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相关试卷

1、口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 $E (X) =$ .

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + a (x < 0) \\ x - b (x \geq 0) \end{array}$ 的零点为 $- 3$ 和1，则 $a + b =$ ．

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3、直线 $l_{1}$ ： $m (2 x - 3) + 2 n y = 0$ 与 $l_{2}$ ： $n (2 x - 7) - 2 m y = 0 (m, n \in R, m^{2} + n^{2} \neq 0)$ 的交点为P，记点P的轨迹为 $C_{1}$ ，动点Q在曲线 $C_{2}$ ： $y = e^{2 x - 1}$ 上，下列选项正确的有（）

A、若点 $(\frac{5}{2}, 1) \in C_{1}$ ，则 $\frac{m}{n} = - 1$ B、 $C_{1}$ 是面积为 $2 π$ 的圆 C、过Q作 $C_{1}$ 的切线，则切线长的最小值为 $\sqrt{3}$ D、有且仅有一个点Q，使得 $C_{2}$ 在Q处的切线被 $C_{1}$ 截得的线段长为2

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4、甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（）

A、该零件出自于甲加工的概率为0.25 B、该零件是次品的概率为0.0525 C、若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 $\frac{3}{7}$ D、若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3

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5、设i为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为1 B、 $|z| = 2$ C、 $z$ 在复平面内的对应点位于第一象限 D、 $z^{2} = 2$

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6、2160的不同正因数个数为（）

A、42 B、40 C、36 D、30

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7、体积为4的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A A_{1} = 1$ ，则该长方体的最小外接球表面积为（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $9 π$ C、 $\frac{11 π}{2}$ D、 $11 π$

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8、高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度x（℃）
6
8
10
病毒数量y（万个）
30
22
20
由上表中的数据求得回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ ，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（）
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\bar{y} = \hat{b} \bar{x} + \hat{a}$

A、12 B、10 C、9 D、11

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9、已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 5) = f (x)$ ， $f (1) = 5$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 2024$ D、2024

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10、为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布 $N (78, 4^{2})$ ．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（）
参考数据：若 $η ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - α) < η < μ + α) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 α < η < μ + 2 α) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 α < η < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

A、 $0.13 %$ B、 $1.3 %$ C、 $3 %$ D、 $3.3 %$

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11、已知二项式 ${(1 + a x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是 $- 80$ ，则实数a的值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、2

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12、平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 9$ B、9 C、 $- 7$ D、7

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13、集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $B = \{x| y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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14、已知 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是奇函数，则 $a =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、-2

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15、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ．过 $D$ 点的直线 $E F$ 与直线 $A B$ 相交于 $E$ 点，与直线 $A C$ 相交于 $F$ 点（ $E, F$ 两点不重合）．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ ；

(2)、若 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{λ} + \frac{3}{μ}$ 的值．

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16、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量， $\vec{a} = (2, 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ．

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17、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为 $2$ ，圆柱的底面半径为 $1$ ，高为 $4$ ，则该几何体的表面积为．

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18、定义运算 $a \otimes b = \{\begin{array}{l} b, a \leq b \\ a, a > b \end{array}$ ，例如 $1 \otimes 2 = 2$ ，则函数 $f (x) = \sin x \otimes \cos x$ 的值域为（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ B、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ C、 $[- 1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[- 1, - \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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19、已知 $\vec{a} = (- 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{10})$

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20、若 $△ O A B$ 的直观图如图所示， $∠ B^{'} A^{'} O^{'} = \frac{π}{2}$ ， $B^{'} A^{'} = 1$ ，则顶点B到x轴的距离是（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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温度x（℃）	6	8	10
病毒数量y（万个）	30	22	20