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相关试卷

1、已知 $sin (α + β) = 3 sin (α - β)$ ， $tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $tan (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{9}{7}$ B、 $- \frac{9}{11}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{9}{7}$

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2、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2$ ，其中 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\sqrt{3} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{b}$

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3、在用二分法求方程 $ln x + 2 x - 4 = 0$ 在 $[1, 2]$ 上的近似解时，先构造函数 $f (x) = ln x + 2 x - 4$ ，再依次计算得 $f (1) < 0$ ， $f (2) > 0$ ， $f (1.5) < 0$ ， $f (1.75) > 0$ ， $f (1.625) < 0$ ，则该近似解所在的区间可以是（）

A、 $(1, 1.5)$ B、 $(1.5, 1.625)$ C、 $(1.625, 1.75)$ D、 $(1.75, 2)$

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4、 $cos 75^{\circ} cos 45^{\circ} + cos 15^{\circ} sin 45^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 30^{\circ}$ ， $B = 45^{\circ}$ ， $b = 8$ ，则 $a$ 等于（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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6、复数 $1 + 3 i$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、命题“ $\forall x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} - x - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq - \frac{1}{4}$ B、 $a \leq 0$ C、 $a \geq 6$ D、 $a \geq 8$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P D = D C = B C = \frac{1}{2} A B = 1$ ， $A B / / C D$ ， $∠ A P D = ∠ A B C = 90 °$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E为 $P A$ 中点.

(1)、求证： $P A ⊥$ 面 $P B D$ ；

(2)、点Q在棱 $P B$ 上，若二面角 $P - A D - Q$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值.

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9、为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分 $100$ 分.参加测试的学生共 $40$ 人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

(1)、由频率分布直方图，求出图中 $t$ 的值，并估计全校高一年级体测成绩的 $60 %$ 分位数；

(2)、为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在 $[70, 90)$ 内的学生中抽取 $5$ 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自 $[70, 80)$ 和 $[80, 90)$ 的概率；

(3)、现已知直方图中考核得分在 $[70, 80)$ 内的平均数为 $75$ ，方差为 $9$ ，在 $[80, 90$ ）内的平均数为 $85$ ，方差为 $4$ ，求得分在 $[70, 90)$ 内的平均数和方差.

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10、在 $△ A B C$ 中，a､b､c分别是角A､B､C的对边，且 $(2 a + c) \cos B + b \cos C = 0$ ．
（1）求角B的大小；
（2）若 $b = \sqrt{13}, a c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积和周长．

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11、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120^{\circ}, A C = 2, A B = \sqrt{7}, ∠ A C B$ 的角平分线交 $A B$ 于 $D$ ，则 $C D =$ .

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12、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的面积为.

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13、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长均2， $∠ B A D = 60 °$ ， P为 $C C_{1}$ 的中点，点Q在四边形 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）

A、当点Q在线段 $C D_{1}$ 上运动时，四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $A Q //$ 平面 $A_{1} B P$ ，则AQ的最小值为 $\sqrt{5}$ C、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为M，则 $\overset{⃑}{A_{1} B} \cdot \overset{⃑}{A_{1} M}$ 为定值2 D、若 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点Q的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$

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14、如图，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，上下底面的中心分别为 $O_{1}$ 和 $O$ ，若 $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ，则正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{20 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{20 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{6}}{3}$

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15、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为BC边上的三等分点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $E$ 为AD中点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$

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16、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ， $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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17、经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 $p$ 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 $X$ .

(1)、若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 $p = \frac{1}{3}$ ，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；

(2)、若一条信息有 $n (n > 1, n \in N^{*})$ 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， …， $p_{n}$ ，则称 $H = f (p_{1}) + f (p_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (p_{n})$ （其中 $f (x) = - x {log}_{2} x$ ）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 $X$ 的信息熵 $H$ ；

(3)、将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 $Y$ （ $Y = 1$ ， 2，3，⋯， $n$ ， ⋯）.证明：当 $n$ 无限增大时， $Y$ 的数学期望趋近于一个常数.参考公式： $0 < q < 1$ 时， $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ ，

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18、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $\frac{S_{n + 1}}{S_{n}} = \frac{n + 2}{n}$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{2 + a_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot b_{n + 1}}$ ，若 $b_{2} = 2$ ， $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} b_{5} = 2^{10}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} < 1$ .

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A B ⊥ B C, C C_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{B E} = λ \vec{B B_{1}} (0 < λ < 1)$ ．

(1)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求证： $C E ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、设二面角 $B - A E - C$ 的大小为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的取值范围．

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20、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $2 a + c$ 的最大值；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ，求 $(2 r + 1) a$ 的最大值．

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