}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $20 x$ 元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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2、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x - 4) + f (6 - x) = 4$ ，则 $f (1) =$ ；若 $g (x) = f (x + 1) - 2$ ，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{x_{2} g (x_{1}) - x_{1} g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则不等式 $g (x) < \frac{g (x^{2})}{x}$ 的解集为.

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3、化简： $2 \sqrt{3} \times \sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12} =$ .

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4、已知函数 $f (x + 2)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2025) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的周期是4 C、方程 $f (|x|) = 2 x$ 在 $x \in [- 4, 4]$ 上有2个不同实数解 D、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 满足 $g (x + 2) + g (2 - x) = 0$ ，若函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 的图象有 $n$ 个交点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n}, y_{n})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i})$ 的值可能是2026.（注： $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i}) = (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + \cdot \cdot \cdot + (x_{n} + y_{n})$ ）

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5、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 1)$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是 $(- 1, 1) \cup (1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ 的图象关于点 $(- 2, 1)$ 成中心对称 C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \leq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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6、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例： $[- 3.6] = - 4$ ， $[3.6] = 3$ .已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{3^{x}}{1 + 3^{x}}$ ，则函数 $y = [f (x)] + f (- x)$ 的值域是（）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $(- 1, 0]$ C、 $(- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0]$ D、 $(- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0)$

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7、若实数 $x$ ， $y > 0$ ，且 $x y = x + y + 3$ ，则（）

A、 $2 x + y$ 的最小值为7 B、 $x y$ 的最大值为9 C、 $x + y$ 的最小值为8 D、 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$ 的最小值为1

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8、若幂函数 $y = (m^{2} - 4 m + 4) x^{m - 3}$ 的图象不过原点，则（）

A、 $1 \leq m \leq 3$ B、 $m = 1$ 或 $m = 3$ C、 $m = 3$ D、 $m = 1$

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9、命题“ $\forall x < 0$ ， $x^{2} + a x - 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \geq 0$ ， $x^{2} + a x - 1 < 0$ B、 $\exists x < 0$ ， $x^{2} + a x - 1 < 0$ C、 $\forall x < 0$ ， $x^{2} + a x - 1 < 0$ D、 $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} + a x - 1 \geq 0$

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10、如图三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $S A = 2 \sqrt{2}$ ，则 $S C$ 与 $A B$ 所成角的大小为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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11、方程 $\frac{x^{2}}{k + 3} + \frac{y^{2}}{2 k + 4} = 1$ 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（）

A、 $k > - 3$ B、 $k > - 2$ C、 $k > - 1$ D、 $k > 0$

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12、已知函数 $y = a^{x + 2} + 1 (a > 1)$ 的图象恒过定点 $(m, n)$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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13、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求 $b$ 的值．

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明．

(3)、当 $x \in [1, 3]$ 时， $f (k x^{2}) + f (2 x - 1) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 都有无穷项，已知存在非零常数 $q$ ，使得 $b_{n} = a_{n} + q a_{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + q^{n - 1} a_{1} (n \in N_{+})$ ，此时称数列 $\{b_{n}\}$ 是由 $\{a_{n}\}$ “ $q$ -生成”的．

(1)、如果 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $\{b_{n}\}$ 满足的 $b_{n} = \{\begin{array}{l} 1, n = 1 或 2 \\ b_{n - 1} + b_{n - 2}, n \geq 3 \end{array}$ ，若数列 $\{b_{n}\}$ 是由 $\{a_{n}\}$ “ $q$ -生成”，求 $q$ 的值；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 是由 $\{a_{n}\}$ “ $q$ -生成”的，如果存在非零常数 $p$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是由 $\{b_{n}\}$ “ $p$ -生成”的，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项；

(3)、设 $q = π$ ，且数列 $\{b_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ ， $\{d_{n}\}$ 分别是由数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ “ $q$ -生成”的， $S_{n}^{\{d\}}$ 表示数列 $\{d_{n}\}$ 的前n项和．已知 $|S_{n}^{\{d\}}| \leq 1 (n \in N_{+})$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ 的最小值．

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15、某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为 $\frac{2}{5}$ ；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）
套餐A满意度
A套餐改善前
A套餐改善后
合计
满意
20
40
60
不满意
30
30
60
合计
50
70
120
参考数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？

(2)、若A套餐拟提供2种品类的素菜， $n (n \geq 3, n \in N_{+})$ 种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求 $P (X = 1)$ 的最大值，并求此时n的值；

(3)、设员工小李第n天选择B套餐的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ．

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16、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知 $a - λ c = \frac{1}{2} b$ ， $λ$ 为常数．

(1)、若 $λ = 0$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $λ = 1$ ， $\cos A - \cos C = - \frac{3}{4}$ ，求 $\cos B$ 的值．

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17、在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A B > A_{1} B_{1}$ ，侧棱 $A A_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ ．若存在球 $O$ 与正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的5个面同时相切，求：

(1)、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的表面积．

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18、甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各局的输赢互不影响．若 $P_{i} (i = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 6)$ 表示在甲所得分数为 $i$ 时，最终甲获胜的概率，若 $P_{0} = 0$ ， $P_{6} = 1$ ，则 $P_{1} =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2 a x + 3)$ 的值域为R，则实数a的取值范围为．

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20、已知 $α \in (0, π)$ ，且 $\cos α + \sin α = \frac{7}{13}$ ，则 $\cos α =$ ．

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套餐A满意度	A套餐改善前	A套餐改善后	合计
满意	20	40	60
不满意	30	30	60
合计	50	70	120

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828