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相关试卷

1、已知事件 $A ， B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{3}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A \overset{⃐}{B}) = \frac{1}{12}$ D、若 $P (A \cup B) = \frac{7}{9}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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2、已知 $A ， B ， D$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 上的三个点，且 $△ A O B$ 为正三角形，则 $|3 \vec{O D} - \vec{O A}| + |\frac{1}{4} \vec{O D} - \vec{O B}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{133}$ B、 $5 \sqrt{5}$ C、11 D、 $8 + \sqrt{13}$

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3、已知长方形 $A B C D ， A B = 2 ， A D = 1$ ，将 $△ A C D$ 沿着 $A C$ 折起得到三棱锥 $D - A B C$ ，当点 $D$ 在底面 $A B C$ 的投影恰好落在直线 $A B$ 上时，此时点 $B$ 到面 $A C D$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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4、若点 $P (0, 2)$ 关于直线 $y = k x$ 对称的点 $Q$ 在圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ 上，且 $Q$ 在第一象限内，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{8 - \sqrt{15}}{7}$ D、 $\frac{8 + \sqrt{15}}{7}$

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5、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, △ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C = A A_{1} = 4$ ，以点 $B$ 为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为 $Γ$ ，点 $P$ 为 $Γ$ 上的动点，当 $|P C_{1}|$ 取最小值时，此时 $\vec{B_{1} P} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3}$

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6、有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次， $A$ 表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”， $B$ 表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”， $C$ 表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”， $D$ 表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（）

A、 $P (C D) = P (C) \cdot P (D)$ B、 $P (A D) = P (A) \cdot P (D)$ C、 $P (B D) = P (B) \cdot P (D)$ D、 $P (A C) = P (A) \cdot P (C)$

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7、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，点 $F$ 为棱 $C C_{1}$ 上靠近 $C$ 的三等分点．若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} ， x ， y ， z \in R$ ，则 $x + y + z$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{17}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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8、“关于 $x ， y$ 的方程： $x^{2} + y^{2} + m x + 4 y + 8 = 0$ 表示圆”是“ $m > 4$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充要 C、充分不必要 D、既不充分也不必要

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9、已知 $\vec{a} = (1, - 2, 3), \vec{b} = (- 4, x, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、5

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10、为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 $m$ 株和 $n$ 株（ $m$ ， $n \in N^{*}$ ）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位： $kg$ ）如下表所示：
编号位置
①
②
③
④
山上
5
4
4
3
山下
4
2
2
1

(1)、根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；

(2)、记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，根据样本数据估计 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系；

(3)、从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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11、（1）已知 ${(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；
（2）解不等式： $3 A_{x}^{3} < 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ .

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12、在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用 $A_{i}$ 表示 $i$ 号箱有奖品 $(i = 1, 2, 3, 4)$ ，用 $B_{i}$ 表示主持人打开 $i$ 号箱子 $(i = 2, 3, 4)$ ，现在已知甲选择了 $1$ 号箱，则 $P (B_{3} |A_{2}) =$ ； $P (B_{3}) =$ .

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13、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ .

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14、若函数 $f (x) = (1 + \frac{1}{x}) (a + ln x)$ 是其定义域上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2]$

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15、已知某物体在运动过程中，其位移 $S$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）满足函数关系式 $S (t) = \sin t - 2 \cos t + t + 1$ ，则该物体在 $t = \frac{π}{2}$ 时的瞬时速度为（）

A、 $3 m / s$ B、 $2 m / s$ C、 $\sqrt{3} m / s$ D、 $1 m / s$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，当 $x \in [0, \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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17、某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．

(1)、写出第 $x$ 年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金 $y$ （单位：万元）与 $x$ 的函数关系式，并指出函数的定义域；

(2)、该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？
（参考数据： $lg 0.12 \approx - 0.921$ ， $lg 1.2 \approx 0.079$ ， $lg 0.112 \approx - 0.951$ ， $lg 1.12 \approx 0.049$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）

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18、已知函数 $f (x) = cos x$ ．

(1)、若 $f (α) = - sin \frac{π}{12}$ ， $α \in (0, π)$ ，求 $α$ ；

(2)、求 $y = f (2 x + \frac{2 π}{3})$ ， $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 的值域．

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19、已知 $- π < x < 0$ ， $sin (π + x) - cos x = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求 $sin x + cos x$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin x}{1 + \tan x}$ 的值．

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20、（1）已知函数 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (f (x) + 2 x) = 5$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）已知 $f (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) = x + \frac{1}{x} - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；

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编号位置	①	②	③	④
山上	5	4	4	3
山下	4	2	2	1